Chapitre_9_variables_aleatoires_discretes

- 1 - Chapitre 9 : BTS 2 électrotechnique
Chapitre 9
Variables aléatoires discrètes
I Variable aléatoire et loi de probabilité
A] Définitions
Définition :
On considère l'univers  lié à une expérience aléatoire.
Définir une variable aléatoire réelle (var) X sur , c'est associer à chaque événement élémentaire un
nombre réel.
Définition :
Lorsqu'à chaque valeur xi prise par une variable aléatoire X, on associe la probabilité pi (c'est-à-dire
pi=p(X = xi)), on dit que l'on définit la loi de probabilité de X.
Remarques :
 une variable aléatoire est souvent notée par une lettre majuscule X, Y, Z, ...
 Lorsque a1, a2, ...., an sont des valeurs prises par une variable aléatoire X, on note (X = ai),
l'événement "X prend la valeur ai" (pour i compris entre 1 et n).
 p1 + p2 + .... + pn = 1.
 On donne souvent la loi de probabilité sous la forme d'un tableau.
Exemple :
Un sac contient 9 jetons, 3 rouges, 4 jaunes et 2 verts. Un joueur prend au hasard un jeton. Si le
jeton est rouge, le joueur gagne 5 euros; s'il est jaune, il gagne 3 euros et s'il est vert il perd 2 euros.
Soit X la variable aléatoire qui, à chaque résultat, associe le gain ou la perte du joueur : X prend
donc les valeurs : 5, 3 et –2. On a alors :
p(X = 5) = p(" rouge ") =
Error!
=
Error!
.
p(X = 3) = p(" jaune ") =
Error!
.
p(X = – 2) = p(" vert ") =
Error!
.
On a bien sur :p(X = 5) + p(X = 3) + p(X = –2) = 1.
Loi de probabilité de X :
xi
–2
3
5
Total
Pi
Error!
Error!
Error!
1
B] Espérance, variance et écart type d’une variable aléatoire
Définition :
 L'espérance mathématique de la variable aléatoire X est le nombre :
E(X) = p1 x1 + p2 x2 + ...... + pn xn =
Error!
.
Exercices 1, 5 et 7p341.
Exercice 9p342.
Propriété :
Soient a et b deux réels.
Alors on a : E(aX+b) = aE(X) + b.
Démonstration :
E(aX+b) =
Error!
=
Error!
+
Error!
= a
Error!
+ b
Error!
= aE(X) + b car
Error!
= 1 et
Error!
= E(X).

- 2 - Chapitre 9 : BTS 2 électrotechnique
Définition :
 La variance de la variable aléatoire X est le nombre :
V(X) = (x1 – E(X))2p1 + (x2 – E(X))2p2 + ...... + (xn – E(X))2pn =
Error!
.
Propriété :
La variance est un réel positif.
Définition :
 L'écart type est la racine carrée de la variance :
(X) = V(X).
Exemple :
Pour la variable X liée au gain dans le jeu précédent, l'espérance mathématique est :
E(X) =
Error!
(– 2) +
Error!
3 +
Error!
5 =
Error!
2,56.
Sa variance est :
V(X) =
Error!Error!Error!
Error!
+
Error!Error!
Error!
+
Error!Error!
Error!
6,7.
et son écart type est donc (X) 2,6.
L'espérance de gain de ce jeu est environ 2,56€ avec un écart type d'environ 2,6.
Cela signifie que si un joueur joue un grand nombre de fois, il aura en moyenne un gain de 2,56 €.
L'espérance E(X) est la moyenne des valeurs de la variable aléatoire X, pondérées par leurs
probabilités.
L'écart type mesure la dispersion des valeurs de X autour de E(X). Ainsi plus l’écart type est
important plus les valeurs sont dispersées.
Propriété :
On utilise souvent la formule suivante :
V(X) = ( ) p1x12 + p2x22 + … + pnxn2 – ( ) E(X) 2 = E(X2) – E(X)2.
Démonstration :
Si on veut!!! On développe, on réduit et on utilise que p1 + p2 + … + pn = 1 !!
Cette formule évite les erreurs d’arrondis !!
Propriété :
Soient a et b deux réels.
Alors on a : V(aX+b) = a2V(X).
Démonstration :
V(aX+b)=
Error!
.
=
Error!
.
= a2
Error!
.
= a2V(X).
II Exemples de variables aléatoires discrètes
A] Loi Bernoulli
Définition :
On considère une expérience qui n’a que deux issues possibles. Une des issues appelée succès et sa
probabilité est p et l’autre est appelée échec et sa probabilité est q.
Ainsi p + q = 1.
Alors la variable aléatoire X, qui prend pour valeur 1 lorsque c’est un succès et 0, si c’est un échec
est une var de Bernoulli de paramètre p.
La loi de probabilité est donc :
xi
0
1
Total
pi
q
p
p+q =1
Propriété :
Soit X une variable aléatoire qui suit une loi de Bernoulli.
Alors E(X) = p et V(X) = pq.

- 3 - Chapitre 9 : BTS 2 électrotechnique
Démonstration :
E(X) = 0 q + 1 p = p.
V(X) = E(X2) – E(X)2 =
Error!
– p2.
V(X) = p – p2 = p ( ) 1 – p = pq.
Exemple :
On lance un dé à 6 faces.
Quelle est la probabilité de tirer un multiple de 3.
B] Loi binomiale
Définition :
On considère une succession de n expériences de Bernoulli indépendantes de paramètre p. Soit X la
variable aléatoire qui compte le nombre de succès. On dit que X suit une loi binomiale de
paramètres n et p. On le note B(n,p).
Exemple :
On lance n fois un dé à 6 faces.
On dit que c’est un succès lorsque la face qui apparaît est un multiple de 3.
C’est bien n expériences aléatoires indépendantes de Bernoulli de paramètre
Error!
.
On pose X la var qui compte le nombre de fois où on a obtenu un multiple de 3. X suit donc une loi
binomiale de paramètre n et
Error!
.
Propriété :
Si une var X suit une loi binomiale de paramètre n et p, alors pour tout k entier naturel tel que :
0 k n on a : P(X=k) = Ck;n pk qn–k.
Démonstration :
ADMIS
Exemple :
Chercher la loi de probabilité de notre lancer de dé pour n = 4 !
Propriété :
Si X suit une loi binomiale B(n,p), alors E(X) = np et (X) = npq
Démonstration :
ADMIS
Exercices 11, 14, 16 et 18p343.
Exercice 25p345.
C] Loi de Poisson
Exercice 4p341.
Définition :
Une var X suit la loi de Poisson de paramètre  ( avec  > 0 ) si pour tout k IN, sa loi de
probabilité est donnée par :
P( ) X=k = e–
Error!
.
La loi est notée P().
Propriété :
Si X est une var qui suit une loi de Poisson de paramètre , alors E(X) =  et (X) = .
Démonstration :
ADMIS
Exercices 19 et 20p344.
Exercice 30p347.

- 4 - Chapitre 9 : BTS 2 électrotechnique
D] Approximation d’une loi binomiale par une loi de Poisson
Théorème :
Si on pose np = m.
On a alors Ck;n pk ( ) 1 – p n–k = Ck;n
Error!
k
Error!
n–k , on démontre et on admet que
Error!
C
Error!
Error!
k
Error!
n–k = e –m
Error!
.
Démonstration :
ADMIS !
Conditions d’application :
* Lorsque p est petit ( p 0,1),
* et lorsque n est grand ( n 30),
* et lorsque le produit np pas trop grand ( np 10 ), alors
on peut approcher les probabilité associées à la loi binomiale B(n,p) par celles obtenues avec la loi
de Poisson P(np).
Exemple :
Une machine produit en moyenne 2% de pièces défectueuses. On prélève 50 pièces au hasard.
On considère que le tirage est sans remise. Soit X la var qui compte le nombre de pièces
défectueuses. Ainsi X suit une loi binomiale B(50,
Error!
).
Ainsi : p = 0,02 0,1
n = 50 30,
np = 1 10.
On peut donc approcher cette loi binomiale par la loi de Poisson de paramètre  = np = 1.
Comparons les résultats pour mesurer l’approximation faite :
Nombre de pièces défectueuses
Loi Binomiale
Loi de Poisson
0
0,3642
0,3679
1
0,3716
0,3679
2
0,1858
0,1839
3
0,0607
0,0613
4
0,0145
0,0153
5
0,0027
0,0031
6
0 ;004
0,0005
Exercice 23p344.
Exercice 34p348.
Exercice 37p349.
Exercice 39p350.