1/ Sens de Variation d`une fonction

RECURRENCE :
Le principe de récurrence utilisé dans beaucoup de démonstrations se décompose en 3 étapes (VSD) :
→ Etape 1 (Vérification) : On Vérifie que la formule est vraie pour le premier terme.
→ Etape 2 (Supposition) : On Suppose que la formule à démontrer est vraie.
→ Etape 3 (Démonstration) : On Démontre qu’elle est vraie au rang suivant.
Ce principe, compliqué en apparence, est en fait assez simple, on montre que la formule est vraie dès le départ et on
démontre que si elle est vraie à un certain rang alors elle est vraie au rang suivant, la formule est donc tout le temps vraie.
FONCTIONS, SUITES, QUELQUES BASES :
- Additionner des fonctions ayant le même sens de variation ne change pas ce sens de variation.
- Multiplier une fonction par un nombre négatif change son sens de variation.
- g o u = g(u(x)) = la fonction g appliquée à la fonction u.
- Si g et u ont même sens de variation alors g o u croissante, sinon g o u décroissante.
-Les limites marchent généralement de manière assez intuitive. Limites à connaître absolument : x², x ,
Error!
, ln x,
ex
-Limites basiques : →
Error!
= 0 →
Error!
= ∞ →
Error!
= ∞ →
Error!
= 0 -Limites problématiques : → +∞-
∞ → 0×∞ →
Error!
→
Error!
-A l’infini un polynôme a même limite que son terme de + haut degré (ex dans x3+5x²-8x+3, on ne s’occupe que de x3),
de même à l’infini un quotient de polynôme a même limite que le quotient simplifié de ses termes du plus haut degré.
-Si lim x → a u(x) = k et si lim X → k g(X) = ℓ alors lim x → a (g o u) (x) = ℓ
-S’il existe A réel tel que pour tout x ≥ A, on a f(x)≥g(x) avec lim x → +∞ g(x) = +∞ alors lim x → +∞ f(x) = +∞ (idem en -∞)
-S’il existe A réel tel que pour tout x ≥ A, on a u(x) ≤ f(x) ≤ v(x) avec lim x → +∞ u(x) = lim x → +∞ v(x) = ℓ alors
lim x → +∞ f(x) = ℓ (idem en -∞)
-Si lim x → c f(x) =  ∞ alors la droite d’équation x = c est asymptote verticale à f.
-Si lim x →  ∞ f(x) = b alors la droite y = b est asymptote horizontale à f en  ∞.
-Si lim x →  ∞ f(x) - (ax+b) = 0 alors la droite y = ax+b est asymptote oblique à f en  ∞. Cette méthode est la plus
simple et la plus utilisée pour démontrer une asymptote oblique d’équation y = ax + b, toutefois on peut aussi montrer
que f (x) = ax + b +  (x) avec lim x →  ∞  (x) = 0.
-Position de f et de son asymptote A : on pose g(x)=f(x)-(ax+b). Si g(x)<0 alors f en dessous de A, sinon c’est l’inverse.
-Une suite monotone est soit croissante (si pour tout n, un+1 ≥ un) soit décroissante (si pour tout n, un+1 ≤ un).
Pour trouver le sens de variation d’une suite un avec un = f(n) on peut → étudier le signe de u n+1 – un, si c’est un nombre
positif alors la suite est croissante, si il est négatif alors elle est décroissante (s’il est nul c’est que la suite est constante).
ou →étudier le sens de variation de la fonction f sur [0 ; + ∞[, c’est le sens de variation de un.
-Suite : →majorée : si pour tout n, il existe un réel M tel que un ≤ M. →minorée : s’il existe un réel m tel que un ≥ m.
-Une suite bornée est une suite majorée et minorée.
-Une suite converge vers ℓ si lim x → +∞ un = ℓ ou ℓ est un nombre réel. Une suite diverge si elle ne converge pas.
-Une suite croissante et majorée par M (ou décroissante et minorée par m) est convergente vers une limite ℓ≤M (ou ℓ≥m)
CONTINUITE D’UNE FONCTION :
-Très concrètement une fonction est continue si son graphique peut être dessiné « sans lever le crayon ».
-Une fonction f(x) est continue en a si lim x → a f(x) = f(a).
-Une fonction f(x) est continue sur l’intervalle I si f(x) continue en tout point de I.
-Si f est dérivable en un point a ou en un intervalle I alors f est continue en ce point a ou en cet intervalle I.
-Théorème des valeurs intermédiaires : Si f continue et monotone (sens de variation constant) sur un intervalle
[a ; b] et k un nombre entre f(a) et f(b) alors l’équation f (x) = k admet une unique solution y entre [a ; b].
Si f n’est pas monotone alors on peut seulement dire que toutes les valeurs entre f(a) et f(b) sont prises au moins une fois.
LA DERIVATION :
-Soit f définie en un point a et dans un intervalle contenant a, f est dérivable en a et a pour dérivé le nombre fini L noté
f’(a) si: → lim h → 0
Error!
= L ou → lim x → a
Error!
= L ou → f(a+h) = f(a) + L×h + h×(h) avec limx→0 (x)=0
-Si f est dérivable en a alors Cf (courbe représentant f) admet au point d’abscisse a une tangente de coefficient directeur
f’(a), dont un vecteur directeur est
Error!Error!
et dont l’équation est donnée par y = f’(a) × (x – a) + f(a).
-Une fonction f(x) est dérivable sur l’intervalle I si f(x) dérivable en tout point de I.
- (g o u)’ = g’(u) × u’ (attention à ce que u et g(u) soit dérivable). Cela peut se réécrire (g o u)’(x) = g’(u(x)) × u’(x).
On en déduit : → (uⁿ)’= nu ⁿ-1 × u’ (n entier ≥ 1) → ( u )’ =
Error!
→ (
Error!
)’ = -
Error!
→ (
Error!
)’ = -
Error!
-Valeurs approchées : Si h est « petit » alors f(a+h)  f(a) + f’(a)×h. Ex : f(4.992) = f(5-0.008)  f(5) -0.008×f’(5)
- Si f ’ positive alors f croissante, si f ’ négative f décroissante, si f ’ nulle alors f constante.
- Un extremum (minimum ou maximum) est atteint en un point où la dérivée est nulle et change de signe après ce point.
LES NOMBRES COMPLEXES :

-Un nombre complexe s’écrit sous la forme z = a+bi avec a et b réels, a étant la partie réelle de z et b la partie imaginaire
-Si b = 0 alors z est un réel si a = 0 alors z est dit imaginaire pur. Tout réel est donc complexe. Deux complexes sont
égaux si ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Le complexe z=a+bi peut se représenter dans le plan par le
point M (a ;b) ou par le vecteur
Error!Error!
. On dit que z est l’affixe de position
Error!
.
-Si M est la représentation de z dans le plan (0,
Error!
,
Error!
) orthonormé alors le module de z est la distance 0M et
un argument de z est l’angle (
Error!
,
Error!
). Le module de z est noté |z|, l’argument  est noté arg (z).
-Tout complexe z peut s’écrire z sous la forme z = |z| (cos  + i sin ), c’est la forme trigonométrique de z en
opposition avec z = a+bi qui est la forme algébrique. On a |z| = a² + b² .
-Le conjugué de z = a+bi est le nombre complexe z = a – bi. On a | z | = |z| et arg z = - arg z.
-Les calculs dans C se font de la même manière que dans R avec i² = -1.
-Lorsqu’on a un problème avec un quotient de complexes il est souvent utile de multiplier par le conjugué du diviseur.
→ z+z' = z + z' →zz' = z × z' → zn= zn → |z| = z z
-Si z et z’ sous forme trigonométrique alors → zz’ = rr’ (cos (+’) + i sin (+’)) →
Error!
=
Error!
(cos (-
) + i sin (-)) →
Error!
=
Error!
(cos ( - ’) + i sin ( - ’)) → zn = rn (cos n + i sin n) → z+z’ ≠
(r+r’) (cos (+’)+ i sin (+’))
-Les nombres complexes servent aussi à résoudre les équations du second degré avec Δ < 0, car par exemple
on a -100 = 10i², les deux solutions sont donc : x1 =
Error!
et x2 =
Error!
avec Δ de la forme ai².
-L’affixe de
Error!
est égale à l’affixe de B moins l’affixe de A : z
Error!
= zB - zA .
-a, b et c étant 3 complexes, on calcule z =
Error!
on met z sous la forme a + bi alors : → |z| =
Error!
→ arg z = (
Error!
,
Error!
)
-t
Error!
est la translation qui transforme M en M’ tel que
Error!
=
Error!
. A la translation de vecteur
Error!
d’affixe b est associée l’application complexe z’ = z + b.
-k réel non nul, Ω un point, l’homothétie de centre Ω de rapport k est la translation qui au point M associe le point M’
tel que
Error!
= k ×
Error!
. Si Ω a pour affixe w alors cette homothétie associe au point M d’affixe z le point M’
d’affixe z’ tel que z’ – w = k (z – w). L’homothétie transforme une droite D en une droite D’ parallèle et un cercle C de
rayon R et de centre O en un cercle C’ de rayon R’ et de centre O’ dont le centre O’ est l’image de O et le rayon R’ = |k |
× R.
-La rotation ayant pour centre le point Ω et d’angle  associe au point M le point M’ tel que ΩM=ΩM’ et (
Error!
,
Error!
)=.
-La rotation de centre Ω d’affixe w et d’angle  au point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ tel que :
→ z’ – w = ei (z – w) = (cos  + i sin ) (z – w) (z’ est donc de la forme ei z + b, b étant un complexe).
-Tout complexe z de module r et d’argument  peut s’écrire sous la forme z = rei
→ zz’ = rr’ ei ( + ’) →
Error!
=
Error!
ei ( - ’) → zn = rn e ni
FONCTION EXPONENTIELLE :
La fonction ex est définie pour tout x, c’est l’unique fonction tel que e0=1 et qui est à la fois continue, strictement
positive, dérivable, sa dérivé est elle-même et elle est donc strictement croissante.→ ex≤y  x≤ln y
→ ln (ex) = x → Pour tout x > 0, e ln x = x → ea+b = ea × eb → e-a =
Error!
→ ea-b =
Error!
→ena
= (ea)n
→ lim x → +∞ ex = +∞ → lim x → -∞ ex = 0 → lim x → +∞
Error!
= +∞ → lim x → -∞ x ex = 0 → (eu)’ = eu × u’
-Pour déterminer la limite de eu on utilise la propriété sur lim (g o u) (x) avec lim (e o u) (x).
-La solution générale de l’équation différentielle y’=ky est y=Cekx avec C,k réels. Parmi cette infinité de solution il
existe une solution unique satisfaisant une condition donnée. Les solutions de y’=ay+b sont y=Ceax -
Error!
-Equation/inéquation avec e, méthode : comme eA>0 et ln croissante : eA ≥B  ln (eA) ≥ ln B  A≥ ln B (penser à B>0).
LOGARITHME NEPERIEN :
-ln est définie sur les réels strictement positifs, sur cet intervalle elle est continue, strictement croissante et (ln (x))’ =
Error!
→ln (a×b) = ln a + ln b →ln
Error!
= ln a – ln b →ln (an) = n×ln a on peut en déduire →ln
Error!
=
Error!
ln a
(rappel a = a1/2)
-Avec A,B > 0, ln A=ln B  A=B et ln A ≤ ln B  A≤B car ln croissante. → lim x → 0 ln x = -∞ → lim x → +∞ ln x = +∞
-Avec m réel, l’équation ln x = m a pour solution x = em et de même ln x ≥ m  x ≥ em et ln x ≤ m  0 < x ≤ em.
→ lim x → +∞
Error!
= 0 → lim x → 0 x ln x = 0 → Pour n ≥ 2, lim x → +∞
Error!
= 0 → Si u >0 fonction dérivable (ln
u)’ =
Error!
-Pour déterminer la limite de ln u on utilise la propriété sur lim (g o u) (x) avec lim (ln o u) (x).

-Résolution d’équation avec plusieurs ln :
→ Chercher l’ensemble des réels où l’équation existe (contrainte de positivité dans le ln)
→ Se ramener à des additions de ln puis à une équation de la forme ln A = ln B
→ On utilise ln A = ln B  A = B donc il ne reste plus qu’à résoudre A = B
→ Penser à enlever les solutions trouvées pour lesquelles l’équation n’existe pas.
-Toujours sur ] 0 ; + ∞[ le logarithme décimal de x est le réel noté log x =
Error!
LES PUISSANCES REELLES :
-Pour tout a>0, l’équation xn = a admet une unique solution x = a (1 / n), appelée racine n-ième de a et aussi notée n ;a
-Pour a positif et différent de 1, la fonction x → ax est définie par ax = e x ln a
-Si a>1, ax croissante et lim x → +∞ ax = +∞, lim x → -∞ ax =0 -Si 0<a<1, ax décroissante et lim x → +∞ ax =0, lim x → -∞ ax = +∞
Propriétés opératoires : → ( n ;a )n = a → xa × xb = xa+b →
Error!
= xa – b → (xy)a = xa × ya → (
Error!
)a =
Error!
-Pour a réel, la fonction x → xa est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est la fonction x → a xa-1 et logiquement la dérivé
de ua(x) est donc aua-1(x) × u’(x) avec u positive et dérivable.
LE BARYCENTRE :
-Etant donné n points A1, A2, …, A3 associés à n réels a1, a2, …, an. Si a1+a2+…+an ≠ 0 alors il existe un point G tel que :
a1
Error!
+ a2
Error!
+ … + an
Error!
=
Error!
. G est le barycentre du système {(A1,a1),(A2,a2),…,(An,an)}
-Si
Error!
≠ 0 et si G est le barycentre de {(A1,a1),…,(An,an)} alors : a1
Error!
+ a2
Error!
+ … + an
Error!
=
(a1+…+an)
Error!
- Si
Error!
= 0 alors a1
Error!
+ a2
Error!
+ … + an
Error!
est un vecteur fixe (indépendant de M)
-L’isobarycentre est le barycentre d’un système de points affectés de coefficients égaux. L’isobarycentre de 2 points est
le milieu du segment reliant ces 2 points, l’isobarycentre de 3 points le centre de gravité du triangle reliant les 3 points.
-Le barycentre d’un système ne change pas si on multiplie tous les coefficients par un même réel non nul.
-Associativité : le barycentre d’un système ne change pas si on remplace plusieurs points par leur barycentre affecté d’un
coefficient égal à la somme des coefficients des points choisis.
GEOMETRIE DANS L’ ESPACE :
-Si A et B sont 2 points (ou plan de l’espace) alors la droite (AB) est l’ensemble des barycentres de A et B.
-Une représentation paramétrique de la droite passant par A (x0, y0, z0) de vecteur directeur
Error!
Error!
non nul
est :
{x = x0 + ta;y = y0 + tb;z = z0 + tc avec t réel.
LE PRODUIT SCALAIRE :
-Etant donnés 2 vecteurs
Error!
et
Error!
du plan, le produit scalaire
Error!
•
Error!
est nul si l’un des 2 vecteurs
est nul, et est sinon égal à
→ ||
Error!
||. ||
Error!
||. cos(
Error!
,
Error!
) ou →
Error!
( ( ||
Error!
|| + ||
Error!
|| )² - ||u||² - ||v||² ) ou →
xx’ + yy’ si le plan est rapporté au repère orthonormé et avec
Error!
Error!
et
Error!
Error!
ou →
Error!
×
v’ ou u’ × v si par exemple v ’ est la projection de
Error!
sur
Error!
-Propriétés : →
Error!
•
Error!
=
Error!
•
Error!
→
Error!
(
Error!
+
Error!
) =
Error!
•
Error!
+
Error!
•
Error!
→ (a
Error!
) • (b
Error!
) = (ab)
Error!
•
Error!
→
Error!
•
Error!
= 0 
Error!
┴
Error!
-Soient
Error!
et
Error!
2 vecteurs de l’espace et (A,B) et (A,C) 2 représentants de
Error!
et
Error!
alors
Error!
•
Error!
=
Error!
•
Error!
.
-Il y a les mêmes propriétés dans l’espace que dans le plan pour les produits scalaires.
-Si l’espace est rapporté à une base orthonormée avec
Error!
Error!
et
Error!
Error!
alors
Error!
•
Error!
=
xx’ + yy’ + zz’
-Norme : → ||
Error!
|| =
Error!
=
Error!
→ ||a
Error!
|| = |a| × ||
Error!
|| → Soit
Error!
de coordonnées
( )
x; y; z alors ||
Error!
|| =
Error!
→ ||
Error!
+
Error!
|| ≤ ||
Error!
|| + ||
Error!
||
-Soit P un plan, un vecteur non nul
Error!
est un vecteur normal à P si
Error!
est orthogonal à P. Toute droite de
vecteur directeur
Error!
est orthogonale à P et donc à toute droite de P. Pour qu’une droite soit orthogonale à un plan il
suffit qu’elle soit orthogonale à 2 droites sécantes de ce plan. L’espace étant rapporté à un repère orthonormé alors
→ Une équation d’un plan est ax + by + cz + d = 0 et un vecteur normal est
Error!Error!
→ Une équation de la sphère de centre r (a, b, c) de rayon R est (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R²
→ La distance de M0 (x0, y0, z0) au plan P d’équation ax + by + cz + d = 0 est :
Error!
PRIMITIVES ET CALCUL INTEGRAL :

-La primitive d’une fonction f continue et définie sur un intervalle I est la fonction F définie par F’(x) = f(x) sur I.
-Si F est une primitive de f alors l’ensemble des primitives de f est G(x) tel que G(x) = F(x) + k avec k réel.
-Si une fonction h peut se décomposer sous la forme h = f + g où f et g sont des fonctions simples alors la primitive H de
h est H = F + G où F primitive de f et G primitive de g. De même une primitive de h = a×f + b×g est H = a×F + b×G.
Fonction f
f(x) = a
f(x) = xn
f(x)=Error!
f(x) = Error!
f(x) = Error!
f(x)=ex
f(x) = Error!
f(x) = eax + b
Primitive F
F(x) = ax
F(x) = Error!
F(x)=Error!
F(x)= -Error!
F(x)=ln x
F(x)=ex
F(x)=Error!×ln(ax+b)
F(x)= Error!× e ax + b
Validité
R
R
R sauf 0
R sauf 0
] 0 ; +∞[
R
ax + b > 0
R
Fonction
f = u’ × un
f = Error!
f = Error!
f = Error!
f = u’ eu
f = Error!
Une primitive
F = Error!
F = Error!
F = - Error!
F = ln u
F = eu
F = u
-Si f continue sur [a;b] et F primitive de f sur [a;b] alors l’intégrale de f entre a et b est définie par
Error!
dx=F(b)-F(a)
→
Error!
dx = -
Error!
dx → Si f >0 et a≤b alors
Error!
dx > 0 →
Error!
dt est la primitive de f s’annulant en
x=a
-
Error!
dx représente l’air en gris exprimé en ua : → Chasles :
Error!
dx +
Error!
dx =
Error!
dx
→
Error!
dx = k
Error!
dx →
Error!
dx =
Error!
dx+
Error!
dx →Si f(x)≤g(x) et a≤b :
Error!
dx ≤
Error!
dx
-Intégration par parties : u, v, u’, v’ continues sur I contenant a et b alors
Error!
=[(uv)(x)]
Error!
-
Error!
-La valeur moyenne d’une fonction f continue sur [a ; b] est le nombre m tel que m =
Error!
Error!
dx.
-Inégalité de la moyenne : f cont sur [a ; b], m ≤ f ≤ M alors m ≤
Error!Error!
dx ≤ M (m(b-a) ≤
Error!
dx ≤
M(b-a))
-Si a ≤ b, f et g continues et f ≤ g sur [a;b], l’aire du domaine = {a ≤ x ≤ b;f(x) ≤ y ≤ g(x) est
Error!
dx
-Le volume de la sphère est V=
Error!
. Les réels trouvés pour les calculs d’aires sont égaux au nombre d’unité d’aire
PROBABILITE :
-Soit Ω un univers fini, Ω = {x1, x2, x3, …, xn}. Une probabilité P dans Ω est une application de P(Ω) vers [0;1]. On a :
→ P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A∩B) → P( A ) = 1 – P(A) A étant l’évènement contraire de A.
→ La somme de toutes les probabilités des évènements élémentaires fait toujours 1 → Pour tout A dans Ω, 0 ≤
P(A) ≤ 1 → P(Ø) = 0 →P(Ω) = 1 → Partition : des évènements forment une partition de E si ils sont disjoints
(intersection vide 2 à 2) et si leur union vaut l’ensemble E. (Concrètement une partition peut-être imaginée comme un
puzzle dont chaque évènement est une pièce et dont l’ensemble des pièces réunies donne le puzzle).
-Si Ω = {x1, …, xn} il y a équiprobabilité si p(x1) = … = p(xn). Dans ce cas, P(A) =
Error!
=
Error!
-Soit Ω = {x1, …, xn}, une p-liste est une liste ordonnée de p éléments de Ω distincts ou non (avec p ≠ 0 et p ≠ 1)
→ Si card Ω = n il y a np p-listes et le nombre de p-listes d’éléments distincts 2 à 2 est n × (n-1) × (n-2) × … × (n-p+1)
- Soit Ω = {w1, …, wn}, card Ω = n, une permutation est une n-liste d’éléments distincts 2 à 2.
→ Avec card Ω = n, il y a n! permutations possibles (rappel : n! = 1 × 2 × 3 × … × n-1 × n).
-Si card Ω = n, p entier ≤ n, une combinaison de p éléments de Ω est un sous-ensemble (ou partie) de Ω de p éléments. Il
n’y a ni ordre, ni répétition. Toujours avec card Ω = n, le nombre de combinaisons de p éléments de Ω est :
→ ( )
n; p =
Error!
=
Error!
=
Error!
→ On admet que 0!=1 → égalité de Pascal :
Error!
=
Error!
+
Error!
-Binôme de Newton : (a + b)n = ( )
n; 0 an b0 + ( ) n; 1 an-1 b + ( ) n; 2 an-2 b2 + ... + ( ) n; n-2 a2 bn-2 + ( ) n; n-1 a bn-1
+ ( )
n; n a0 bn
CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE :
-Soit (x1, x2, …, xn) des évènements de probabilités (p1, p2, …, pn), l’espérance de la loi de probabilité est la moyenne,
E = p1x1 + p2x2 + … + pnxn = ∑ (pi × xi) et la variance V = p1 (x1 - E)² + p2 (x2 - E)² + … + pn (xn - E)² = ∑ pi (xi - E)²

-L’espérance est linéaire, si on effectue une opération simple (+, -, ×, ÷) sur tous les xi avec le même nombre alors il
suffit d’effectuer cette opération sur l’espérance avec ce nombre.
-Variance et écart-type (racine carrée de la variance) caractérisent la dispersion des valeurs autour de l’espérance.
-La probabilité de B sachant A est notée PA (B) et vaut
Error!
on en déduit donc que P(A∩B) = P(A) × PA (B).
-Si A1, A2, …, An forment une partition alors P(B)=P(B∩A1)+P(B∩A2)+…+P(B∩An)=PA1(B)×P(A1)+…+PAn(B)×P(An).
-Les évènements A et B sont indépendants lorsque la probabilité de l’un ne dépend pas de la réalisation de l’autre, c'est-
à-dire PA(B)=P(B) ou PB(A)=P(A). Une autre manière de définir l’indépendance est de prouver que P(A∩B)=P(A)×P(B)
Par exemple un lancer de dé et un lancer de pièce sont indépendants car le résultat de l’un ne dépend pas du résultat de
l’autre. Dans un cas comme celui-là de succession d’expériences indépendantes, la probabilité d’une liste de résultats
précise (exemple 5 au dé et pile à la pièce) est le produit des probabilités de chaque résultat (1/6×1/2 pour notre exemple)
-Une expérience aléatoire n’ayant que 2 issues (succès ou échec) est dite épreuve de Bernoulli. Si p est la probabilité du
succès alors q = 1 - p est la probabilité de l’échec. Dans ce cas E(x) = p et V(x) = p × (1 – p) = p×q
-La répétition de n épreuves de Bernoulli, identiques et indépendantes est appelée loi binomiale, de paramètres n et p où
p est la probabilité de succès et n le nombre d’épreuves. Si X est la variable aléatoire égale au nombre de succès obtenus
on a : → P(X = k) = ( )
n; k × pk × q n – k → E(x) = n×p → V(x) = n×p×(1 - p)
EXEMPLES DE LOIS CONTINUES :
-On appelle densité de probabilité sur I, intervalle de R, toute fonction f remplissant ces 3 conditions → Continue sur I
→ à valeurs positives sur I → L’aire située sous la courbe est égale à 1 (c'est-à-dire si I = [a;b] alors
Error!
dx = 1)
-On définit la loi de probabilité P de densité f sur I par P[a ; b] =
Error!
dx (et on dit probabilité de [a ; b])
-Une loi uniforme sur [a ; b] est une loi de probabilité dont la densité est constante (égale à
Error!
)
→ Si [α ; β] C [a ; b] alors P [α ; β] =
Error!
dx =
Error!
=
Error!
-La loi exponentielle de paramètre λ sur [0 ; +∞[ (ou loi de durée de vie sans vieillissement) est la loi de probabilité
définie par : f(x) = λe-λx avec λ > 0. On a donc → P[α , β] =
Error!
dx → P[c ; +∞[ = 1 -
Error!
dx.
BAZAR A SAVOIR :
-a est racine du polynôme P(x) si P(x) est factorisable par x-a. Concrètement si la fonction f(x) = ax² + bx + c
a pour solution x1 et x2 alors elle peut se réécrire sous la forme f(x) = a (x – x1) (x – x2).
-Un cercle de centre O (a ; b) et de rayon r a pour équation : (x – a)² + (y – b)² = r².
-Les opérations (+, -, ×, ÷) de fonctions usuelles continues (polynômes, rationnelles, irrationnelles) sont continues sur les
intervalles où elles sont définies.
-Etude d’un fonction : → Domaine de définition → Sens de variation (signe de la dérivée dans 99 % des cas)
→ Limites aux bornes de l’intervalle d’étude → Tableau de variation.
Savoir en déduire : → asymptote(s) → points particuliers (extremum)
Rappels de trigo utiles :
→ lim x → 0
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= 1
→ cos² x + sin² x = 1
→tan x =
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-Si M a pour coordonnées polaires
(ρ,), ρ est l’angle entre l’axe des abscisses et OM et  est la distance OM.
On a x = ρ cos  et y = ρ sin  et donc x² + y² = ρ² (cos²  + sin² ) = ρ²
→ cos (-x) = cos x → sin (-x) = - sin x → cos (π-x) = - cos x → sin (π-x) = sin x → cos (π+x) = - cos x
→ sin (π+x) = -sin x → cos (
Error!
- x) = sin x → sin (
Error!
- x) = cos x → cos (a + b) = cos a×cos b –
sin a×sin b
→ cos(a-b)=cos a×cos b+sin a×sin b → sin(a+b)=sin a×cos b+cos a×sin b → sin(a-b)=sin a×cos b–cos a×sin b
→ cos 2a = cos² a – sin² a = 2 cos² a – 1 = 1 – 2 sin² a → sin 2a = 2 sin a×cos a
x
0
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Error!
Error!
Error!
sin x
0
Error!
Error!
-Error!
1
cox x
1
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Error!
Error!
0