cryptographie - Colegio Francia

ANNALES DU BAC FICHE 23
Ex 23.1 Reims 1976
En base 9, trouver tous les couples de chiffres
),( yx
pour lesquels le nombre
467 yx
est
divisible par 7 et par 8.
Réponses :
)7,0(
et
)0,7(
.
Ex 23.2 Orléans 1970
Déterminer le nombre entier du système décimal qui s'écrit
abca
dans le système à base onze
et
bbac
dans le système à base sept.
Réponse :
1a
,
5b
et
3c
. L'entier est 1970.
Ex 23.3 Bordeaux 1974
On désigne par a, b, c trois chiffres de la numérisation décimale tels que
91  cba
. On
considère les trois nombres
abcx
,
bcay 
,
cabz 
.
1. Montrer que x, y, z sont trois termes consécutifs d'une suite arithmétique si et seulement si
)(3)(4 bcab 
.
2. En déduire les trois nombres x, y, z dans ce cas (on trouvera deux solutions).
Réponse :
1a
,
4b
et
8c
ou bien
2a
,
5b
et
9c
.
Ex 23.4 Inde 1982
On considère le nombre A qui s'écrit dans le système décimal
5xyxyxyxyxA 
, x et y étant des
chiffres de ce système, x étant non nul.
1. A quelle condition ce nombre est-il divisible par 25 ?
2. Déterminer les différentes valeurs de A, telles que A soit divisible par 225.
3. On considère le nombre
xyxyxyB 
toujours écrit dans le système décimal avec x et y qui
sont des chiffres, x étant non nul. Déterminer B tel que B soit divisible par 225.
Réponses : 1.
7ou 2x
2.
)3,2(ou )8,7(),( yx
3.
575757B
Ex 23.5 Lille 1979
1. Étudier, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division euclidienne par 5 de
n
12
.
2. Les chiffres du système de numération à base douze sont notés 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A,
B. Quel est le reste de la division euclidienne par 5 de l'entier naturel qui s'écrit
5324AB
dans
ce système.
Ex 23.6 Poitiers 1970
Trouver les entiers naturels compris entre 100 et 200, divisibles par 9, et qui dans le système
de numération de base six s'écrivent
yx3
.
Ex 23.7 Inde 1979
Soit B un entier naturel strictement supérieur à 3.
Dans tout ce qui suit, les écritures surlignées représentent des nombres écrits en base B.
1. Montrer que
132
est divisible par
1B
et
2B
.
Pour quelles valeurs de B,
132
est-il divisible par six ?
2. Montrer que
1320A
est divisible par six.

3. On pose
1430C
. Quel est le PGCD de A et C ?
Ex 23.8 Nancy-Metz 1978
1. Trouver suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de
n
3
par 11.
2. En utilisant les résultats de la première question, déterminer suivant les valeurs des entiers
naturels k et m, les restes de la division par 11 des deux nombres
k
A1978
mmmmm
B421421421421421 2345 
.
Ex 23.9 Orléans-Tours 1980
1. Trouver, suivant les valeurs de l'entier naturel n, le reste de la division de
n
5
par 7 ainsi
que le reste de la division de
n
5
par 11.
2. Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que
7745 
n
.
3. Quel est le reste de la division de
160
5
par 77 ?
Ex 23.10 Dakar 1978
1. Déterminer, suivant les valeurs de l'entier naturel n, les restes dans la division euclidienne
par 5 des entiers
n
2
et
n
3
.
2. En déduire pour quelles valeurs de n le nombre entier
nn
A25721881 
est divisible par
5.
Ex 23.11 Bordeaux 1978
Un nombre naturel N dont le nombre des dizaines est noté D et dont le chiffre des unités est
noté u, s'écrit
uDN 10
.
On considère le nombre
uDN 2
.
1. Démontrer l'équivalence entre les deux propriétés suivantes :
N est divisible par 19
N
est divisible par 19.
En utilisant plusieurs fois de suite cette équivalence étudier si le nombre 29 431 est divisible
par 19.
2. Dans cette équation on ne considère que des naturels N non divisibles par 19.
Les nombres N et
N
peuvent-ils être congrus, modulo 19 ?
On note r et
r
les restes respectifs des divisions de N et
N
par 19, déterminer une relation
entre r et
r
.
Ex 23.11 Orléans-Tours 1980
Soit l'équation
034 23  xxx
(I).
1. Montrer, en étudiant la fonction numérique f définie sur
R
R
R
par
34)( 23  xxxxf
,
que l'équation (I) n'a qu'une solution réelle qui, de plus, appartient à l'intervalle
1;0
.
2. Montrer que, si l'équation (I) a une solution rationnelle
q
p
, où p et q sont premiers entre
eux, alors p divise 3 et q divise 4.
Quels sont les rationnels vérifiant cette dernière condition ?

3. Déterminer la solution rationnelle
q
p
de l'équation (I) et, après avoir mis en facteur
)( pqx 
dans l'expression de
)(xf
, achever la résolution de l'équation (I) dans le corps de
complexes.
Ex 23.12 Strasbourg 1978
Le nombre n désigne un entier naturel.
1. Démontrer que
45
2 nn
et
23
2 nn
sont divisibles par
1n
.
2. Déterminer l'ensemble des valeurs de n pour lesquelles
191532 nn
est divisible par
1n
.
3. En déduire que, quel que soit n,
191532 nn
n'est pas divisible par
23
2 nn
.
Ex 23.13 Nice 1978
On note n un entier naturel non nul, A l'entier naturel
)13( n
et B l'entier naturel
)15( n
.
1. Démontrer que le PGCD de A et B est un diviseur de 8.
2. Pour quelles valeurs de n ce PGCD est-il égal à 8 ?
Calculer alors le PPCM de A et B.
3. Pour quelles valeurs de n ce PGCD est-il égal à 3 ?
Ex 23.14 Bordeaux 1977
Soit n un entier relatif quelconque. On pose
1 nA
et
63
2 nnB
.
1. a. Montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4.
b. Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.
2. Pour quelles valeurs de l'entier relatif n,
1n
,
163
2
nnn
est-il entier relatif ?
Ex 23.15 Reims 1982
1. Déterminer l'ensemble U des entiers relatifs n tels que
2n
divise
12 n
.
2. Montrer que pour tout entier relatif, les nombres
2n
et
132 2 nn
sont premiers entre
eux.
3. Déterminer l'ensemble V des entiers relatifs n,
2n
tels que
)2)(2(
)132)(12( 2
2
nn
nnn
soit
un entier relatif.
Ex 23.16 Aix-en-Provence 1977
1. Établir que, quels que soient les entiers relatifs a, b et q :
)( bqabba 
.
2. Montrer que, quel que soit l'entier relatif n,
38)2()2()5( 3 nnnn
.
3. Déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que
2n
divise
nn 
3
5
.
4. Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de
nn 
3
5
et
2n
?
Déterminer l'ensemble des entiers relatifs n tels que
19)2()5( 3 nnn
.
Ex 23.17 Dijon 1973
1. Le nombre
1211 
est-il premier ?

2. p et q étant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par
12 
p
du
nombre
q
ppq 22 
?
En déduire que
12 
pq
est divisible par
12 
p
et
12 
q
.
3. Démontrer que, si
12 
n
est premier, alors n est premier.
Ex 23.18 Poitiers 1976
x, p et q sont des entiers naturels non nuls,
1x
.
1. Montrer que si d est un diviseur de p, alors
1
d
x
est un diviseur de
1
p
x
.
2. Monter que si d est le PGCD de p et de q, alors il existe m et n tels que :
dnqmp 
.
En déduire que si d est le PGCD de p et de q, on peut trouver m et n
vérifiant :
111  ddnqmp xxxx
.
3. De l'égalité précédente, déduire que
1
d
x
est le PGCD de
1
mp
x
et de
1
nq
x
.
Ex 23.19 Antilles-Guyane 1982
1. Calculer la somme suivante pour x réel et p entier naturel
p
pxxx 11 2 
.
2. Montrer que quels que soient les entiers naturels x et n, l'entier
1
12  n
x
est divisible par
1x
.
3. En déduire que, quel que soit l'entier naturel p,
12 2
k
p
est divisible par
12 2
p
si
l'entier k est impair.
4. Démontrer qu'une condition nécessaire pour que
12 
m
soit premier est que l'entier naturel
m soit une puissance de 2. On ne cherchera pas à étudier si cette condition est suffisante.
Ex 23.20 Maroc 1976
1. Vérifier que le couple
)3;2(
est solution de
12741  yx
.
2. En déduire une solution particulière de
52741  yx
, où x et y désignent des entiers
naturels.
3. Donner toutes les solutions de
52741  yx
, où x et y désignent des entiers naturels.
Ex 23.21 Rennes 1981
1. Résoudre l'équation
61723  YX
dans l'ensemble des entiers relatifs.
2. Déduire de l'étude précédente les entiers naturels A inférieurs à 1 000 tels que dans la
division euclidienne de A par 23, le reste soit 2, et dans celle de A par 17 le reste soit 8.
Ex 23.22 Nancy-Metz 1980
1. Montrer que si m est un nombre entier tel que
70  m
, alors
m1177 
n'est pas divisible
par 7 ; en déduire que 77 ne peut pas s'écrire sous la forme
nm 711 
avec m, n entiers
strictement positifs.
2. Soit x un entier ; montrer qu'il existe un entier m, vérifiant
70  m
, tel que
mx 11
soit
divisible par 7 ; en déduire que si
77x
, alors x peut s'écrire sous la forme
nm 711 
avec m,
n entiers strictement positifs.

3. On dispose de jetons de deux catégories auxquels on attribue respectivement les valeurs 7
et 11 ; montrer que 59 est la plus grande valeur ne pouvant être réalisée à partir de tels jetons :
on constatera que les valeurs réalisables sont les nombres de la forme
nm 711 
avec m, n
entiers positifs ou nuls.
Ex 23.23 Maroc, 1978
28 personnes participent à un repas. Le prix du repas est de 26 Dh. Les étudiants paient 17 Dh
et les enfants 13 Dh. Le prix total du repas est de 613 Dh. Combien y a-t-il d'étudiants et
d'enfants parmi les 28 personnes ?
(L'abréviation Dh est mise pour Dirham).
Ex 23.24 Montpellier, 1978
Quatre nombres entiers strictement positifs a, b, c, d forment, dans cet ordre, une suite
géométrique dont la raison est un nombre entier premier avec a. Trouver ces nombres sachant
qu'ils vérifient en outre la relation
bda 
2
10
.
Ex 23.25 Toulouse, 1971
Déterminer tous les couples
ba ;
d'entiers naturels
ba 
tels que
6201
22  ba
et que le
plus grand commun diviseur de a et de b soit 6.
Ex 23.26 Lyon, 1977
Trouver tous les couples d'entiers naturels
ba ;
tels que le plus grand commun diviseur de a
et de b soit 5 et le plus petit commun multiple de a et de b soit 8 160.
Ex 23.27 Asie, Juin 1999
1. On considère l'équation
(E) :
158  yx
, où
);( yx
est un couple de nombres entiers relatifs.
a. Donner une solution particulière de l'équation (E).
b. Résoudre l'équation (E).
2. Soit N un nombre naturel tel qu'il existe un couple
);( ba
de nombres entiers vérifiant :
25
18
bN
aN
a. Montrer que le couple
);( ba 
est solution de (E).
b. Quel est le reste, dans la division de N par 40 ?
3. a. Résoudre l'équation
10058  yx
, où
);( yx
est un couple de nombres entiers relatifs.
b. Au VIIIe siècle, un groupe composé d'hommes et de femmes a dépensé 100 pièces de
monnaie dans une auberge. Les hommes ont dépensé 8 pièces chacun et les femmes 5 pièces
chacune. Combien pouvait-il y avoir d'hommes et de femmes dans le groupe ?
Ex 23.28 National, Juin 1999
Pour tout entier naturel n non nul, on considère les nombres
1104 n
n
a
,
1102 n
n
b
et
1102 n
n
c
.
1. a. Calculer
1
a
,
1
b
,
1
c
,
2
a
,
2
b
,
2
c
,
3
a
,
3
b
,
3
c
.
b. Combien les écritures décimales des nombres
n
a
et
n
c
ont-elles de chiffres ?
Montrer que
n
a
et
n
c
sont divisibles par 3.