devoir sur les nombres dérivés

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Classe : TPESTH MATHEMATIQUES : Contrôle N°2 Le : 12.10.06
Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur R :
a – f ( x ) = 5x 3 -3 x
b – f (x ) = 2 x ² - 6 x -
Error!
c – f (x ) = 2x 3 +3 x + 5
Exercice 2 : Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la
fonction f au point A dont l’abscisse est précisée. Donner une équation de la tangente en ce point.
f (x) = x ²-4 x + 2 ; x A= 1
Exercice 3 : Etudier le sens de variation de la fonction f suivante sur l’intervalle précisé :
f ( x ) = x² - 3x + 2 sur I = [ 0; 4 ]
Exercice 4 : Une industrie produit des parfums. Sa production est donnée par la quantité q. Les
dépenses de production D, exprimées en euros, sont données parla relation :
D (q) = 2 q² – 60 q + 800
Première partie :
1° - Les parfumes sont vendus 56€ l’unité. On considère que toute la production q est
vendue. Exprimer la recette R en fonction de q.
2° - Soit B le bénéfice. Montrer que : B(q) = -2 q² + 116 q - 800
Deuxième partie : Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 55] par :
f (x) = - 2 x² + 116 x - 800
1° - Soit f ‘ la fonction dérivée de f. Déterminer f ‘(x).
2° - Compléter les tableaux des variations et des valeurs (ANNEXE) de la fonction f.
3° - Tracer la courbe représentative C de la fonction f (x) dans un repère orthogonal
(ANNEXE).
Troisième partie : En vous aidant des résultats précédents et en justifiant vos réponses :
1° - Donner la quantité q de parfums à produire pour que le bénéfice soit maximum.
2° - Pour quelles valeurs de q obtient-on un bénéfice nul ?
ANNEXE

2
Tableau de variations :
x
0 55
f ‘(x)
f (x)
Tableau de valeurs :
x
0
10
20
30
40
50
55
f (x)
-800
-470
Représentation graphique :
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-800
-700
-600
-500
-400
-300
-200
-100
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900

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5.2. Exercices dans le domaine professionnel
 Domaine tertiaire
Une entreprise d'emballages industriels veut réaliser un conteneur ayant la forme d'un parallélépipède
rectangle pour un transport maritime à l'exportation.
Pour des raisons techniques, ses dimensions intérieures sont liées par les relations
1. Exprimez h et L en fonction de l.
2. Montrez que le volume V s'exprime en fonction de l par la relation : V = l 3 - 16,4 l 2 + 59,4 l
3. Soit la fonction f définie sur [1 ; 4] par f(x) = x3 - 16,4x2 + 59,4x.
3.1. Calculez f'(x) (où f' désigne la dérivée de f ).
3.2. Montrez que l'équation 3x2 - 32,8x + 59,4 = 0 admet deux solutions x1 et x2 (x 1 < x2) que l'on calculera
l + h = 5,4 m et l + L = 11 m
l
h
L

4
(arrondir au centième).
3.3. On admettra que la fonction ; f admet un maximum pour la valeur x, . Calculez ce maximum.
4. Déduisez de l'étude précédente les dimensions intérieures (arrondies au centimètre) du conteneur ayant
un volume maximum.
Fonctions dérivées des fonctions usuelles
fonction f
fonction f '
x Error! k (k =
cste)
x Error! 0
x Error! x
x Error! 1
x Error! x2
x Error! 2x
x Error! x3
x Error! 3x2
x Error! Error!
x Error! – Error!
x Error! cos x
x Error! – sin x
x Error! sin x
x Error! cos x
x Error! cos (ax + b)
x Error! – a sin (ax + b)
x Error! sin (ax + b)
x Error! a cos (ax + b)
I Opérations sur les fonctions dérivées
o Somme
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I (c'est à dire que les fonctions dérivées f ' et g ' de f et g
existent)
La fonction h = f + g est dérivable sur I et sa fonction dérivée est h ' = f ' + g '.
(h '(x) = f '(x) + g '(x) pour tous les réels x de I)
ex) la fonction h(x) = x2 + x est la somme des deux fonctions f ; x
Error!
x2 et g ; x
Error!
x
la fonction f est dérivable de dérivée f '(x) = 2x
la fonction g est dérivable de dérivée g '(x) = 1
donc la fonction dérivée de h est h '(x) = f '(x) + g '(x) = 2x + 1
o Produit par un réel
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un nombre réel.
La fonction h = a f est dérivable sur I et sa fonction dérivée est h ' = a f '.
(h '(x) = a f '(x) pour tous les réels x de I)
ex) on a la fonction h(x) = 3x2
prenons f ; x
Error!
x2 on peut écrire h(x) = 3 f(x)
f '(x) = 2x
h '(x) = 3 (2x) = 6x
o Produit de fonctions
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, la fonction u v est dérivable et on a
(uv) ' = u ' v + u v '
ex) f(x) = x2 sin x
prenons u(x) = x2 et v(x) = sin x
u'(x) = 2x
v'(x) = cos x

5
f '(x) = u '(x) v(x) + u(x)v '(x)
f '(x) = 2x sin x + x2 cos x
o Quotient de fonctions
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, la fonction
Error!
est dérivable et on a
Error!Error!
=
Error!
ex) f(x) =
Error!
prenons u(x) = cos x et v(x) = x3
u'(x) = –sin x
v'(x) = 3x2
f '(x) =
Error!
f '(x) =
Error!
=
Error!
Exercices 5, 6, 7 p 90
II Applications
Petit problème à résoudre
On veut construire un bac à partir d'une tôle carrée de 1,3 m de côté. La profondeur du bac est notée x.
Déterminer la valeur de x pour obtenir le bac de volume maximum.
o Sens de variation
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction il faut la plupart du temps tracer la courbe.
Exercice
Déterminer le tableau de variation de f(x) = x2 sur [– 2 ; 2]
Comparer avec le signe de la fonction dérivée f '(x) = 2x
f '  0 la fonction f est décroissante.
f '  0 la fonction f est croissante.
En connaissant la fonction dérivée de la fonction étudiée on peut connaître le sens de variation sans avoir
besoin de tracer la courbe.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f ' est positive sur I alors la fonction f est croissante.
- Si f ' est négative sur I alors la fonction f est décroissante.
- Si f ' est nulle sur I alors la fonction f est constante.
Exercice
Déterminer le tableau de variations de la fonction f(x) = x3 – 3x2 + 2 entre –1 et 2,5
On cherche le signe de f '.
calcul de f '
1,3 m
x
x