Les nombres

L
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582662193
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Calculer avec des puissances
I. Puissances d'exposant positif
1) Définition
Soit a un nombre réel et n un entier supérieur ou égal à 2.
Par définition :
Error!
(avec n facteurs a)
On pose par ailleurs : a1 = a
et, pour a 0, a0 = 1 (notons que 00 n'a pas de sens).
2) Puissances et opérations
On peut avoir essentiellement :
 soit un nombre et deux exposants
 soit deux nombres et un exposant
multiplication :
Error!
Ex : a3  a2 = (aaa)(aa) = a3+2 = a5
multiplication :
Error!
Ex : (2 5)3 = 23 53, ou 32 22 = 62
 division :
Error!
Ex : Error! = 32
 division :
Error!
Ex : Error! = Error!
 puissance de puissance :
( )
anp = anp
Ex : (a2)3 = a6
 addition (ou soustraction) :
Error!
Ainsi 23 + 25 = 8 + 32 = 40 = ?
 addition (ou soustraction) :
Error!
On sait que (a +.b)2 = a2 + b2 + 2ab
a2 + b2
3) Règle des signes pour une puissance
D'après les formules vues précédemment, on a : (– a)n = [(– 1) a]n = (– 1)n an.
Or {(– 1)n = 1 si n est pair;;( – 1)n = – 1 si n est impair.
On en déduit que :
Error!
Ainsi : ( – 3)8 = 38 = 6561 et (– 3)7 = – 37 = – 2187.
– 34 34 car – 34 = – (34) = – 81 et le résultat est donc négatif.
II. Puissances d'exposant négatif
Soit a un nombre réel différent de zéro et n un entier strictement positif.
Par définition :
Error!
c'est-à-dire que a–n est l'inverse de an.
Par exemple : 3–5 =
Error!
=
Error!
.
En particulier : a–1 =
Error!
donc a–1 est l'inverse de a (ex : 4–1 =
Error!
= 0,25).
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