Chapitre 1 : Les nombres, leurs écritures

Chapitre 1 : Les nombres, leurs écritures. Equations-inéquations
I. Les ensembles de nombres
1) Les entiers :
Les entiers naturels : leur ensemble est noté I; N ={ 0 ;1 ;2 ;…}
O
On n s s’ ’e en n s se er rt t e en n p pa ar rt ti ic cu ul li ie er r p po ou ur r c co om mp pt te er r u un n n no om mb br re e d d’ ’o ob bj je et ts s, , c ce e s so on nt t l le es s p pr re em mi ie er rs s n no om mb br re es s d de e l l’ ’h hi is st to oi ir re e. .
Les entiers relatifs : leur ensemble est noté
Error!
={ ….-2 ;-1 ;0 ;1 ;2 ;…}
Ce sont les entier naturels n et leur opposé – n.
L
La a l le et tt tr re e z z e es st t l la a p pr re em mi iè èr re e l le et tt tr re e d du u m mo ot t a al ll le em ma an nd d Z Za ah hl l , , s si ig gn ni if fi ia an nt t n no om mb br re e d da an ns s c ce et tt te e l la an ng gu ue e. .
2) Les nombres décimaux sont les nombres dont la partie décimale qui a un nombre fini de chiffre.
Leur ensemble est noté ID = {
Error!
; avec a
Error!
et n
Error!
}
Exemple 5,421 =
Error!
; -5 =
Error!
;
Error!
ID
Les rationnels : leur ensemble est noté I;Q = {
Error!
; avec a
Error!
et b
Error!
* }
Exemple :
Error!
; 5,421 =
Error!
; -5 =
Error!
; 0 =
Error!
Remarque : tout nombre rationnel à une écriture périodique (une partie décimale qui se répète)
Exemple :
Error!
= 4, 72 72 72 … : 72 se répète, c’est la période. 5 = 5,000000 ; 0 est la période.
Remarque : x = 0,999999….. = 1 dem : 10 x – x = 9
3) Les réels : leur ensemble est noté I; R
Ce sont tous les nombres utilisés au collège :
 les rationnels
 les irrationnels ( non rationnels ) : 2 ;  ; cos 1° ;..( nous l’admettrons )
Les nombres réels sont tous les abscisses des points d’une droite graduée.
Cette droite est appelée « La droite réelle »
–3
–2
–1
0
1
2
3
–1,6
1/3
3
Classer les nombres suivants dans le bon
ensemble :
Error!
0,003 0 −593 −
Error!
2
Error!
58,2 −190,08
Error!
Error!
Error!
3 3
Error!
Error!
−
Error!
Error!
Méthode : commencer par simplifier
l’écriture des nombres.
3 appartient à I; N et à
Error!
. Tout élément de
Error!
est aussi un élément de
Error!
.
On dit que I; N est inclus dans
Error!
et on écrit :
Error!
Error!
De même : I; N
Error!
ID
Error!
IR
D’autres notations :
I; R+ est l'ensemble des réels positifs ou nuls
I; R* est l'ensemble des rationnels sauf zéro
I; N − {5} est l'ensemble des entiers naturels sauf 5
II Nature et écriture des nombres :
Dans le paragraphe, sauf avis contraire, on prendra n I; N.
La troncature
Définition :
I; R
I;Q
ID
Error!
I; N
Exercices : 1, 3, 7, 8 page 30 + 6 maison

La troncature à la précision 10-n d'un nombre décimal est obtenue en ne conservant que les n premiers
chiffres après la virgule.
Exemples :
Si x = 2,35787, alors
La troncature à la précision 10-3 est m = 2,357
L'arrondi
Définition :
L’ arrondi à 10-n près de x est le nombre décimal à n chiffres après la virgule le plus proche de x.
Pour les nombres positifs, on l’obtient à partir de la troncature de x avec le n ième chiffre après
la virgule augmenté de 1, si le suivant est égal à 5,6,7,8 ou 9.
Exemples :
L'arrondi de x = 1,56879 au millième est m = 1,569
L'arrondi de x = 1,56839 à 0,001 près est m = 1,568
Valeurs approchées à 10-n
Pour les nombres positifs, on prendra comme valeur approchée par défaut :la troncature
Pour les nombres positifs, on prendra comme valeur approchée par excès :la troncature + 10-n
Exemple :
Si x = 2,35737, alors
Une valeur approchée par excès à 10-3 près est m = 2,358
Une valeur approchée par défaut à 10-3 près est m = 2,357
L'écriture scientifique
Définition : Soit n
Error!
Tout réel x peut s'écrire sous la forme a x 10 n , où a est un nombre décimal tel que 1 a < 10 . Cette écriture
s'appelle l'écriture scientifique de x.
Exemples :
L'écriture scientifique de 345,78 est 3,4578 x 10 2
L'écriture scientifique de -0,0056 est – 5,6 x 10 - 3
Remarque :
Pour obtenir un ordre de grandeur d'un nombre décimal d : ( sert à vérifier les calculs « de tête » )
- On l'écrit en écriture scientifique : a x 10 n.
- On arrondi a à l'entier le plus proche.
- On conserve la puissance de 10.
Exemples :
300 est l’ordre de grandeur de 354,78
Ordre de grandeur de
Error!
=
Error!
Error!
3, 5 x 102 4 x 102 400.

A l'aide de votre calculatrice, remplir le tableau ci-dessous
Valeur
approchée
par excès
à 10-3 près
Valeur
approchée
par défault
à 10-3 près
Toncature
à la
précision 10-
2
Arrondi
à la
précision
10-4
65,76543
- 8,98554
Error!
2
Error!
Error!
Error!
3) Calculatrices et valeurs exactes
Avec la calculatrice :
1;0
99999 = 1,00001
1;0
99999 − 1,00001  0 !
Remarques :
 dès qu'une calculatrice n'est pas capable d'afficher la valeur exacte
d'un résultat, elle en affiche une valeur approchée sans prévenir !
Ex : 12, 13, 14 et 16 page
30

III) REGLES DE CALCUL
1) Avec la calculatrice :
00 =
Error!
=
Error!
=
Dans un calcul, il nous faudra donc toujours vérifier que :
 les dénominateurs sont non nuls
 les radicandes sont positifs ou nuls.
2) Puissances : (n  
CONDITIONS
REGLE
a 0
a 0
b 0
a0 = 1
a−n =
Error!
am × an = am + n
Error!
= am − n
(am)n = am × n
(ab)n = an bn
n
b
a
=
Error!
3) Racines :
CONDITIONS
REGLE
a  0 et b  0
a  0
a  0
a  0 et b  0
0 = 0
ab = a b
( )a2 = a
a2 = a
Error! = Error!
4) Quotients :
CONDITIONS
REGLE
b 0
b 0 et d 0
b 0 et d 0
b 0, c 0 et d 0
Error! = Error! =
− Error!
Error! + Error! =
Error!
Error! × Error! =
Error!
Error! = Error! ×
Error!
IV LES NOMBRES PREMIERS.
1. Définition- Propriété
 Il n'y a pas de règle avec am + an
 Il n'y a pas de règle avec a + b
p25 : 25, 28, 29, 31, 34
p29 : 73, 74, 76, 78, 79
p32 : 123, 125, 126, 128, 135, 138

Définition : Un entier naturel est dit premier s’il a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même
Remarque : tout nombre supérieur ou égal à deux admet au moins 2 diviseurs ( et lui-même) donc un nombre
premier n’en admet pas d’autre
Exemples : 6 =2x3 admet 2 (et 3) comme diviseur donc, il n’est pas premier .
1 n’est pas premier 0 n’est pas premier ( 0 = 0 x 5 )
Nombres premiers à connaître : 2 ;3 ;5 ;7 ;11 ;13
Propriété : pour savoir si un nombre x est premier, il suffit de chercher un diviseur
parmi les nombres premiers inférieurs ou égaux à x
Exemple : 71, 8² 71 9² ; on cherche donc à diviser 71 par 2,3,5 et 7
Critère d’Eratosthène : écrire une suite d’ entiers naturels commençant par 1, à partir de 1 : on ne raye pas
le prochain nombre (non rayé) mais tous ses multiples
2. Critères de divisibilités :
 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par : 0 ;2 ;4 ;6 ou 8
 Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par : 0 ou 5
 Donc un nombre est divisible par 10 s’il se termine par : 0
 Un nombre est divisible par 3 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 3
 Un nombre est divisible par 9 si la somme des chiffres qui le compose est divisible par 9
 Un nombre est divisible par 11 si la somme de ses chiffres d’indice impairs moins la somme de
ceux d’indice pair est divisible par 11
 Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres sont divisibles par 4.
 Un nombre qui s’écrit sous la forme abc est divisible par 7 si 2 a + 3b+c est divisible par 7
 Un nombre est divisible par 7 si son nombre de dizaines moins le double des unités est divisible
par 7 exemple : 113 : 13 - 2x3 = 7 donc 133 est divisible par 7.
3. Décomposition en facteurs premiers
Théorème : tout entier naturel non premier admet une décomposition en un produit de
nombres premiers dont certains peuvent être égaux. Cette décomposition est unique à
l’ordre près des facteurs.
Exemple décomposer 72 en facteurs premiers.
Méthodes : ( pour plus de clarté, on ordonne puis regroupe la décomposition)
 avec des diviseurs connus
72=9*8=3*3*2*4=3*3*2*2*2=23 * 32
 avec la méthode successives de nombres premiers :
72
36
18
9
3
1
2
2
2
3
3