Séries entières 1. Déterminer le rayon de

Séries entières
PC*
2015 − 2016
1. Déterminer le rayon de convergence des séries entières suivantes :
X√
X
3
nz n ,
X 7n
X
X cos n X 1
zn
n
n
,
z
,
th(n)z
,
zn.
zn,
5
4
α
3n + 1
n +3
n
ln(n!)
2. Retrouver par un produit de Cauchy la relation vraie pour tout réel x :
cos(2x) = 2 cos2 (x) − 1.
3. On considère l'équation diérentielle x(x − 1)y 00 − xy? + y = 0.
Trouver toutes les solutions développables en série entière en zéro de cette
équation diérentielle. Calculer la somme de chacune de ces solutions.
Y a-t-il des solutions à cette équation diérentielle non développables en série
entière en zéro ?
4. Rayon de convergence et somme de
X
n
xn
(2n + 1)!
5. Rayon de convergence et somme de
X ch(n)
n
xn
6. Σan z n est une série entière de rayon de convergence R > 0.
Déterminer le rayon de convergence des séries suivantes :
4
|an | n X
z ;
|an | 5 z n .
1 + |an |
P
7. α ∈ R. Rayon de convergence de Arctan(nα )xn . Etude aux bornes.
P
n
8. aX
n z a un rayon de convergence R > 0. Déterminer le rayon de convergence
an n
de
z
n!
9. On dénit une suite par son premier terme a0 > 0 et la P
relation : ∀n ∈ N,
an+1 = ln(1 + an ). Déterminer le rayon de convergence de
an z n .
Σan z 3n ;
X
10. Déterminer le rayon de convergence et calculer la somme des séries entières
suivantes :
X 3n
X 2n + 1
X
n
xn
xn
xn
n+2
2n − 1
(2n + 1)!
cos 2nπ
3
.
11. Pour tout n : an =
n + cos 2nπ
3
P
Rayon de convergence de an xn . Étude aux bornes de l'ouvert de converX
xn
(n2 + 7n + 12)
gence.
12. Trouver le rayon de convergence de
X
1
1
1 + + ··· +
2
n
xn et calculer sa
somme.(On pourra utiliser un produit
Xde Cauchy).
Trouver le rayon de convergence de
ln(n)xn et calculer sa somme
13. Étudier le rayon de convergence et déterminer la somme des séries entières
suivantes :
Séries entières
PC*
+∞
X
n−3
n=0
n!
xn ;
+∞
X
(n + 1)(n − 2)
n!
n=0
xn ;
+∞
X
n=1
2015 − 2016
+∞
X
x2n+1
x2n
;
(−1)n+1 2
.
n(2n + 1) n=0
4n − 1
14. a, b sont deux réels avec 0 < a < b. On dénit une suite (un ) par :
si n est un entier
un = an et un = bn sinon. Déterminer le rayon de
P pair,
convergence de un xn .
15. Développer en série entière :
2
x 7→ ln(x − 5x + 6) x 7→ arctan
x sin α
1 − x cos α
, α 6≡ 0[π] x 7→ e−x sin x
16. Déterminer le développement en √
série entière
au voisinage de 0 de la fonction
!
2x
.
1 − x2
X 3n xn
Rayon de convergence et somme de
n+2
Déterminer le rayon de convergence de Σan z n dans les cas suivants :
n2
Z 2n
n Y
et
1
1
an = 1 +
; an =
1+
; an =
dt ;
2+1
n
k
+
1
t
n
k=0
an est le reste de la division euclidienne de n par 3.
X
e−nx
(−1)n
Convergence et somme de la série de fonctions
n
n>1
Z x
Développer en série entière F (x) =
e−t cos(t)dt. En déduire l'expression
Z 01
sous forme de somme d'une série de
e−t cos tdt
0
Z 1
Calculer, pour tout entier n, l'intégrale In =
un (1 − u)n du. En déduire le
f dénie par : f (x) = Arctan
17.
18.
19.
20.
0
rayon de convergence et la somme de
X
(n!)2
xn .
(2n + 1)!
+∞ X
n+p n
21. Soit p un entier et Sp (x) =
x . Déterminer le rayon de convergence
p
n=0
de cette série entière. Déterminer la somme en étudiant (1 − x)Sp0 (x) .
22. (an )n∈N est
Comparer les rayons de convergence des deux séries
P unensuitePréelle.
2 n
entières an z et an z .
23. Rayon de
convergence, étude aux bornes, continuité, somme de la série entière
n
X
x
4n2 − 1
24. Développer en série entière x 7→ sin (αArc sin (x)) , α ∈ R.
25. f est une fonction de classe c∞ sur ] − R, R[, R > 0, à valeurs réelles telle que,
∀n ∈ N, f (n) soit positive sur [0, R].
Montrer que
X f (n) (0)
n!
xn converge sur ] − R, R[.