Réflexion des ondes électromagnétiques sur un conducteur

Réflexion des ondes électromagnétiques sur un conducteur
I Relation de passage du vide à un métal non magnétique
vide
métal

n
2
1
A) Cas d’un métal réel non magnétique
1) Polarisation et aimantation
 Aimantation :


On a jlié  0 (le métal n’est pas magnétique)
Donc r  1
(Ne s’applique pas à Fe, Co, Ni)
 Polarisation :
Electrons de valence :  lié

Electrons de conduction : jlibre
On peut considérer que le métal est constitué d’ions rigides et d’électrons se
déplaçant librement. Ainsi,  r  1 .
2) Equations de Maxwell
On se place dans le cas d’une pulsation différente de la pulsation plasma
(donc libre  0 ) :
  
 
  E  libre  0   B  0
0

 
 

B
E
E  
  B   0 ( jlibre   0
)
t
t
3) Discontinuité des champs

  
On a E2  E1  n
0
 
 
 Et B2  B1  0 js  n
 
Dans un métal réel, js  0

Donc B est continu à la traversée de la surface.
B) Cas d’un métal parfait
1) Définition

C’est lorsque le métal a une conductivité infinie
(C’est presque un supraconducteur, mais on n’a pas forcément l’effet
Meissner)

E
2) Champs .
 Dans le métal,


j   .E


 
Et j est fini (car si j était infini, p  j  E le serait aussi)


Donc E  0
Donc d’après l’équation de Maxwell–Gauss,   0
Remarque :

A la surface du conducteur, on peut avoir j infini (on a alors une puissance
Joule infinie sur un volume nul)
 Au voisinage du métal :

  
On a E2  
E1  n
0

0
  
Donc E  n
0

B
3) Champ .
 Dans le conducteur, d’après l’équation de Maxwell–Faraday :
 

  
B
. Donc B  B (r ) . On prend alors B  0 (on s’intéresse uniquement
0
t
à la propagation du champ)
(Remarque : on voit ici que l’effet Meissner ne découle pas de la supposition
 
qu’un métal a une conductivité infinie puisqu’en général B  0 dans le
conducteur)
 Au voisinage :

 
On a B  0 js  n
Remarque :
 
L’équation de Maxwell–Ampère montre qu’à l’intérieur j  0
II Réflexion d’une onde plane sur un plan conducteur parfait
vide
conducteur parfait
0
x
A) Onde incidente
On suppose que c’est une OPPSPR (ça ne limite pas la généralité du résultat
puisqu’on peut décomposer toute onde avec la décomposition de Fourier en OPPS, puis
 

décomposer cette OPPS en deux OPPSPR), sous incidence normale ( ki  u x  ku x )
c
0
0


 
 
E
Ainsi, Ei  E0 exp( i(k .x  .t )) et Bi  
où B0  0
0
c

B exp( i(k .x  .t ))
0

 0
B) Onde réfléchie
1) Existence
 Energie :
Le conducteur parfait ne peut pas dissiper d’énergie, donc l’onde incidente
doit repartir, et on a une onde réfléchie.
 Conditions aux limites :
  
On a au voisinage du métal E 
ux
0


 
C'est-à-dire Ei ( x  0, t )  Er ( x  0, t )   u x
0


 
Et Bi ( x  0, t )  Br ( x  0, t )  0 js  ux .
2) Structure
 L’onde réfléchie est une OPPS :
- Plane :
L’onde incidente, le milieu conducteur et la surface de séparation sont
invariants par toute translation orthogonale à Ox, et sont à l’origine de l’onde
réfléchie.
(Principe de Curie : l’effet a au moins les mêmes symétries/invariances que
la cause)


Ainsi, l’onde réfléchie est plane et Er  Er ( x, t )
- Progressive :
Pour x  0 , on a une onde plane solution de l’équation d’onde classique.
Or, toute onde plane s ( x, t ) solution de l’équation d’onde classique s’écrit
sous la forme s( x, t )  s (t  x / c)  s (t  x / c) (Euler)



Donc ici E ( x, t )  E (t  x / c)  E (t  x / c)



Ei


Et donc Er  E , onde régressive.



Comme E est transverse (dans le vide), et E aussi, E r l’est donc aussi.
- Sinusoïdale :
(1) Conditions aux limites en x  0 :


 
Ei (t )  Er (t )   u x
0





Or, Ei et E r sont transverses, donc Ei (t )  Er (t )  0, t


Ainsi, t , Er (t )   E0 exp( i.t )u y (en 0)
(2) Donc en remplaçant t par t  x / c :


Er (t  x / c)   E0 exp( i.(t  x / c))u y


Soit Er (t , x)   E0 exp( i(kx  .t ))u y



Avec kr  kr .u x , k r   .
c

 Champ E r :
0
0


 
 
On a Ei  E0 exp( i(k .x  .t )) , Er   E0 exp( i(kr .x  .t ))


0
0


Les deux ondes ont donc la même amplitude, la même polarisation, avec un
déphasage de  (signe –)

 Champ Br :
  
( Er , cBr ,ux ) forme un trièdre direct.
0
0


 
 
Donc Bi  
, Br  
0
0
B exp( i(k .x  .t ))
B exp( i(k.x  .t ))
 0
 0

Ei

u x  u
x

Bi

Br

Er
3) Charges, courants superficiels
 Charges :


 
Ei ( x  0)  Er ( x  0)   u x
0



Mais Ei et E r sont portés par u y .
Ainsi,   0 .
 Courants :


 
 
On a Bi ( x  0)  Br ( x  0)  0 js  n  0 js  ux
 

Donc 2 B0e i .t u z   0 js  u x

En faisant le produit vectoriel par u x :


2B0ei.t u y  0 ( js )
 2B

Donc js  0 e i .t u y .
0
4) Analyse physique

Origine du courant superficiel :

Ei
Quand l’onde électrique arrive sur le conducteur, il met en mouvement les

charges et provoque donc un courant surfacique js .
 Onde rayonnée :
Les charges mises en mouvement sont en mouvement accéléré, et rayonnent
d’un champ électromagnétique :

js
 
Et  0
- Pour x  0 :
L’onde rayonnée se superpose à l’onde incidente en étant exactement en
opposition de phase. On a une sorte de loi de Lenz à 100%...
- Pour x  0 :
Comme le plan x  0 est de symétrie, l’onde va se propager en sens inverse,
et ne pourra donc pas l’annuler partout. On a donc une onde réfléchie.

Ei

Bi

kr

Ei

ki
 
Bi ki
 
Br Br

Er

Er

Symétrie pour Er ,
antisymétrie pour Br

kr
C) Interférence de l’onde incidente et de l’onde réfléchie
On a une onde stationnaire :

1) Champ E .
0
   
On a E  Ei  Er  2iE0 sin kx exp( i.t )
0

Ou en prenant la partie réelle :


E  2 E0 sin( kx) sin( .t )u y .
On a ainsi une onde stationnaire sinusoïdale :

En 0, on a un nœud de E .

Distance entre deux nœuds : 0
2
z

B
2) Champ .
  

On a B  Bi  Br  2B0 cos(kx) exp( i.t )uz


Ou en partie réelle : B  2B0 cos(kx) cos(.t )uz .

Les ventres et les nœuds sont inversés par rapport à E .
y


E est maximal quand B
temporellement)
est nul et vice versa (spatialement et
3) Energie
 Densité d’énergie électromagnétique :
On a

1
1 2
uem  ( 0 E 2 
B )
2
0
1
1
  0  4 E02 sin 2 (kx) sin 2 (.t ) 
4 B02 cos 2 (kx) cos 2 (.t )
2
20
 2 0 E02 (sin 2 (kx) sin 2 (.t )  cos 2 (kx) cos 2 (.t )
Donc  uem    0 E02 (sin 2 (kx)  cos 2 (kx))   0 E02
Ainsi, l’énergie est répartie en moyenne uniformément dans tout l’espace.
 Vecteur de Poynting :
On a
 1  
  EB
0

4 E0 B0

E0 B0
0
0

sin( kx) cos( kx) sin( .t ) cos(.t )u x

sin( 2kx) sin( 2.t )u x


Et donc en moyenne     0
Il n’y a donc pas de flux d’énergie en moyenne temporelle (ce qui est normal
pour une onde stationnaire…)
Remarque :
 
 
On a des plans verticaux où soit E  0 soit B  0 , et dans les deux cas
 
  0 sur tout le plan et à tout instant, donc il ne peut pas y avoir de flux
d’énergie dans tout l’espace, mais seulement entre ces plans.
D) Pression de radiation
L’onde va exercer une force sur le plan, et on aura donc une pression de radiation.
On suppose toujours que le conducteur est parfait et que l’onde arrive sous
incidence normale.
1) En théorie corpusculaire
 Modèle :
- Rayonnement :


Photons incidents : vitesse c  cu x , énergie h , quantité de mouvement
 h 
p
u x , nombre de photons incidents par unité de volume n.
c
(C’est équivalent à une OPPS)
- Réflexion :

p


p'   p
On suppose que tous les photons incidents sont réfléchis
Que l’énergie n’est pas affectée (c'est-à-dire que l’OPPS se réfléchit sans
changer de fréquence).
 Calcul de la pression :

- On note  Fparoiphotons la force exercée par la paroi sur les photons. On a :
(1) Pour chaque photon, une variation de quantité de mouvement
  
h 
p  p ' p  2
ux
c
(2)  2 N  ncdtS photons qui arrivent sur S pendant dt
(3) Et donc une variation totale de quantité de mouvement de



 2 p   2 N  p  2nhS .dt.u x



2p
(4) Ainsi,  Fphotonsparoi 
 2nhS .u x
dt


- Donc  Fparoiphotons  2nhS.u x
C'est-à-dire P  2nh
On reconnaît nh la densité d’énergie incidente par unité de volume, et le
facteur 2 est pour la densité totale (incidente et réfléchie)
Ainsi, P  uem
2) En théorie ondulatoire
 Hypothèses :


Ei  E0 exp i(kx  .t )u y


Bi  B0 exp i(kx  .t )uz
 Courant superficiel induit :
 2 B0

js 
exp( i.t )u y
0
 Force de Laplace induite :
 

On a dFl  js dS  Bi ( x  0)
(Attention : on ne peut pas utiliser le calcul direct en complexe puisqu’on a
un produit)
Et en moyenne :

 
1
 dFl   Re( js  Bi* )dS
2

B2 
1 2 B02

dS .u x  0 u x .dS
2 0
0
Donc P 
B02
0
  0 E02 ( uem )
Remarque :

On a pris uniquement Bi dans le calcul de la force de Laplace induite, et pas



Br . js n’est pas en effet soumise à Br , puisque c’est ce courant qui crée le
champ !
III Réflexion d’une onde plane sur un conducteur non parfait
On va s’intéresser à l’onde transmise (pour l’onde réfléchie, on sait faire…) :
- On aura une propagation amortie
- Ou pas de propagation du tout.
On suppose le conducteur homogène, que l’onde est une OPPS et sous incidence
normale.
A) Propagation dans le conducteur
1) Equations de Maxwell
On suppose que  r  r  1 ,   0 (c'est-à-dire    p ), et que le


conducteur est ohmique : j   .E
0
nq 2
, 0 
.
1  i.
m
Les équations s’écrivent donc en transformée de Fourier :
 
 

ik  E  0 ik  E  i B
 
 


ik  B  0 ik  B   0 ( j  i 0 E )
Les deux équations de gauche montrent déjà que l’onde est transverse
électromagnétique.
Avec  
2) Relation de dispersion
On a d’après les équations précédentes :

  k 

ik    E    0 (  i. 0 ) E




k2 
C'est-à-dire  i
E   0 (  i 0 ) E

2

Soit k 2  2  i0
c
On reconnaît dans le premier terme la propagation venant du courant de
déplacement, et dans le deuxième celle venant du courant de conduction.
B) Domaine ohmique
1) Définition
C’est lorsque
1
  , soit   T 
2
.


C'est-à-dire que les porteurs de charge ont beaucoup de chocs au cours d’une
période. Ainsi,    0
2) Ordres de grandeur
On a  ~ 10 14 s , donc   1012 rad.s 1 , ou 0  2.10 3 m
(Correspond au domaine hertzien)
3) Relation de dispersion
On a
 2 / c 2  0 10121011


 1
0
 ~ 107
Donc on peut écrire l’équation de dispersion sous la forme
k 2  i 0 0
Soit k  (1  i)
0 0
2
 (1  i) / 
4) Equation d’onde
On a pour les opérateurs, à partir de la relation de dispersion :


  2   0 0
t

 2 
E
Soit pour E :  E  0 0
t
On obtient ainsi une équation de diffusion (comme pour l’équation de la
chaleur), et qui traduit un phénomène irréversible.
5) Onde transmise

Structure des champs
(On suppose que le métal est infini, il n’y a donc pas de retour de l’onde)
Onde transmise :
1 i
Elle sera progressive dans le sens positif, donc Re( k )  0 , et k 
.

Avec  
2
0 0
, épaisseur de peau.

- Champ E :



On a Et  Et0 exp i(kx  .t )  Et0 exp(  x /  ) exp i( x /   .t )

- Champ B :
L’équation de Maxwell–Faraday donne :


 k 

B   E , avec k  ku x

 
Donc B  Bt0 exp(  x /  ) exp i( x /   .t )


1 i 
u x  Et0
Avec Bt0 

 Propagation :
- Longueur d’onde :
2
On a  
 2
Re( k )
Et
2 0


 1
0
0
-
Dispersion :

On a v 
  .
Re( k )
- Amortissement :
Il est en exp(  x /  ) .
Donc l’onde ne pénètre que sur quelques  (d’où le nom d’épaisseur de
peau)
Remarque :
On a   2 ~ 6
Donc l’onde est quasiment morte avant même qu’il n’y ait une longueur
d’onde complète :
 Amplitude des champs :
Conditions aux limites en x  0 :

 
B est continu à la traversée de la surface ( js  0 pour un conducteur réel)

Et continuité de la composante tangentielle de E




On a Bi ( x  0)  Br ( x  0)  Bt ( x  0) . D’où on tire Bt0 …
6) Effet de peau

Epaisseur de peau :
2
On a  
0 0
Lorsque la conductivité diminue,  augmente et quand    , on a
  0.
Lorsque la pulsation  augmente (ou 0 diminue),  diminue.
 Absorption sélective :
e
- Si   e , l’onde est totalement absorbée avant d’arriver à l’autre bord.
Si   e , l’onde atteint l’autre bord, et on a une onde transmise.
- Exemple :
Pour de l’aluminium, d’épaisseur e  1mm :
Si 0  0,2m (   1010 rad.s 1 ), on aura   1,5.106 m , et l’onde sera
totalement absorbée.
Si 0  2.105 m (   104 rad.s 1 ), on aura   3.10 3 m , et l’onde pourra
traverser.
- Si on envoie un mélange d’onde, les pulsations les plus basses vont
passer alors que les plus hautes seront absorbées. On a donc un filtre
passe-bas.
 Courant pelliculaire :


On a j   .E

j
On a donc un courant pelliculaire (une onde de courant)

Dans un conducteur parfait,   0 , j  

 
Et lim  j dx  js ; on a un courant surfacique.
  0
7) Résistance d’un conducteur

j
l

-
En courant continu :
Densité de courant uniforme
Résistance du conducteur :
   .S
 
I  j  S   .E  S 
U
l
l
Donc R 
 .S
-
Champ électromagnétique :

E
 
B 

E 
B

En régime permanent, le flux de  entrant est égal à l’énergie dissipée par
effet Joule.
 En courant alternatif :
- Champ à l’extérieur :


On a la même structure mais E et B vont se propager.
- A l’intérieur :

1  2
On a vu, avec les opérateurs :


t 0 0
a
Si a   , l’onde pénètre sur une très petite distance (la surface est alors
quasiment plane)
- Densité de courant :
 a

-

  a
Résistance :
1 l 
( j n’est plus uniforme)
 S
Section utile : la surface à prendre en compte devient uniquement la
couronne extérieure, c'est-à-dire s ~ 2 .a (si   a ). On a alors une plus grande
a
résistance R ' ~ R 
(et proportionnelle à  )
2
Application numérique :
Pour le cuivre,   59.106 S.m 1 . Si on prend un rayon a ~ 1mm ,
On n’a plus R 
On aura pour une fréquence  ~ 50Hz ,  ~ 9,3.103 m et donc R ' ~ R
Et pour  ~ 50MHz , on aura  ~ 9,3.106 m et donc R' ~ 54R .
C) Domaine optique
1) Définition
C’est lorsque   1
nq 2
On a alors   i
, qui correspond à la même forme que pour un plasma.
m
2) Ordre de grandeur
On a  ~ 10 15 s , donc   1015 rad.s 1 et 0  2m
3) Relation de dispersion
 nq 2     p
nq 2
 
Elle s’écrit alors k  2  i0  i
où  p 
.
m 0
c
c2
 m 
On a dans un métal n ~ 1030 m 3 .
Donc  p ~ 6.1016 rad.s 1 et  p ~ 0,03m .
Les deux cas    p et    p sont donc possibles (  p  2m ).
2
2
2
2
4) Equation d’onde
  p2 
E  2 E (Klein-Gordon)
c
5) Onde transmise

Si    p (rayons UV, X) :
On a alors k  R , c'est-à-dire une propagation sans atténuation.
Vitesse de phase : v 
c
. Vitesse de groupe : vg  c 1 
 p2
2
Le métal est donc transparent à l’UV et aux rayons X.
 Si    p :
On a k  iR ,


c
Et Et  Et exp(  x /  ) exp( i.t ) où  
.
 p2   2
1
 p2
2
0
On a donc une onde évanescente (donc pas de propagation)
6) Effet Joule
On a   iR
 
1
1  
Re( j  E*)  E  E * Re( )  0
2
2



(De plus, j   E donc le courant et le champ sont déphasés de )
2
Donc  p  