Les nombres

LES NOMBRES
Calculer avec des puissances
I. Puissances d'exposant positif
1) Définition
Soit a un nombre réel et n un entier supérieur ou égal à 2.
Par définition :
Error! (avec n facteurs a)
On pose par ailleurs :
a1 = a
et, pour a  0,
a0 = 1 (notons que 00 n'a pas de sens).
2) Puissances et opérations
On peut avoir essentiellement :
 soit un nombre et deux exposants  soit deux nombres et un exposant
 multiplication :
Error!
Ex : a3  a2 = (aaa)(aa) = a3+2 = a5
 division :
 multiplication :
Error!
Ex : (2 5)3 = 23 53, ou 32
2 2 = 62
 division :
Error!
Ex : Error! = 32
Error!
Ex : Error! = Error!
 puissance de puissance :
(an)p = anp
Ex : (a2)3 = a6
 addition (ou soustraction) :
Error!
Ainsi 23 + 25 = 8 + 32 = 40 =
 addition (ou soustraction) :
?
Error!
On sait que (a +.b)2 = a2 + b2 + 2ab
 a2 + b 2
3) Règle des signes pour une puissance
D'après les formules vues précédemment, on a : (– a)n = [(– 1)a]n = (– 1)n an.
Or {(– 1)n = 1 si n est pair;;( – 1)n = – 1 si n est impair.
On en déduit que : Error!
Ainsi : ( – 3)8 = 38 = 6561 et (– 3)7 = – 37 = – 2187.
 – 34  34 car – 34 = – (34) = – 81 et le résultat est donc négatif.
II. Puissances d'exposant négatif
 Soit a un nombre réel différent de zéro et n un entier strictement positif.
Par définition :
Error! c'est-à-dire que a–n est l'inverse de an.
–5
Par exemple : 3 = Error! = Error!.
En particulier :
a–1 = Error! donc a–1 est l'inverse de a (ex : 4–1 = Error! = 0,25).
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