Dérouillage pré-diagnostique

Dérouillage pré-diagnostique
MATHÉMATIQUES
SECONDAIRE I
MAT 1005
MAT 1006
MAT 1007
SECONDAIRE II
MAT 2006
MAT 2007
SECONDAIRE III
MAT 3001
MAT 3002
MAT 3003
Concepteurs : Mario Dumais,
Gilles Dulac et Eric Malenfant
Décembre 2009
SECONDAIRE 1
Rappel théorique
Loi des signes
Quatre
opérations de
fractions
Fractions
équivalentes
Multiplication et division : Le produit et le quotient de deux nombres de mêmes signes
sont toujours positifs. Le produit et le quotient de deux nombres de signes contraires
sont toujours négatifs.
Addition et soustraction : Lorsque les deux nombres ont le même signe, on
additionne les nombres et le signe sera le même que celui des deux nombres calculés.
Lorsque les deux nombres ont des signes contraires, on soustrait les nombres et le signe
de la réponse sera celui du nombre le plus éloigné de zéro (0).
Addition et soustraction : On additionne ou on soustrait, selon le cas, les numérateurs
si les fractions ont le même dénominateur. Si les dénominateurs sont différents, il faut
trouver des fractions équivalentes qui permettent de transformer toutes les fractions sur
un dénominateur commun.
Multiplication : On multiplie les numérateurs ensemble et les dénominateurs
ensemble.
Division : On inverse la fraction qui divise (diviseur) et on remplace l’opérateur de
division par celui de la multiplication.
Pour trouver des fractions équivalentes, il s’agit de multiplier (pour trouver un
dénominateur commun) ou de diviser (pour simplifier une fraction) le numérateur et
le dénominateur par le même nombre.
Faire les calculs suivants :
1) (-3) + 5 =
2) (-7) – 3 =
3) (-5)  (-8) =
4) 54 ÷ (-9) =
1 3
 
5 5
2 1
6)    x 
 5 3
1 3
7)  
5 4
6 3
8)  
7 14
5)
1
Rappel théorique
Opérations des
nombres
rationnels.
Nombres rationnels : Ce sont les nombres exprimables sous la forme de fractions
(Pourcentage, décimale, entier)
Multiplication de nombres décimaux : On multiplie les nombres comme à
l’habitude. La position de la virgule dans la réponse doit présenter à sa droite autant de
chiffres qu’il y a au total dans les nombres multipliés.
Division de nombres décimaux : On divise les nombres comme à l’habitude sauf qu’il
faut transformer préalablement le diviseur en nombre entier par la multiplication d’un
multiple de 10 (10, 100, 1000, etc.) Si on effectue cette transformation au diviseur, il
faut le faire aussi au nombre divisé (le même multiple de 10).
Addition et soustraction : On soustrait ou on additionne comme à l’habitude mais en
prenant bien soin d’aligner les virgules des nombres décimaux.
Transformation Fraction en nombre décimal : On divise le numérateur par le dénominateur.
des nombres
Nombre décimal en fraction : On ramène le partie décimale sur un dénominateur
rationnels.
multiple de 10 selon le nombre de chiffres présent à droite de la virgule et on simplifie
la fraction ainsi obtenue.
Fraction en pourcentage : On transforme la fraction en décimale et on multiplie le
résultat par 100.
Pourcentage en fraction : On met le nombre sur 100, on élimine la décimale du
numérateur par la multiplication des deux membres de la fraction par un multiple de 10
s’il y a lieu, et on simplifie.
Effectuer les calculs suivants :
4
9)
15) Transformer 3 5 en expression
fractionnaire.
16) Transformer 2,8 en nombre
fractionnaire.
17) Simplifier à sa plus simple
expression les fractions
51,49 + 21,019 =
10) 2,12 x –1,05 =
11) –8,9 ÷ (-1,7) =
9
12) 8% x 54 =
3
+ 1,9 =
5
7
14) 35% + + 0,45 =
4
Rappel
théorique
13)
Priorités des
opérations.
25
49
suivantes : 12 , 30 , 56 .
18) Transformer 37,5% en fraction.
1
19) Transformer 25 en pourcentage.
Lorsqu’il y a plusieurs opérations à effectuer, il faut suivre l’ordre des
priorités. On commence toujours à effectuer les calculs dans les
parenthèses(1) en premier lieu. Pour effectuer ces calculs on fait tout
d’abord les multiplications et les divisions(2) dans l’ordre de gauche
à droite et finalement, on fait les additions et les soustractions(3)
dans l’ordre de gauche à droite.
Effectuer les calculs suivants :
20)
2+3x2–4=
22)
1
1
2
( 2 + 32 ) x 3 ÷ 3 =
2
Rappel théorique
21)
3 – 5[(-3 – 9) – (-12 ÷ 3) =
23)
0,25 – (3 +
2
1
x
)=
3
4
Résolution de La moyenne : La somme des données divisée par le nombre de
problèmes
données.
écrits
L’écart : La différence entre la grande valeur et la petite valeur.
Rôle de la fraction : La fraction (%, décimale aussi) joue souvent le
rôle de partie ou de portion d’une certaine quantité (total). Pour
calculer la valeur réelle de cette portion (fraction), on multiplie la
fraction avec le total.
Recherche d’un total : On divise la valeur réelle de la partie par la
fraction représentant cette partie.
Stratégies : Cerner la question, estimer le problème, choisir les
données pertinentes, choisir les opérations adéquates, réaliser les
calculs, donner la réponse.
Résoudre le problème écrit suivant :
24) Jean a 100 $ pour s’acheter quelques morceaux de linges. Il achète 3 paires
de bas à 2,25 $ chacune, 2 T-shirts à 10 $ chacun, une chemise à 25 $ et un
pantalon à 35 $.
A) Combien d’articles a-t-il acheté ?
B) Quel montant déboursera-t-il pour ses bas ?
C) Quel est le montant total de la facture ?
D) S’il paie les
2
du montant total tout de suite, quel montant lui restera-t-il à
3
payer ?
E) S’il y a un rabais de 15% sur le pantalon, quel sera le prix du pantalon ?
F) Quel est le prix moyen des articles achetés ?
3
Rappel théorique
SECONDAIRE 2
Ensemblesolution
L’ensemble-solution est la ou les valeurs numériques que peut prendre une variable
pour rendre l’équation ou l’inéquation vraie. Pour trouver l’ensemble-solution d’une
équation ou d’une inéquation à une inconnue, il s’agit d’isoler la variable.
Isolation de la
variable dans
une équation à
une variable.
Le principe de base est de rendre la variable seule d’un côté du signe =. Pour ce faire, il
faut suivre les étapes suivantes :
1) Pour chaque membre de l’équation, on calcule les termes semblables par addition et
soustraction.
2) On transporte les termes constants à droite du signe = et les termes ayant une
variable à gauche du signe = en effectuant l’opération inverse.
3) On transporte finalement le coefficient numérique accompagnant la variable du côté
droit du signe = en effectuant l’opération inverse, multiplication ou division.
Si l’équation comporte au départ des parenthèses, il faut enlever celles-ci en les
multipliant par distributivité.
Distributivité
On peut appliquer la distributivité de la multiplication sur l’addition et la soustraction.
Par exemple : 5(6 + 4 – 8) = 5x6 + 5x4 – 5x8
Isolation de la
variable dans
une inéquation
à une variable
L’inéquation est sensiblement la même chose qu’une équation sauf qu’elle comporte les
signes <, >,  ou .
Pour isoler la variable, on effectue les même étapes que dans le cas d’une équation.
Règle particulière : Lorsqu’on transporte un terme multiplicateur ou diviseur négatif de
l’autre côté du signe d’inéquation, celui-ci s’inverse.
Formules
Dans les formules mathématiques, plusieurs lettres apparaissent. Pour résoudre une
formule :
1) On remplace toutes les lettres par leur valeur numérique respective sauf une qui
constitue l’inconnue.
2) On isole l’inconnue en suivant les étapes ci-dessus.
Trouver la valeur de la variable dans les équations et inéquations suivantes :
1) –3x + 5 = -4
3x
5) x + 4x –5  7 – 2x + 8
2) -7 –
2 = 3x + 5
6) –3x + 7x > 5x + 8
3) 3(2x –5) +4 = 3x +7
7) Que vaut h dans A = bh, si A =128 cm2
et b = 4 cm ?
4) 6x –5 < 3x + 2
8) Que vaut L dans P = 2(L + k),
si P = 72 cm et k = 13 cm ?
4
Rappel théorique
Représentation
graphique d’un
ensemblesolution dans
ℕ , ℤ et ℝ .
Voici : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …}
Voici ℤ : {…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …}
Voici ℝ : Tous les nombres.
Exemple : x > -2

0 1 2 3 4 5 6…
ℤ
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6…
ℝ
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6…
Représenter graphiquement l’ensemble-solution.
x < 5 dans . 10) x  -3 dans ℤ
Rappel théorique
9)
11) x > 2 dans ℝ
La
Une proportion est l’égalité de deux rapports ou fractions.
proportion.
La LOI des proportions :
Le produit des extrêmes égale le produit des moyens. (Produit en
croisé)
En algèbre, pour trouver la valeur d’une inconnue d’une proportion, on
applique la loi. Ce qui nous donne une équation ordinaire et on isole la
variable.
Trouver la valeur des inconnues en utilisant la loi des proportions
12)
13)
24 = 5
x
9
4
=
2x – 5
7
x + 6
14)
3x + 1 =
12
x+2
9
15)
3(x + 4) = 7
2x
5
5
Rappel théorique
Résolution
de
problèmes
écrits
Si le problème écrit présente une situation proportionnelle, c’est-à-dire
deux paramètres qui varient d’un même multiple (Par exemple, la paie
et le nombre d’heures de travail : si on double le nombre d’heures, la
paie double aussi), voici les étapes à suivre :
1) Cerner les deux paramètres proportionnels.
2) Identifier le paramètre inconnu.
3) Bâtir la proportion à l’aide de deux rapports mettant en comparaison
les deux paramètres.
4) Résoudre la proportion en appliquant la loi.
5) Donner la réponse.
Si le problème n’est pas une situation proportionnelle, voici les étapes à
suivre :
1) Établir le nombre d’inconnues que présente la situation
2) Nommer les inconnues et les identifier à l’aide d’expression
algébrique contenant toujours la même variable. Utiliser les
informations fournies.
3) Bâtir une équation à partir des informations du texte.
4) Résoudre l’équation en isolant la variable.
5) Donner la réponse.
Résoudre les problèmes suivants :
21)
Douze pommes coûtent 2,99 $. Combien de pommes peut-on acheter avec
6,50 $ ?
22)
Pour faire une salade de fruit, 3 oranges, 5 clémentines, ½ melon, 3 pommes
et une mangue sont nécessaires pour servir 12 portions. Combien de fruits
aura-t-on besoin pour faire une salade pouvant servir 50 personnes ?
23)
Une mère a 20 ans de plus que sa fille. Dans 7 ans, elle n’en aura que le
triple. Quel est l’âge de chacune ?
24)
La somme de trois nombres impairs consécutifs est de 69. Quels sont ces
trois nombres ?
6
Rappel théorique
Les éléments
géométriques
À une dimension :
Segment, demi-droite, droite.
Droites parallèles, droites perpendiculaires, droites sécantes.
À deux dimensions :
Triangle scalène, triangle isocèle, triangle équilatéral, triangle
rectangle, triangle rectangle isocèle.
Trapèze, trapèze isocèle, trapèze rectangle.
Carré, Rectangle, Losange, Parallélogramme.
Identifier ces éléments de géométrie :
28)
31)
26)
29)
32)
27)
30)
33)
Rappel théorique
25)
Triangle
rectangle
Le théorème de Pythagore.
a2 + b2 = c2
Où a et b sont la longueur des côtés de l’angle droit et c, la longueur
de l’hypoténuse.
La règle du 30o.
Le côté opposé à l’angle de 30o dans un triangle rectangle est
toujours la moitié de la longueur de l’hypoténuse.
La règle du 45o
Un triangle rectangle ayant un angle de 45o devient automatique
isocèle. Par conséquent, les deux côtés de l’angle droit sont égaux.
7
34)
35)
36)
?
?
10
10
?
15
30o
45o
17
Rappel théorique
SECONDAIRE 3
Termes
semblables
Les termes sont semblables lorsqu’ils sont constitués des mêmes
variables affectées des mêmes exposants.
Addition et
On additionne ou soustrait les coefficients numériques des termes
soustraction
semblables seulement. Les exposants des variables demeurent
de polynômes inchangés.
Multiplication On multiplie les coefficients numériques et on additionne les exposants
de termes
d’une même variable ensemble.
algébriques
Division de
termes
algébriques
On divise les coefficients numériques ou on forme une fraction
simplifiée et on soustrait les exposants d’une même variable.
Distributivité
On peut appliquer la distributivité de la multiplication sur l’addition et
la soustraction.
Par exemple : 5(6 + 4 – 8) = 56 + 54 – 58
Effectuer les opérations suivantes :
5) (4a + 5)(-3a + 2)
2) (3a2b + 4ab2) – (6ab2 – 3a2b)
6) (3a + 4b)(2c – 7b + 3a)
3) 7a2bc3 x 6ab2c2
7) 12a2b3c  16abc
4) 3ab(4a – 3b + 5ab)
8) (16a2b3 – 24 ab3 + 6ab)  6ab
Rappel théorique
1) 7a + 9b –2a
Priorités des Lorsqu’il y a plusieurs opérations à effectuer, il faut suivre l’ordre des
opérations
priorités. On commence toujours à effectuer les calculs dans les
parenthèses(1) en premier lieu. Pour effectuer ces calculs on fait tout
d’abord les multiplications et les divisions(2) dans l’ordre de gauche à
droite et finalement, on fait les additions et les soustractions(3) dans
l’ordre de gauche à droite.
Effectuer les opérations suivantes selon la priorité des opérations.
8
3a2 + 5a(a + 1) – (4a +2)
10)
[8a2 + (2a – 1)(3a2 + 2a)]  3a + 9a2b3 3ab2
Rappel théorique
9)
Périmètre de Le périmètre (P) est la longueur (mm, cm, m, km) du contour d’une
figures planes figure. On effectue la somme des côtés. (Voici les formules
particulières)
Carré : P = 4c
Rectangle : P = 2(L + l)
Losange : P = 4c
Cercle : C = 2r où  vaut 3,14
Aire de
L’aire (A) est la mesure de surface (mm2, cm2, m2, km2) d’une figure.
figures planes Voici quelques formules :
Carré : A = c2
Rectangle : A = L  l
Triangle : A = b  h
2
Parallélogramme : A = b  h
Losange : A = D  d
2
Trapèze : A = (B + b)  h
2
2
Cercle : A = r
Calculer le périmètre et l’aire des figures suivantes :
11)
14)
hauteur
25 mm
2 cm
6 cm
30 mm
50 mm
15)
12)
12 cm
5 cm
3,5 cm
9 cm
4 cm
7 cm
6 cm
16)
13)
4,2 cm
6 cm
17 cm
17,3 cm
9
Aire latérale L'aire latérale d'un solide est la somme des aires des
Aire totale faces qui ne sont pas les bases. (La réponse obtenue nous
et Volume donnera des carrés, par exemple : cm2 ou centimètres
carrés).
Rappel théorique
L'aire totale des faces d'un solide est la somme de l'aire
latérale et des aires des bases. (La réponse obtenue nous
donnera des carrés, par exemple : cm2 ou centimètres
carrés).
Le volume d'un solide est la mesure de l'espace délimité
par sa surface. Donc, le volume d'un solide représente la
portion d'espace qu'il occupe, sa capacité. Si l'on prend un
verre, la capacité de ce verre sera égale à la quantité de
liquide qu'il peut contenir. Les unités de mesure utilisées
seront exprimées en cube, par exemple : cm3 (centimètres
cubes).
MESURE
CUBE
PRISME
RECTANGULAIRE
CYLINDRE
CÔNE
Al = 4c2
Al = 2h(L + l)
Al = 2rh
Al = rg
AIRE
At = 6c2
At=2(hL+hl+Ll) At =2r(h+r) At=r(g+r)
TOTALE
VOLUME
V = c3
V=Lxlxh
RECHERCHÉE
AIRE
LATÉRALE
V = r2h
V = (πr 2 h) ÷ 3
Notez que vous devrez trouver la génératrice pour faire les calculs
d’aire du cône en utilisant la formule suivante (dérivée du théorème de
Pythagore): g = √ r2 + h2
10
Calculer l’aire latérale, l’aire totale et le volume des figures suivantes :
Notes: Utiliser  = 3,14 pour vos calculs.
Arrondir le résultat final au dixième près.
17 ) Coffret de 12 cm d’arête.
20 ) Bloc de ciment de 10 cm par 8
cm par 20 cm
12 cm
20
8
10
18) Cylindre de 8 cm de diamètre
et 10 cm de hauteur
8
21) Pignon d’un moulin dont la base
est un cylindre de 6 m de rayon
par 16 m de hauteur et dont le
pignon superposé est un cône de
base égale à celle du cylindre et
de hauteur 14 m.
10
19) Cône de 9 cm de rayon
et 12 cm de haut.
14
16
12
6
9
11
Rappel théorique
Représentation L’abscisse (représentée par un x) est la première composante d’un couple
de points dans de coordonnées cartésiennes et l’ordonnée (représentée par un y) en est la
le plan cartésien deuxième. Les deux coordonnées forment le couple (x,y).
QUADRANT I
(+,+)
QUADRANT II
(-,+)
ordonnée à l’origine
point (b,0)
point
(x,y)
abscisse
ordonnée
abscisse à l’origine
point (a,0)
axe des ordonnées ou axe des y
origine ou point (0,0)
axe des abscisses ou axe des x
QUADRANT III
(-,-)
QUADRANT IV
(+,-)
Situer les points suivants dans le plan cartésien :
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
A(2,7)
B(0,-4)
C(-5,3)
D(7,-5)
E(-5,-6)
F(12,0)
G(-2,-2)
H(6,6)
3
2
1
0
-3 -2 -1-1 1 2 3
-2
-3
12
Rappel théorique
Pour
compléter un
tableau de
valeurs et
tracer la droite
correspondant
à une équation
1.
2.
3.
4.
5.
6.
donner une valeur numérique quelconque à une des deux variables
calculer (isoler) la valeur de l’autre variable
répéter l’opération pour 5 couples (x,y) au minimum
situer les points sur le plan cartésien
vérifier si les points sont colinéaires (sur la même ligne)
tracer la droite
Tracer les droites qui correspondent aux équations suivantes :
30) 3x-2y+4=0
3
2
1
0
-3 -2 -1-1 1 2 3
-2
-3
31) y=-½x+3
3
2
1
0
-3 -2 -1-1 1 2 3
-2
-3
13
32) 2x=-4
3
2
1
0
-3 -2 -1-1 1 2 3
-2
-3
33) Trouvez le prix d’un appel interurbain d’une durée de 7 minutes en vous
référant à la charte de
Coût ($)
coûts suivant :
8
6
4
2
Temps (min.)
0
1 2 3 4
34) Combien de temps prendra
une pompe pour vider
complètement une chaloupe
de son eau, sachant qu’au
départ il y en avait 19 cm et
qu’après 4 minutes de
fonctionnement il n’en
8
restait que 12cm?
6
Niveau (cm)
4
2
Temps (min.)
0
1 2 3 4
14
Rappel théorique
Calcul de la
pente
La pente ou taux de variation est le rapport entre le déplacement
vertical d’une variable et le déplacement horizontal de l’autre variable.
On peut utiliser les coordonnées de deux points d’une même droite pour
trouver sa pente. L’unité de mesure de la pente est déterminée par
l’unité de mesure de l’axe des y par rapport à l’unité de mesure de l’axe
des x.
y -y
déplacement vertical
Pente (m) =
= 2 1
déplacement horizontal x2 - x1
Trouver la pente des droites suivantes en utilisant la formule :
35)
(x1,y1)
couple(-4,0)
(x2,y2)
couple(10,7)
3
2
1
0
-3 -2 -1-1 1 2 3
-2
-3
couple(-1,5)
36)
3
2
1
0
-3 -2 -1-1 1 2 3
-2
-3
couple(2,-5)
15
Rappel théorique
Rappel théorique
Pente
Types de
droites
Tracer la
droite
Représentation graphique
y
Pente nulle
m=0
Pente non
définie
a
m=
0
Formes de
l’équation
Droite
Droite horizontale
x
y
Droite verticale
x
y
Pente
positive
m>0
Droite oblique
ascendante de la
gauche vers la
droite
y
Pente
négative
m<0
Droite oblique
descendante de la
gauche vers la
droite
x
x
L’équation se présente sous forme Ax + By + C = 0 où A est positif et
A, B et C sont éléments des Naturels (). Une autre forme possible est :
y = mx + b que l’on obtient en isolant le y d’une équation. Les
renseignements concernant la pente (m) et l’ordonnée à l’origine (0,b)
sont alors facilement observables.
En connaissant la pente et un point, il est aisé de tracer la droite
correspondante en plaçant d’abord le point dans un plan cartésien, puis
on trouve un nouveau point en effectuant les déplacements vertical et
horizontal selon la pente. La droite passera ensuite par ces deux points.
Trace les droites qui correspondent aux données fournies :
37) B (2,-1)
m= 5
16
38)
m=
2
3
A (4,3)
-4
39) m = 5
b=7
17
Rappel théorique
Déterminer
l’équation de
la droite
Si l’on a les coordonnées de deux points, on peut trouver l’équation en
déterminant d’abord la pente en utilisant la formule Pente (m) = y2 - y1
x2 - x1
Puis, on réutilise la formule une seconde fois en substituant les valeurs
de la pente ainsi trouvée et d’un seul des deux points. Ensuite on
présente l’équation sous forme Ax + By + C = 0 ou y = mx + b en
isolant le y. Utiliser la loi des proportions vue en secondaire 2.
Donner la pente et l’ordonnée à l’origine de chacune des équations qui suivent :
7
2
40) y  x  9
41) 5 y  3x  20
42) x  2 y  4  0
43) 3 y  6
44) 2x  7
2
3
45) 5 x   11x
Trouver les équations des droites selon les renseignements fournis :
46)
m = -1 et b = 4
47)
m = -3/5 et b = 6
48)
m = 2/3 et A (-2,-3)
49)
C (-2,-2) et D (0,5)
50)
A (-1,-3) et H (4,1)
18