Division euclidienne et congruences dans Z

Division euclidienne et congruences dans Z
Multiples – Diviseurs
Soient
a
et
b
deux nombres
entiers. On dit que :
-a est un multiple de b
-a est divisible par b
-b est un diviseur de a
-b/a (b divise a)
ssi il existe un entier k tel que
a=bk.
a, b, c, k1, k2 sont des entiers.
Si a divise b et c, alors a
divise b+c, b-c, k1b+k2c
(combinaison linéaire de b et
c).
Division euclidienne
Soient a un entier relatif et b
un entier naturel non nul, il
existe un unique couple
d’entiers (q;r) vérifiant
a=bq+r et
br0
. Trouver
ce couple (q;r), c’est effectuer
la division euclidienne de a
par b : q s’appelle le quotient
et r le reste.
q est définie de la manière
suivante :
b
a
Eq
(partie
entière de a divisé par b : c’est
à dire le plus grand nombre
entier inférieur ou égal à a
divisé par b).
r est le nombre défini comme
suit : r=a-bq.
Congruences
Définition
Soit n un entier naturel
supérieur ou égal à 2. On dit
que a est congru à b modulo n,
et on écrit
][nba
, ssi a et b
ont le même reste dans la
division euclidienne par n.
Théorème
][nba
ssi a-b est un multiple
de n.
Formules
Si
][' naa
et
][' nbb
, alors :
-
]['' nbaba 
-
]['' nbaab
-
][' naa kk 
)( Nk
PGCD et PPCM de deux
entiers non nuls
Le PGCD de deux entiers non
nuls a et b est le plus grand
des diviseurs communs à a et
à b.

Le PPCM de deux entiers non
nuls a et b est le plus petit des
multiples strictement positifs
communs à a et à b.
Définitions
Deux nombres premiers entre
eux sont deux nombres dont le
PGCD vaut 1.
a et b sont deux entiers non
nuls. Si M=ppcm(a;b),
D=pgcd(a;b), a=Da’ et
b=Db’, alors
M=Da’b’=ab’=a’b, MD=ab
et pgcd(a’;b’)=1
Les diviseurs communs à a et
à b sont les diviseurs du
PGCD.
Les multiples communs à a et
à b sont les multiples du
PPCM.
Algorithme d’Euclide
Soient a et b deux entiers non
nuls. La suite des divisions
euclidiennes suivantes :
11 rbqa
221 rqrb 
3321 rqrr 
…
1123   iiii rqrr
ii
ii rqrr   12
s’arrête ;
0
i
r
et
pgcd(a;b)=
1i
r
.
Théorème de Bézout
Egalité de Bézout
a et b deux entiers relatifs non
nuls et pgcd(a;b)=D ; il existe
deux entiers relatifs u et v tels
que D=au+bv.
Théorème de Bézout
*Za
,
*Zb
et pgcd(a;b)=1
ssi il existe
Zu
et
Zv
tels
que au+bv=1.
Méthode pour trouver u et v
Il faut d’abord s’assurer que
les nombres sont premiers
entre eux à l’aide de
l’algorithme d’Euclide.
Puis, on remonte l’algorithme
d’Euclide à partir du dernier
reste non nul
Exemple
pgcd(37;17)=1
D’après le théorème de
Bézout, il existe u et v tels que
37u+17v=1
321737 
25317 

1123 
0212 
1231 
1)5317(31 
117361 
117)21737(61 
17133761 
donc u=6 et v=-13
Théorème de Gauss
Si a/bc et pgcd(a;b)=1 alors
a/c
Corollaires
* Si a/c et b/c et pgcd(a;b)=c
alors ab/c.
* Si pgcd(
1
;ba
)=1 et
pgcd(
2
;ba
)=1 alors
pgcd(
2
1
;bba
)=1
L’équation diophantienne
ax+by=d (a, b, d connus ; x, y
inconnus)
Posons pgcd(a;b)=D,
l’équation ax+by=d admet au
moins une solution ssi d est
multiple de D.
(Ce qui figure en rouge est la
rédaction qui doit apparaître
sur toutes les résolutions
d’équations de ce type)
* Existence des solutions
Calcul du pgcd(a;b)
Si pgcd(a;b)=1, alors
l’équation au+bv=1 admet au
moins une solution.
* Recherche d’une solution
particulière de ax+by=1
(voir Méthode pour trouver u
et v)
* Recherche d’une solution
particulière de ax+by=d
x0=d u et y0=d v
* Recherche de toutes les
solutions de ax+by=d
ax+by=1
ssi ax+by-(ax0+by0)=0
ssi a(x-x0)+b(y-y0)=0
ssi a(x-x0)=-b(y-y0)
le aprèsd' donc,
1);(pgcd )(/ 0 ba yyba
0/ Gauss, de théorème yya 
d’où il existe
Zk
tel que
y-y0=ak ; y=ak+y0
d’où a(x-x0)=-b(ak+y0-y0)
a(x-x0)=-b ak
x=-bk+x0
* Vérification
Il faut s’assurer qu’en
remplaçant x et y par les
valeurs trouvées, on trouve
bien d.
Les solutions de l’équation
ax+by=d sont le couple (x;y)
(Attention, il ne s’agit que de
la reprise formelle d’un
exemple et non d’une méthode
de résolution, d’une
démonstration, …)