MATHEMATIQUES POUR LA GESTION

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MATHEMATIQUES POUR LA GESTION
Chapitre 4 : Systèmes linéaires
I. Introduction :
1. Exemple :
On considère le système de 3 équations à 3 inconnus suivant :
S = 2x + y – z = 1
x + y + z = 0
x
Soit M la matrice dont les termes sont les coefficients du système c'est-à-dire :
M = 2 1 -1
1 -1 1
1 1 3
Soit X et Y, les vecteurs colonnes suivants :
X = x Y = 1
y 0
z 2
Avec ses notations, le système S peut s’écrire sous forme matricielle :
M x X = Y
2 1 -1 x 2x + y – z 1
1 -1 1 y = x - y + z = 0
1 1 3 z x + y + 3z 2
2. Définitions :
Tout système pouvant s’écrire sous forme matriciel s’appelle système linéaire.
La matrice M s’appelle matrice du système, le vecteur colonne X s’appelle
vecteur des inconnus, et le vecteur colonne Y s’appelle vecteur second membre.
3. Système de Cramer :
Soit S, un système linéaire de n équations et n inconnus, d’écriture matricielle
MX = Y
Si le déterminant de M ≠ 0, alors le système S est appelé système de Cramer
d’ordre n.

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Théorème admis :
Un système de Cramer admet 1 solution et une seule et cette solution est donnée
par : X = M-1Y
En effet :
MX = Y
Det M ≠ 0 donc M admet une matrice inverse M-1.
D’où :
MX = Y  M-1(MX) = M-1Y
(M-1M)X = M-1Y
InX = M-1Y
X = M-1Y
Remarque :
Pour résoudre un système de Cramer, une première méthode consistera à
déterminer la matrice inverse M-1 puis à calculer X = M-1Y
Exemple :
Det M = 2 det -1 1 – 1 det 1 -1 + 1 det 1 -1
1 3 1 3 -1 1
= 2 (-3 -1) -1 (3 + 1) + 1 (1 – 1)
= -8 -4 = -12 ≠ 0 donc système de Cramer.
On calcule M-1 = 1/3 1/3 0
1/6 -7/12 ¼
-1/6 1/12 ¼
On calcule X = 1/3 1/3 0 1 = 1/3
1/6 -7/12 ¼ 0 2/3
-1/6 1/12 ¼ 2 1/3
Le système admet une solution unique :
C’est le triplet (1/3 ; 2/3 ; 1/3)
x y z
Remarque :
La résolution du système précédent oblige à calculer la matrice inverse M-1. Une
autre méthode exposée au II. va nous permettre de résoudre le système sans
calculer M-1 mais à condition que le système soit de Cramer.

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II. Méthode de Cramer :
On se place dans le cas d’un système de Cramer d’ordre 3, de vecteur inconnu
X = x
y
z
La solution unique du système est donnée par x = (detx) / (det M)
y = (dety) / (det M)
z = (detz) / (det M)
Où detx est le déterminant de la matrice déduite de M en remplaçant la 1ère
colonne de M par le vecteur second membre Y.
dety est le déterminant de la matrice déduite de M en remplaçant la 2ème
colonne de M par le vecteur second membre Y.
detz est le déterminant de la matrice déduite de M en remplaçant la 3ème
colonne de M par le vecteur second membre Y.
Exemple :
M = 2 1 -1 Y = 1 det M = -12
1 -1 1 0
1 1 3 2
 x = (detx) / (det M)
det x = det 1 1 -1 = 1 det -1 1 - 0 det 1 -1 + 2 det 1 -1
0 -1 1 1 3 1 3 -1 1
2 1 3
donc x = (-4) / (-12) = (1/3)
 y = (dety) / (det M)
det y = det 2 1 -1 = 2 det 0 1 – 1 det 1 -1 + 1 det 1 -1
1 0 1 2 3 2 3 0 1
1 2 3
= 2 (0 – 2) – 1 (3 + 2) + 1 (1 – 0)
= -4 -5 + 1 = - 8
donc y = (-8) / (-12) = (2/3)
 z = (detz) / (det M)
det z = det 2 1 1 = 2 det -1 0 – 1 det 1 1 + 1 det 1 1
1 -1 0 1 2 1 2 -1 0
1 2 2
donc z = (-4) / (-12) = (1/3)

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Conclusion : La solution de (S) est (1/3 ; 2/3 ; 1/3)
III. Cas particulier d’un système tel que Det M = 0 :
Lorsqu’on a det M = 0 aucune des 2 méthodes précédentes est applicable et on
aura 2 solutions possibles :
- Soit le système n’admettra aucune solution.
- Soit il admettra une infinité de solutions.
Pour déterminer dans quel cas on se situe il faudra travailler sur le système par
opération sur les lignes.
Exemple 1 :
(S) –x + 3z = 1 -1 3 x = 1
4x – 12y = -2 4 -12 y -2
det -1 3 = 12 – 12 = 0
4 -12
(S) 4x – 12y = -4 (-4 x L1)
4x – 12y = -2
-4 ≠ -2 donc (S) n’admet aucune solution.
Exemple 2 :
(S) 6x – 2y + 4z = - 20 6 -2 4 x = -20
x + 3y + 4z = 0 1 3 4 y 0
-6x – 6y – 12z = 12 -6 -6 -12 z 12
det M = det 6 -2 4 = 0
1 3 4
-6 -6 -12
(S) = 6x – 2y +4z = 20
6x + 18y + 24z = 0
6x + 6y + 12z = -12
= 6x – 2y + 4z = -20
20y + 20z = 20 (L2 – L1)
8y + 8z = 8 (L3 – L1)

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= 6x – 2y + 4z = -20
y + z = 1 (/20)
y + z = 1 (/8)
= 6x – 2y + 4z = -20
y = 1 – z
= 6x + 6z = -18
y = 1 – z
= x = – 3 – z
y = 1 – z
Ce qui signifie que si z est donné, on peut calculer x et y, donc le système admet
une infinité de solutions, ce sont les triplets de la forme (– 3 – z ; 1 – z ; z) où z
appartient à IR.
Ainsi :
(– 4 ; 0 ; 1) est la solution de (S).
(– 5 ; 1 ; 2) n’est pas la solution de (S).