Systèmes sphériques 1 ____________________________________________________________________________________ Chap. 3 Systèmes sphériques I. Dioptres sphériques : .......................................................................................................................... 2 I.1. Définition et notations : .............................................................................................................. 2 I.2. Image d'un point : ........................................................................................................................ 2 I.3. Relation de conjugaison avec origine au sommet : ................................................................ 3 I.4. Foyers d'un dioptre sphérique : ............................................................................................... 5 I.5. Construction de l'image d'un objet transversal : ................................................................. 6 I.6. Grandissement transverse :....................................................................................................... 7 II. Miroirs sphériques : .......................................................................................................................... 7 II.1. Définition et notations :............................................................................................................ 7 II.2. Relation de conjugaison avec origine au sommet : .............................................................. 8 II.3. Foyers d'un miroir sphérique : ................................................................................................ 8 II.3. Construction de l'image d'un objet transversal : ............................................................... 8 III. Les lentilles :..................................................................................................................................... 9 III.1. Les lentilles épaisses : ............................................................................................................. 9 III.1.1. Définition : .......................................................................................................................... 9 III.1.2. Position des foyers : ...................................................................................................... 10 III.1.3. Application à une sphère transparente : ................................................................... 11 III.2. Les lentilles minces : ............................................................................................................. 12 III.2.1. Définition et caractéristiques : .................................................................................. 12 III.2.2. Exemples de lentilles minces : .................................................................................... 12 III.2.3. Relation de conjugaison avec origine au centre : .................................................... 13 III.4. Foyers d'une lentille mince : ............................................................................................... 14 III.5. Construction d'une image : .................................................................................................. 14 IV. Quelques applications des lentilles: ............................................................................................ 15 IV.3.1. Loupe de Coddington : ..................................................................................................... 15 Systèmes sphériques 2 ____________________________________________________________________________________ Chap. 3 SYSTEMES SPHERIQUES Dioptres sphériques – Miroirs sphériques – Lentilles I. Dioptres sphériques : I.1. Définition et notations : Un dioptre sphérique sépare deux milieux d'indice différents n1 et n2, et possède un rayon de courbure R (Figure 1). Remarquons que le dioptre plan est un dioptre sphérique dont le rayon de courbure est infini. C centre du dioptre S sommet du dioptre R = rayon de courbure. R, compte tenu de sa définition, peut être positif ou négatif. (Cx) axe principal ou axe optique Figure 1 I.2. Image d'un point : Figure 2 Soit un point A de l'axe principal. Pour construire l'image A' de A, prenons un rayon issu de A, frappant le dioptre en I (Figure 2). Dans l'exemple donné, n1 < n2. Si l'on considère un élément Systèmes sphériques 3 ____________________________________________________________________________________ infinitésimal du dioptre autour de I, cet élément peut être considéré comme plan. La loi de Descartes indique que le rayon réfracté se rapprochera de la normale. Le rayon réfracté semble provenir d'un point A' de l'axe (Cx). A' est l'image de A par le dioptre, puisqu'un rayon provenant de A et passant par S émerge sans être dévié. Notons que A' est plus proche de S que A. Figure 3 Dans le cas présenté ci-dessus, n1 > n2. L'image A' de A, toujours virtuelle, est repoussée vers l'avant. I.3. Relation de conjugaison avec origine au sommet : I A c b B a C Figure 4 Dans ce paragraphe, nous allons déterminer une relation entre la position de l'objet et de l'image par rapport au point S. En préliminaire, nous allons démontrer une relation utile dans un triangle quelconque (Figure 4) : IC sin Aˆ sin Aˆ b IC sin Bˆ a Systèmes sphériques 4 ____________________________________________________________________________________ donc a sin Aˆ b sin Bˆ De même, en appliquant cette méthode à l'angle Ĉ , nous obtenons la relation générale suivante : a sin Aˆ b c sin Bˆ sin Cˆ Dans le triangle (CIA1) (Figure 5) : A1 I AI AC 1 1 sin sin sin i1 Dans le triangle (CIA1) : A2 I AI AC 2 2 sin sin sin i2 Figure 5 sin A1 I AI sin i1 2 sin i2 A1C A2 C de plus n1 sin i1 n2 sin i2 d'où : A1 I A2 I n1 A1C n2 A2 C Cette relation, qui a été démontrée en utilisant les distances est à appliquer en fait sur les mesures algébriques : Systèmes sphériques 5 ____________________________________________________________________________________ A1 I A2 I n1 A1C n2 A2 C Dans les conditions de Gauss, c'est à dire pour des angles incidents très inférieurs à 1, I est proche de S : A1 S AS 2 n1 A1C n2 A2 C CA1 CS SA1 de même CA2 CS SA2 n1 CA1 n1 CA2 n CS SA1 n2 CS SA2 1 SA1 SA2 SA1 SA2 SC SC n2 1 n1 1 SA SA 1 2 n1 n1 SC SC n2 n2 SA1 SA2 soit, en divisant les deux membres par SC : n1 n n n 2 1 2 SA1 SA2 SC Cette relation est appelée relation de conjugaison avec origine au sommet. I.4. Foyers d'un dioptre sphérique : Le foyer image F' d'un système optique quelconque est l'image d'un objet situé à l'infini. De la même manière, le foyer objet F est le lieu d'occupation d'un objet dont l'image est à l'infini. A1 à l'infini donc A2 en F'. La relation de conjugaison devient : n2 n1 n2 SF ' SC d'où Systèmes sphériques 6 ____________________________________________________________________________________ SF ' n2 SC n2 n1 A2 à l'infini donc A1 en F. La relation de conjugaison devient : n1 n1 n2 SF SC d'où SF n1 SC n1 n2 Il est clair que ces deux relations n'ont pas à être apprises par cœur, mais doivent être retrouvées à partir de la relation de conjugaison. I.5. Construction de l'image d'un objet transversal : Pour déterminer l'image d'un objet AB, il faut au moins deux rayons. Il existe, pour les dioptres sphériques, trois rayons particuliers : Un rayon qui passe par C n'est pas dévié. Un rayon qui passe par F (si F est en avant du dioptre) ou qui passerait par F (si F est en arrière du dioptre) ressort parallèlement à l'axe optique (Figures 6 et 7). Un rayon parallèle à l'axe optique ressort en convergeant vers F' (si F' est en arrière du dioptre) ou en divergeant, le rayon semblant provenir de F' (si F' est en avant du dioptre). Selon les valeurs des indices, ou la nature du dioptre (convexe ou concave), l'image peut être : réelle ou virtuelle. droite ( > 0) ou renversée ( < 0). agrandie ou réduite. Systèmes sphériques 7 ____________________________________________________________________________________ Figure 6 Figure 7 I.6. Grandissement transverse : Considérons les triangles (CAB) et (CA'B') de la figure 7 : A' B' CA' AB CA II. Miroirs sphériques : II.1. Définition et notations : Un miroir sphérique a une surface réfléchissante et, comme le dioptre sphérique, un rayon de courbure (Figure 8). Figure 8 Systèmes sphériques 8 ____________________________________________________________________________________ II.2. Relation de conjugaison avec origine au sommet : Contrairement au dioptre sphérique, un seul milieu intervient, d'indice n (Figure 8). Il n'est pas besoin de redémontrer la relation. Il suffit de remarquer que le miroir est un dioptre dont le deuxième milieu aurait pour indice –n, le signe "moins" assurant le retour des rayons après réflexion. La relation établie au § I.3. devient : 1 1 2 SA1 SA2 SC II.3. Foyers d'un miroir sphérique : Comme dans le § I.4., il faut faire tendre et vers l'infini pour trouver la position des foyers objet F et image F'. Il vient (Figure 9) : SF SF ' SC 2 Comme le montre la relation ci-dessus, le résultat est beaucoup plus simple que dans le cas d'un dioptre sphérique. Figure 9 II.3. Construction de l'image d'un objet transversal : Le principe de construction est bien entendu le même que celui adopté pour le dioptre sphérique (Figure 10). Systèmes sphériques 9 ____________________________________________________________________________________ Figure 10 III. Les lentilles : III.1. Les lentilles épaisses : III.1.1. Définition : Une lentille épaisse est formée par l'association de deux dioptres sphériques dont les sommets S1 et S2 sont distincts l’un de l’autre. Il n’existe pas de relation particulière pour les lentilles épaisses, contrairement aux lentilles minces (cf § III.2.). Il faut utiliser la relation de conjugaison pour les dioptres sphériques et l’utiliser pour chacun des dioptres. La Figure 11 montre un exemple de lentille épaisse, comportant un dioptre convexe, puis un dioptre concave, et d’indice n. Figure 11 Les relations de conjugaison s’écrivent : 1 n 1 n S1 A S1 A1 S1C1 n 1 n 1 S 2 A1 S 2 A' S 2 C2 Systèmes sphériques 10 ____________________________________________________________________________________ III.1.2. Position des foyers : A partir de ces relations, la position des foyers objet et image de ces deux dioptres sont faciles à déterminer (Figure 12). Figure 12 La Figure 13 indique le tracé des rayons issus du foyer objet F1 du dioptre (1). Les rayons ressortent parallèlement à l’axe optique dans le milieu d’indice n et convergent, à la sortie du dioptre (2), au foyer image F’2 de ce dioptre. Figure 13 Nous pouvons aussi définir les foyers F et F’ du système composé des deux dioptres. F est le point dont l’image par le système est à l’infini (Figure 14), alors que F’ est l’image d’un point situé à l’infini (Figure 15). Figure 14 Systèmes sphériques 11 ____________________________________________________________________________________ Figure 15 III.1.3. Application à une sphère transparente : Soit une sphère transparente d’indice n = 1,5, de centre C et de rayon de courbure S1C CS2 20 cm (Figure 16). Figure 16 L’application des relations de conjugaison donne : S1F1 S 2 F '2 = –20 cm, S1F '1 S 2 F2 = 30 cm, et S1F S 2 F ' = –10 cm. Les Figures 17 et 18 montrent le tracé des rayons issus de F et venant de l’infini, donc convergent vers F’. Nous vérifions bien à travers ces figures que les foyers F et F’ sont bien à une distance des sommets deux fois plus petite que le rayon de la sphère. Figure 17 Systèmes sphériques 12 ____________________________________________________________________________________ Figure 18 III.2. Les lentilles minces : III.2.1. Définition et caractéristiques : Une lentille mince est formée par l'association de deux dioptres sphériques dont les sommets S1 et S2 sont pratiquement confondus en un même point O (Figure 19). Le point O est appelé centre de la lentille. L'axe passant par O, et est appelé axe principal de la lentille. Le plan perpendiculaire à cet axe est appelé plan de la lentille. Figure 19 III.2.2. Exemples de lentilles minces : La Figure 20 présente quelques types de lentilles minces, convergentes et divergentes. Remarquons qu'une lentille convergente a des bords minces, alors qu'une lentille divergente a des bords épais. Systèmes sphériques 13 ____________________________________________________________________________________ Figure 20 III.2.3. Relation de conjugaison avec origine au centre : Une lentille mince étant composée de deux dioptres, nous allons évidemment utiliser les relations de conjugaison pour les dioptres. Supposons que la lentille soit dans l'air, d'indice 1, et que la lentille soit composée d'un matériau d'indice N. Appelons A1 l'image de A par le 1er dioptre et A' l'image de A1 par le 2ème dioptre. 1 N 1 N S1C1 S1 A S1 A1 N 1 N 1 S2C2 S2 A1 S2 A' La lentille étant mince, les deux sommets sont proches de O. Les deux relations ci-dessus deviennent : 1 N 1 N OC1 OA OA1 N 1 N 1 OC 2 OA1 OA' En éliminant le quotient faisant intervenir l'image intermédiaire, nous obtenons : 1 N 1 N 1 1 OC1 OA OC 2 OA' N 1 N 1 1 1 OC1 OC 2 OA' OA Systèmes sphériques 14 ____________________________________________________________________________________ 1 1 1 1 N 1 OA' OA OC1 OC 2 Cette relation constitue la relation de conjugaison avec origine au centre pour les lentilles minces. III.4. Foyers d'une lentille mince : Pour déterminer les foyers objet F et image F', il faut faire tendre respectivement l'objet et l'image vers l'infini. Nous obtenons : 1 1 1 1 N 1 OF ' OF OC1 OC 2 La relation de conjugaison peut donc se mettre sous la forme suivante : 1 1 1 OA' OA OF ' III.5. Construction d'une image : Figure 21a Figure 21b Systèmes sphériques 15 ____________________________________________________________________________________ Figure 21c La Figure 21 ci-dessus schématise un exemple de construction d'images d'un objet réel ou virtuel dans le cas d'une lentille convergente. Lorsque l'objet est réel et en amont de F, l'image est réelle. Si l'objet réel est en aval de F, l'image est virtuelle (principe de la loupe). Si l'objet est virtuel, l'image est réelle. IV. Quelques applications des lentilles: IV.3.1. Loupe de Coddington : La loupe (ou microscope) de Coddington est constituée d'une sphère au centre de laquelle est inséré un diaphragme afin d'avoir un stigmatisme approché et de l'utiliser en orthoscopie (Figure 22). Figure 22 Systèmes sphériques 16 ____________________________________________________________________________________