devoir sur les nombres dérivés

Classe : TPESTH
MATHEMATIQUES :
Contrôle N°2
Le : 12.10.06
Exercice 1 : Calculez les dérivées des fonctions suivantes, définies sur R :
a–
b–
c–
f ( x ) = 5x 3 -3 x
f (x ) = 2 x ² - 6 x - Error!
f (x ) = 2x 3 +3 x + 5
Exercice 2 : Déterminer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentant la
fonction f au point A dont l’abscisse est précisée. Donner une équation de la tangente en ce point.
f (x) = x ²-4 x + 2
;
x A= 1
Exercice 3 : Etudier le sens de variation de la fonction f suivante sur l’intervalle précisé :
f ( x ) = x² - 3x + 2
sur I = [ 0; 4 ]
Exercice 4 : Une industrie produit des parfums. Sa production est donnée par la quantité q. Les
dépenses de production D, exprimées en euros, sont données parla relation :
D (q) = 2 q² – 60 q + 800
Première partie :
1° - Les parfumes sont vendus 56€ l’unité. On considère que toute la production q est
vendue. Exprimer la recette R en fonction de q.
2° - Soit B le bénéfice. Montrer que : B(q) = -2 q² + 116 q - 800
Deuxième partie : Soit f la fonction définie pour tout nombre réel x de l’intervalle [0 ; 55] par :
f (x) = - 2 x² + 116 x - 800
1° - Soit f ‘ la fonction dérivée de f. Déterminer f ‘(x).
2° - Compléter les tableaux des variations et des valeurs (ANNEXE) de la fonction f.
3° - Tracer la courbe représentative C de la fonction f (x) dans un repère orthogonal
(ANNEXE).
Troisième partie : En vous aidant des résultats précédents et en justifiant vos réponses :
1° - Donner la quantité q de parfums à produire pour que le bénéfice soit maximum.
2° - Pour quelles valeurs de q obtient-on un bénéfice nul ?
ANNEXE
1
Tableau de variations :
0
x
f ‘(x)
55
f (x)
Tableau de valeurs :
x
f (x)
0
-800
10
20
30
40
50
55
-470
Représentation graphique :
900
800
700
600
500
400
300
200
100
0
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
-100
-200
-300
-400
-500
-600
-700
-800
2
5.2. Exercices dans le domaine professionnel
 Domaine tertiaire
Une entreprise d'emballages industriels veut réaliser un conteneur ayant la forme d'un parallélépipède
rectangle pour un transport maritime à l'exportation.
Pour des raisons techniques, ses dimensions intérieures sont liées par les relations
h
l + h = 5,4 m et l + L = 11 m
L
l
1. Exprimez h et L en fonction de
l.
2. Montrez que le volume V s'exprime en fonction de
3. Soit la fonction f définie sur [1 ; 4] par
l par la relation : V = l 3 - 16,4 l 2 + 59,4 l
f(x) = x3 - 16,4x2 + 59,4x.
3.1. Calculez f'(x) (où f' désigne la dérivée de f ).
3.2. Montrez que l'équation 3x2 - 32,8x + 59,4 = 0 admet deux solutions
x1 et x2 (x 1 < x2) que l'on calculera
3
(arrondir au centième).
3.3. On admettra que la fonction ; f admet un maximum pour la valeur x, . Calculez ce maximum.
4. Déduisez de l'étude précédente les dimensions intérieures (arrondies au centimètre) du conteneur ayant
un volume maximum.
Fonctions dérivées des fonctions usuelles
fonction f
fonction f '
x Error! k (k =
x Error! 0
cste)
x Error! x
x Error! 1
2
x Error! x
x Error! 2x
x Error! x3
x Error! 3x2
x Error! Error!
x Error! – Error!
x Error! cos x
x Error! – sin x
x Error! sin x
x Error! cos x
x Error! cos (ax + b)
x Error! – a sin (ax + b)
x Error! sin (ax + b)
x Error! a cos (ax + b)
I Opérations sur les fonctions dérivées
o Somme
Soient f et g deux fonctions dérivables sur I (c'est à dire que les fonctions dérivées f ' et g ' de f et g
existent)
La fonction h = f + g est dérivable sur I et sa fonction dérivée est h ' = f ' + g '.
(h '(x) = f '(x) + g '(x) pour tous les réels x de I)
ex) la fonction h(x) = x2 + x est la somme des deux fonctions f ; x Error! x2 et g ; x Error! x
la fonction f est dérivable de dérivée f '(x) = 2x
la fonction g est dérivable de dérivée g '(x) = 1
donc la fonction dérivée de h est h '(x) = f '(x) + g '(x) = 2x + 1
o Produit par un réel
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et a un nombre réel.
La fonction h = a  f est dérivable sur I et sa fonction dérivée est h ' = a  f '.
(h '(x) = a  f '(x) pour tous les réels x de I)
ex) on a la fonction h(x) = 3x2
prenons f ; x Error! x2 on peut écrire h(x) = 3  f(x)
f '(x) = 2x
h '(x) = 3  (2x) = 6x
o Produit de fonctions
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, la fonction u  v est dérivable et on a
(uv) ' = u ' v + u v '
ex) f(x) = x2  sin x
prenons u(x) = x2 et v(x) = sin x
u'(x) = 2x
v'(x) = cos x
4
f '(x) = u '(x) v(x) + u(x)v '(x)
f '(x) = 2x sin x + x2 cos x
o Quotient de fonctions
Soient u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I, la fonction Error! est dérivable et on a
Error!Error! = Error!
ex) f(x) = Error!
prenons u(x) = cos x et v(x) = x3
u'(x) = –sin x
v'(x) = 3x2
f '(x) = Error!
f '(x) = Error! = Error!
Exercices 5, 6, 7 p 90
II Applications
Petit problème à résoudre
On veut construire un bac à partir d'une tôle carrée de 1,3 m de côté. La profondeur du bac est notée x.
x
1,3 m
x
Déterminer la valeur de x pour obtenir le bac de volume maximum.
o Sens de variation
Pour déterminer le sens de variation d'une fonction il faut la plupart du temps tracer la courbe.
Exercice
Déterminer le tableau de variation de f(x) = x2 sur [– 2 ; 2]
Comparer avec le signe de la fonction dérivée f '(x) = 2x
f '  0 la fonction f est décroissante.
f '  0 la fonction f est croissante.
En connaissant la fonction dérivée de la fonction étudiée on peut connaître le sens de variation sans avoir
besoin de tracer la courbe.
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
- Si f ' est positive sur I alors la fonction f est croissante.
- Si f ' est négative sur I alors la fonction f est décroissante.
- Si f ' est nulle sur I alors la fonction f est constante.
Exercice
Déterminer le tableau de variations de la fonction f(x) = x3 – 3x2 + 2 entre –1 et 2,5
On cherche le signe de f '.
calcul de f '
5
f ' (x) = 3x2 – 6x
recherche des racines de f '
3x2 – 6x = 0
{ x = 0;x = 2
signe de f '
3x2 – 6x  0 si x  [–2 ; 0] [2 ; 2,5]
3x2 – 6x  0 si x  [0 ; 2]
tableau de variations de f
variable
signe de la dérivée
variations de la fonction
x
f'
f
–1
0
2
–
+
+
–1,1
2
–2
2,5
–2
Exercices 1 p 100 a), b) et 3 p100
o Extremum d'une fonction
La fonction f(x) = x3 – 3x2 + 2 admet un maximum en  0
un minimum en  2
Ces deux valeurs correspondent aux racines de la fonction f '
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si la dérivée s'annule et change de signe pour une valeur a alors la fonction présente un extremum
(maximum ou minimum) en a.
Retour introduction
V = f(x) = (1,3 – 2x)2  x = 4x3 – 5,2x2 + 1,69x
les valeurs de x sont comprises entre 0 et 0,65
Calcul de la fonction dérivée
f '(x) = 12x2 – 10,4x + 1,69
Signe de la fonction dérivée
f '(x)  0 si 12x2 – 10,4x + 1,69  0
 = 10,42 – 4  12  1,69 = 27,04
x1 = Error! = 0,22 m
x2 = Error! = 0,65m
f ' est positive sur l'intervalle [0 ; 0,22]
6
Tableau de variations de f
x
f '(x)
f(x)
0
0,22
0,65
–
+
0,16
0
0
Réponse au problème
La valeur de x pour laquelle la cuve a un volume maximal est 0,22 m.
7