Filtre (électronique)

FILTRE (ELECTRONIQUE)
Un filtre est un circuit électronique qui réalise une opération de traitement du signal.
Autrement dit il atténue certains signaux et en laisse passer d'autres. Un exemple connu du
grand public est l'égaliseur audio.
Un filtre modifie (ou filtre) certaines parties d'un signal d'entrée dans le domaine temps et
dans le domaine fréquence. D'après la théorie de Fourier, tout signal réel peut être considéré
comme composé d'une somme de signaux sinusoïdaux (en nombre infini si nécessaire) à des
fréquences différentes ; le rôle du filtre est de modifier la phase et l'amplitude de ces
composantes.
Filtres linéaires invariants par le décalage
En général, lorsque l'on parle de filtre en électronique, il s'agit d'un opérateur (ou circuit)
possédant deux propriétés mathématiques bien précises :


la linéarité : la somme de la réponse du filtre à deux signaux d'entrée est égale à sa
réponse à la somme de ces deux signaux.
l'invariance dans le décalage : la réponse d'un filtre à un signal donné est identique
mais retardée de T lorsque ce signal est retardé de T.
Lorsqu'un opérateur (ou circuit) possède ces deux propriétés de base, on peut montrer
facilement, par la théorie de Fourier, qu'on peut le caractériser par sa réponse impulsionnelle
ou par sa fonction de transfert.
Tout signal pouvant être décomposé en une somme de signaux sinusoïdaux de différentes
fréquences (dit spectre fréquentiel), un moyen simple de caractériser un filtre est donner sa
fonction de transfert, qui peut être obtenue en comparant le spectre fréquentiel du signal
d'entrée avec celui du signal de sortie du filtre.
Un autre moyen de caractériser un filtre est sa réponse impulsionnelle, c'est-à-dire le signal en
sortie du filtre lorsque le signal d'entrée est une impulsion de Dirac, c'est-à-dire lorsque toutes
les fréquences sont présentes à son entrée.
Lorsque le signal est discret, on utilise la transformée en Z plutôt que la transformée de
Fourier.
Classification
On peut classer les filtres à partir de la forme de leur fonction de transfert. Les filtres les plus
courants sont de l'un des quatre types suivants : passe-bas, passe-haut, passe-bande ou
réjecteur de bande.

Un filtre passe-haut ne laisse passer que les fréquences au-dessus d'une fréquence
déterminée, appelée fréquence de coupure. Il atténue les autres (basses fréquences).
Autrement dit, il «laisse passer ce qui est haut». C'est un atténuateur de graves pour un
signal audio. On pourrait aussi l'appeler coupe-bas.



Un filtre passe-bas ne laisse passer que les fréquences au-dessous de sa fréquence de
coupure. C'est un atténuateur d'aigües pour un signal audio. On pourrait l'appeler
coupe-haut.
Un filtre passe-bande ne laisse passer qu'une certain bande de fréquences (et atténue
tout ce qui est au-dessus ou en-dessous). Il est très utilisé dans les récepteurs radio,
tv… pour isoler le signal que l'on désire capter.
Un filtre réjecteur, aussi appelé filtre trappe, cloche ou coupe-bande, est le
complémentaire du passe-bande. Il atténue une plage de fréquences. Cela peut être
utile pour diminuer certains parasites par exemple.
Techniquement, un filtre peut être réalisé de différentes manières : passive, active ou
numérique.
Filtres passifs
Filtre passif "passe-bas"
Un filtre passif se caractérise par l'usage exclusif de composants passifs (résistances,
condensateurs, bobines couplées ou non). Par conséquent, leur gain (rapport de puissance
entre la sortie et l'entrée) ne peut excéder 1. Autrement dit, ils ne peuvent qu'atténuer en partie
des signaux, mais pas les amplifier.
Les réalisations les plus simples sont basées sur des circuits RC, RL, LC ou Circuit RLC.
Mais il est bien sûr permis d'augmenter la complexité du filtre (et le nombre de composants).
Moins il y aura de composants, plus il sera délicat d'être sélectif : l'atténuation se fera
progressivement. Avec plus de composants, on peut espérer couper plus brutalement une
fréquence en touchant moins les voisines.
Les filtres passifs sont rarement sujet à des phénomènes de saturation (hormis quelques cas de
bobines avec noyau) d'où par exemple leur usage dans les enceintes de haut-parleurs. De plus
ils peuvent exister dans toutes les gammes de fréquences (d'où leur usage dans certains
circuits haute fréquence comme en radio par exemple). Toutefois, un même circuit peut
difficilement couvrir à lui seul une très large gamme de fréquences car le choix d'un type de
bobine ou de condensateur dépend de la fréquence. C'est faisable mais plus complexe. Citons
l'exemple du condensateur électro-chimique : bien adapté aux basses fréquences, il devient
assez vite inductif avec l'augmentation de la fréquence (il perd son comportement capacitif).
Une bobine est constituée d'un fil et est donc très conductrice en basse fréquence. Par contre,
elle s'oppose au passage des hautes fréquences. Les condensateurs font l'inverse (isolant en
basse fréquence, conducteur en haute fréquence). Les résistances ne sélectionnent pas les
fréquences à elles seules, mais permettent de définir les constantes de temps d'un circuit en
limitant plus ou moins les courants. Donc les résistances déterminent la fréquence à laquelle
le filtre agira et son atténuation.
Au-delà de 100 MHz: les inductances sont souvent constituées par un simple fil sinueux ou
des bandes de métal, et les condensateurs par des bandes de métal superposées (stubs). Par
exemple sur les deux faces opposées d'un circuit imprimé.
Pour les filtres du second ordre, c'est-à-dire pouvant être décrits par une équation
différentielle du second ordre, il est possible de définir un facteur de qualité, c'est à dire le
rapport entre leur fréquence centrale et leur bande passante. Un filtre ayant une bande très fine
par rapport à sa fréquence centrale sera considéré comme très sélectif ou de grande qualité.
Le circuit est soumis à plus ou moins de bruits parasites apparaissant dans les signaux. Cela
dépend des composants employés. Bruit thermique très faible dans les résistances, bruit assez
faible dans les condensateurs, mais sensibilité aux champs magnétiques plus importante avec
les bobines.
Pour être complet, il convient de mentionner les filtres à quartz, les filtres à onde de surface
(Surface Acoustic Waves filters ou SAW), les filtres céramique et les filtres mécaniques, qui
font aussi partie des filtres passifs.
Ils peuvent être considérés dans le cas le plus général comme des quadripôles.
Filtres actifs [modifier]
Filtre actif "passe-bas"
Les filtres actifs se caractérisent par l'usage d'au moins un composant actif (par exemple
transistor, amplificateur opérationnel, ou autre circuit intégré…).
Ces filtres ont l'avantage de pouvoir se passer de bobines qui sont chères, difficilement
miniaturisables et imparfaites (angles de pertes, résonances propres, sensibilité aux parasites).
De plus ils ont un gain qui peut être supérieur à 1 (ils peuvent amplifier).
Ce type de filtre convient bien aux signaux de faible amplitude et de faible puissance. Les
filtres actifs sont donc largement utilisés dans les amplificateurs audio et instruments
électroniques de toutes sortes.
Côté inconvénients, contrairement aux filtres passifs, ils nécessitent une alimentation
électrique et sont limités en amplitude (saturation). Aujourd'hui ils peuvent couvrir de larges
bandes de fréquence. Les composants actifs (ainsi que les résistances dans une moindre
mesure) peuvent introduire du bruit parasite, ce qui, au-delà d'un certain seuil, peut être
gênant. Toutefois ce bruit peut souvent être maîtrisé.
Dans cette catégorie de filtres on peut à la rigueur ranger les filtres à capacités commutées,
qui sont à mi-chemin entre les filtres passifs et actifs.
Filtres numériques [modifier]
Un filtre numérique se caractérise par le traitement entièrement numérique du signal. Au
préalable, le signal est numérisé par un convertisseur analogique-numérique (CAN), c’est-àdire qu’à intervalles réguliers (appelés période d’échantillonnage) l’amplitude instantanée du
signal est observée puis quantifiée. On n’observe donc pas le signal en permanence et ces
filtres réagissent donc assez mal face à des signaux (même parasites) de fréquence plus élevée
que celle prévue.
Un filtre numérique traite un flot continu d'informations (comme par exemple celui lu sur un
CD audio) et calcule en temps réel un nouveau flot de données sortantes, qui correspondent au
signal filtré désiré. Les données de sortie peuvent apparaître au même rythme ou à un rythme
différent des données entrantes.
En bout de chaîne, le signal analogique est reconstruit par un convertisseur numériqueanalogique (CNA). Ces filtres ont l’avantage de pouvoir être intégrés dans des circuits
numériques miniaturisables à l’extrême, tels des processeurs (Digital Signal Processors, DSP
en particulier) et de ne nécessiter quasi aucun composant analogique, ce qui garantit des
caractéristiques strictement reproductibles d’un appareil à l'autre : en d’autres termes la
précision est bien meilleure puisqu’il y a moins de composants analogiques.
Toutefois, les filtres numériques ont évidemment des limitations (arrondis de calcul,
amplitude limitée, repliement de spectre…). Par contre ils offrent l’avantage de pouvoir être
reprogrammés (éventuellement à la volée) pour changer de caractéristiques rapidement, sans
changer de circuit matériel.
Les filtres numériques produisent aussi du bruit (en plus du bruit introduit dans le signal par
les convertisseurs AN et NA) appelé bruit de quantification. Il existe des techniques pour
essayer de réduire ce dernier.
Ils permettent d’obtenir des caractéristiques spectrales dont certaines ne peuvent être
reproduites par aucun filtre analogique (actif ou non) : par exemple, ils peuvent être très
sélectifs ou éliminer toute une série de composantes harmoniques (filtre en peigne). C’est
uniquement une question de calcul mathématique.
Notons que la fréquence maximale du spectre du signal que traite un filtre numérique doit
rester bien inférieure à la moitié de la fréquence d'échantillonnage (Théorème
d'échantillonnage de Nyquist-Shannon), et que par conséquent le filtre numérique n'est pas
adapté pour des signaux étalés sur une trop grande bande de fréquence. . Il a fallu attendre la
montée en puissance des capacités de calcul des processeurs pour voir apparaître ces filtres à
grande échelle. Ils sont dorénavant très utilisés dans l’électronique moderne où l’analogique
cède le pas au numérique. La plupart des signaux étant numériques ils sont traités directement
comme tels.
Autres technologies [modifier]
Filtres piézoélectriques [modifier]
Les qualités piézoélectriques de certain matériaux, comme le quartz, peuvent être utilisées
dans la conception de filtres. Les filtres à quartz possèdent un facteur de qualité élevé et une
très bonne stabilité en température.
Filtres SAW [modifier]
Un filtre SAW (de l'anglais Surface Acoustic Wave, « onde acoustique de surface ») est un
système électromécanique utilisé généralement dans des applications utilisant les ondes radio.
Les signaux électriques sont convertis en onde mécanique par un cristal piézoélectrique. Cette
onde est retardée lors de sa propagation dans le cristal, puis reconvertie en signal électrique.
Les sorties retardées sont recombinées pour produire une implémentation d'un filtre à réponse
impulsionnelle finie.
Filtres atomiques [modifier]
Pour des fréquences et une précision plus élevées, il est possible d'utiliser les modes
vibratoires d'atomes. Les horloges atomiques utilisent des masers à césium comme filtres à
très haut facteur de qualité afin de stabiliser leurs oscillateurs primaires. Une autre méthode,
utilisée pour des fréquences élevées et fixes sur des signaux radio très faibles, est d'utiliser un
maser à rubis.
Circuit RC
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Un circuit RC est un circuit électrique, l'un des filtres les plus simples, composé d'une
résistance et d'un condensateur généralement associés en série, alimenté par une source de
tension.
Sommaire
[masquer]

1 Circuit série
o 1.1 Tension
o 1.2 Fonction de transfert
 1.2.1 Pôles et zéros
o 1.3 Gain et phase
o 1.4 Intensité
o 1.5 Réponse impulsionnelle
o 1.6 Domaine des fréquences
o 1.7 Domaine temporel
 1.7.1 Intégrateur
 1.7.2 Dérivateur


2 Circuit parallèle
3 Voir aussi
Circuit série [modifier]
Tension [modifier]
Circuit RC série
On exprime l'impédance du condensateur sous la forme :
En considérant le circuit comme un diviseur de tension, il est possible d'écrire :
.
Fonction de transfert [modifier]
La fonction de transfert du condensateur est égale à :
De manière similaire, la fonction de transfert de la résistance est égale à :
Pôles et zéros [modifier]
Les deux fonctions de transfert possèdent un seul pôle à :
De plus, la fonction de transfert de la résistance possède un zéro à l'origine.
Gain et phase [modifier]
Pour un dipôle, on peut écrire la fonction de transfert sous la forme H(s) = Geiφ, où G est le
gain du dipôle et φ sa phase.
En posant s = σ + iω, le gain pour chacun des deux composants du circuit RC est :
et
Similairement, leur phase est :
et
,
Intensité [modifier]
L'intensité du courant est la même dans tout le circuit, puisqu'il s'agit d'un circuit série :
Réponse impulsionnelle [modifier]
La réponse impulsionnelle est la transformée de Laplace inverse de la fonction de transfert
correspondante et représente la réponse du circuit à une impulsion.
Pour le condensateur :
où u(t) est la fonction de Heaviside et
est la constante de temps.
Pour la résistance :
Domaine des fréquences [modifier]
L'analyse du circuit dans le domaine des fréquences permet de déterminer quelles fréquences
le filtre rejette ou accepte.
Quand
:
.
Quand
:
.
Ainsi, lorsque la sortie du filtre est prise sur le condensateur, les hautes fréquences sont
atténuées et les basses fréquences passées, un comportement type d'un filtre passe-bas. Si la
sortie est prise sur la résistance, l'inverse se produit et le circuit se comporte comme un filtre
passe-haut.
La fréquence de coupure du circuit est égale à :
(en Hz)
La phase dépend également de la fréquence :
Quand
:
.
Quand
:
Aux fréquences faibles, la tension aux bornes du condensateur est en phase avec celle du
signal d'entrée, tandis que la tension aux bornes de la résistance est en avance de phase. Aux
fréquence élevées, la tension aux bornes de la résistance est en phase avec le signal d'entrée,
tandis que le condensateur est en retard de phase.
Domaine temporel [modifier]
En supposant que le circuit est soumis à un échelon de tension en entrée (Vin = 0 pour t = 0 et
Vin = V sinon) :
.
La transformée de Laplace inverse de ces expressions donne :
VR(t) = Ve − t / RC.
Dans ce cas, le condensateur se charge et la tension à ses bornes tend vers V, tandis que celle
aux bornes de la résistance tend vers 0.
Le circuit RC possède une constante de temps, généralement notée τ = RC, représentant le
temps que prend la tension pour approcher sa valeur finale à mieux que 1 / e.
Il est également possible de dériver ces expressions des équations différentielles décrivant le
circuit :
VR = Vin − VC.
Les solutions sont exactement les même que celles obtenues par la transformée de Laplace.
Intégrateur [modifier]
A haute fréquence, c'est à dire si
, le condensateur n'a pas le temps de se
charger et la tension à ses bornes reste faible.
Ainsi :
et l'intensité dans le circuit vaut donc :
.
Comme,
on obtient :
.
La tension aux bornes du condensateur intègre donc la tension d'entrée et le circuit se
comporte comme un montage intégrateur.
Dérivateur [modifier]
A basse fréquence, c'est à dire si
quasiment complètement.
, le condensateur a le temps de se charger
Alors,
Maintenant,
.
La tension aux bornes de la résistance dérive donc la tension d'entrée et le circuit se comporte
comme un montage dérivateur.
Circuit parallèle [modifier]
Circuit RC parallèle
Le circuit RC parallèle est généralement d'un intérêt moindre que le circuit RC série : la
tension de sortie étant égale à la tension d'entrée, il ne peut être utilisé comme filtre
qu'alimenté par une source de courant.
Les intensités dans les deux dipôles sont :
IC = jωCVin.
Le courant dans le condensateur est déphasé de 90° par rapport au courant d'entrée (et de la
résistance).
Soumis à un échelon de tension, le condensateur se charge rapidement et peut être considéré
comme un circuit ouvert, le circuit se comportant dès lors comme une simple résistance.