mathématiques

Classe : 4ème
MATHÉMATIQUES
Corrigé du devoir pour s’entraîner n°25
Date :
I- ALGÈBRE
1. J’exprime la consommation « y » en fonction de la distance parcourue « x ».
y = 0,08 x
2. Je complète le tableau de proportionnalité
Distance (km)
Consommation (L)
50
100
200
350
500
4
8
16
28
40
 0,08
3. Représentation graphique de la consommation (y) en fonction de la distance parcourue (x), pour « x »
compris entre 0 et 500
Consommation (L)
40
32 L
30
20
10
220 km
0
100
200
300
400
500
Distance (km)
4. Lecture graphique : :
 du nombre de litres d’essence nécessaires pour parcourir 400 km  32 L
 de la distance parcourue avec 17 litres d’essence.  220 km
5. Je calcule le nombre de litres d’essence nécessaires pour parcourir 400 km
Si x = 400 alors y = 0,08  400 = 32
Le nombre de litres d’essence nécessaires pour parcourir 400 km est donc de 32 L.
Je calcule la distance parcourue avec 17 litres d’essence
Si y = 17, alors 17 = 0,08 x et x = 17 : 0,08 = 212,5
La distance parcourue avec 17 litres d’essence est donc de 212,5 km
N
III- GÉOMÉTRIE
1. Figure
(C)
A
O
B
M
C
P
2. Par les données, la droite (BH) est perpendiculaire à la droite (AC) dans le triangle ABC
or, dans un triangle, la droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire à son côté opposé est une
hauteur
donc (BH) est la hauteur issue de B dans le triangle ABC.
3. a) * Par les données, M est le milieu du segment [BC] dans le triangle ABC
or, dans un triangle, si un segment relie un sommet au milieu de son côté opposé, alors c’est une
médiane
donc [AM] est la médiane issue de A dans le triangle ABC.
* Par les données, le triangle ABC est isocèle en A et par démonstration précédente, [AM] est la médiane
issue de A dans ce triangle
or dans un triangle isocèle la médiane issue du sommet principal est en même temps hauteur
donc la droite (AM) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC et par suite le triangle AMB est
rectangle en M.
3. b) Par démonstration précédente, la droite (BN) est la hauteur issue de A dans le triangle ABC et par suite le
triangle BNA est rectangle en N. Par les données (C) est le cercle de centre O, circonscrit au triangle ABN
3. c) or, dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l’hypoténuse
donc O est le milieu de [AB]
3. c) Par démonstration précédente, O est le milieu de [AB] qui est l’hypoténuse du triangle rectangle AMB
or, si un triangle est rectangle, alors le milieu de l’hypoténuse est le centre de son cercle circonscrit
donc O est le centre du cercle circonscrit du triangle rectangle AMB
Le cercle circonscrit du triangle AMB ayant le même centre et la même longueur de diamètre
(AB = 7,5 cm), il n’est autre que celui du triangle ANB, c’est à dire le cercle (C).
On peut donc affirmer que le point M appartient bien au cercle (C).
4. a) Par démonstration précédente le triangle CNB est rectangle en N et par les données BC = 12 cm
or dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de son côté adjacent sur
l’hypoténuse
donc cos C = Error! = Error!
4. b) * Par les données, BC = 12 cm et M est le milieu de [BC]. On a donc BM = MC = Error! = Error! = 6
cm
* Par démonstration précédente, AMC est rectangle en M, MC = 6 cm et par les données AC = 7,5 cm
or dans un triangle rectangle le cosinus d’un angle aigu est égal au quotient de son côté adjacent sur
l’hypoténuse
donc cos C = Error! = Error! = 0,8
4. c) Par calculs précédents cos C = Error! = 0,8, on a donc CN = 12  0,8 = 9,6 cm
4. d) Par démonstrations précédentes, le triangle BCN est rectangle en N, CN = 9,6 cm et par les données, BC =
12 cm
or dans un triangle rectangle le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés
donc BC2 = BN2 + NC2
122 = BN2 + 9,62
144 = BN2 + 92,16
BN2 = 144 – 92,16
BN2 = 51,84
BN = 7,2 cm
4. e) Par les calculs précédents, cos C = 0,8
Si cos C = 0,8 alors C  37° (arrondi au degré)
5. * Par les données, P est le symétrique de N par rapport à O
or si deux points sont symétriques par rapport à un point, alors celui-ci est le milieu du segment défini par
les deux premiers
donc O est le milieu de [NP]
* Par démonstrations précédentes, O est le milieu de [AB] et le milieu de [NP] dans la quadrilatère ANBP
or si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme
donc le quadrilatère ANBP est un parallélogramme
* Par démonstrations précédentes, ANBP est un parallélogramme et par les données, BNP = 90°
or si un parallélogramme a un angle droit, alors c’est un rectangle
donc ANBP est un rectangle.