Moment d`une force, moment cinétique, théorème du moment

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Repères non Galiléens
En méca vol "avion", il y a un moyen mnémotechnique pour retrouver les noms des moments
et des vitesses sur les 3 axes. Il faut connaître le nom d'une station de radio (RTL), savoir que
les moments s'appellent L, M, N ,les vitesses p, q, r et qu'ensuite tout s'écrit dans le même
ordre :
Axe Moment Vitesse angulaire
Roulis L p
Tangage M q
Lacet N r
(Désolé pour l'alignement, tabular ne marche pas...)
La notation ou représente le coefficient agissant sur la
FORCE (ou le MOMENT) quand param varie.
par exemple est le coefficient de portance (force en Z) due à l'incidence
Ton exemple voudrait dire le coefficient de moment de lacet dû à . Pour un avion, ça n'a
pas de sens... ou pourquoi pas mais c'est tout simplement 0 parce que qu'une variation
d'incidence ne crée pas de moment de lacet.
Si on prend (comme en avion) l'axe longitudinal comme axe X, comme la fusée est
certainement de révolution, on a des effets identiques sur le tangage (Cm) et le lacet (Cn). Ca
me paraitrais plus logique de calculer le moment sur l'axe longi et sur un axe transverse. La
convention n'est peut-être pas la même qu'en avion... et il faudrait commencer par savoir ce
qu'on cherche avec d'établir toute formule...
__________________
Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...
XII. REPERES NON INERTIELS (NON GALILEENS) ........................................... 171
1. INTRODUCTION ............................................................................................................................ 171
2. EXEMPLE : MOUVEMENT CIRCULAIRE UNIFORME ....................................................................... 171
3. "FORCE" CENTRIFUGE ................................................................................................................. 172
4. PSEUDO FORCES .......................................................................................................................... 174
5. PENSER AUTREMENT, PENSER GALILEE ...................................................................................... 177
5.1 Véhicule qui amorce un virage. ............................................................................................ 177
5.2 Sens d’enroulement des nuages autour des dépressions. ..................................................... 177
5.3 Marées .................................................................................................................................. 178

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Repères non Galiléens
XII. REPERES NON INERTIELS
(NON GALILEENS)
1. Introduction
L’utilisation d’un repère non galiléen pour résoudre un problème de dynamique est simplement une
autre présentation des relations de la dynamique que nous avons établies. Elle va nous amener à
définir des pseudo-forces pour remplacer certains termes d’accélération. Cette démarche s’apparente à
celle qui a consisté à définir une énergie potentielle de signe contraire à celui du travail.
2. Exemple : mouvement circulaire uniforme
Prenons le mouvement circulaire uniforme assuré par une force
F FI
dirigée vers le centre.
Dans un repère inertiel, l’application du PFD en utilisant les coordonnées polaires conduit au
résultat :
2
FI m rI
qui nous donne la relation classique entre la force, la masse, la vitesse angulaire et le rayon :
2
F m r
Plaçons nous dans un repère PXY tournant avec le mobile.
Il faut savoir qu'une force ne dépend pas du repère considéré (nous devons cependant préciser
que ce ne serait pas vrai en mécanique relativiste). Le bilan des forces est le même que
précédemment, seule la force
F
existe et son expression est inchangée..
On devrait donc pouvoir écrire :
22
22
()
d X d Y
FI m I J
dt dt
Cette équation implique que la force est nulle puisque
X
et
Y
sont constants !
Ou est l’erreur ?
L’erreur est que le PFD ne peut être appliqué que dans un repère inertiel, et par conséquent la dernière
équation est fausse.

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Repères non Galiléens
3. "Force" centrifuge
Dans le mouvement circulaire uniforme que nous venons d’analyser, il est possible d’appliquer le
PFD dans le repère mobile PXYZ en introduisant une "force" supplémentaire, la (trop) fameuse
"force" centrifuge, égale à
2
m rI

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Repères non Galiléens
[ ( ) 2 ]
( ) 2
a
P
r
r
r
r
P
Fm
d
F m PM PM V
dt
d
F m m PM m PM m V m
dt
Du référentiel inertiel [a]
au référentiel quelconque [r] + pseudo forces
Accélération dans un repère inertiel [a]
Accélération dans un
référentiel quelconque [r]
4 pseudo-forces
[ ( ) 2 ]
( ) 2
a
P
r
r
r
r
P
Fm
d
F m PM PM V
dt
d
F m m PM m PM m V m
dt
Du référentiel inertiel [a]
au référentiel quelconque [r] + pseudo forces
Accélération dans un repère inertiel [a]
Accélération dans un
référentiel quelconque [r]
4 pseudo-forces

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Repères non Galiléens
Elle est dont égale et OPPOSEE au produit de la masse par l’accélération du point mobile P, dirigée
vers l’extérieur du cercle.
L’écriture du PFD devient alors :
22
222
()
d X d Y
FI m rI m I J
dt dt
Comme
X
et
Y
sont constants (et même nuls), les accélérations associées sont nulles et donc :
20FI m rI
et par conséquent :
2
F m r
qui est la relation cherchée.
Pour résumer ce cas particulier, au lieu d’écrire
Fm
dans un repère Galiléen soit:
2
FI m rI
l’introduction de la force centrifuge nous conduit dans le repère tournant à écrire:
20FI m rI
c’est à dire à affirmer que le somme des forces est égale à zéro.
Mathématiquement, nous avons fait passer un terme de l’autre côté du signe égal et nous avons alors
naturellement changé son signe. Cette notion est dangereuse si on ne maîtrise pas parfaitement les
notions de mécanique, car elle peut conduire à des contradictions de type : si la somme des forces est
nulle, alors le mouvement doit être rectiligne uniforme (1ère loi de Newton), or il est circulaire … !
4. Pseudo forces
La "force" centrifuge que nous venons d’introduire est une pseudo-force, certains emploient le terme
de "force d’origine cinématique", elle est seulement l’équivalent d’une force, elle ne fait absolument
pas partie des forces que nous avons identifiées en début de cours.
Il est donc possible, en introduisant des pseudo-forces d’écrire le PFD dans un repère non Galiléen. Il
y a ainsi des pseudo-forces centrifuges, de Coriolis …
Reprenons l’expression (compliquée) de la composition des accélérations (cf. chapitre changement de
repère) :
( ) 2
a P r r
d
PM PM V
dt
Supposons que le repère
a
R
soit inertiel. Dans le cas général, le repère
r
R
ne l'est pas car il n’est pas
simplement en translation uniforme par rapport à
a
R
. Prenons une masse
m
soumise à une force
F
.
L’application du PFD dans le repère Galiléen Ra s’écrit :
a
Fm
soit, pour faire intervenir le référentiel non Galiléen
r
R
: