Pythagore 2

EXERCICES SUR LA
RELATION DE PYTHAGORE
1) Calculez le périmètre et l’aire d’un losange dont la grande diagonale mesure 8 dm et dont la petite
diagonale mesure 60 cm.
2) Trouvez l’aire totale et le volume d’un cube dont la diagonale d’une de ses faces mesure 26 cm.
3) Voici un prisme droit à base triangulaire. Quelle est l’aire totale de ce solide sachant que la
mesure de sa hauteur est le double de la mesure de l’hypoténuse de sa base ? Et quelle est sa
capacité (en litres) ?
4) Un trapèze isocèle a les caractéristiques suivantes :
 Sa petite base mesure 8 cm
 Un de ses côtés obliques mesure 12 cm
 L’angle formé par l’autre côté oblique et la grande base mesure 30º.
Calculez le périmètre et l’aire de ce trapèze.
5) Quel est le périmètre d’un triangle rectangle dont un des angles mesure 60º et dont le côté opposé
à cet angle mesure 100 cm ?
60º
45m

Réponses :
1) Aire =
Error!
Par Pythagore : Hyp² = c
Error!
+ c
Error!
Donc :
Périmètre = 4c
=
Error!
c² = (
Error!
)² + (
Error!
)²
= 4 5
= 24dm² c² = 4² + 3² = 20dm
= 2400cm² c = 25 = 200cm
c = 5 dm
c = 50cm
2) Par Pythagore : Donc : ATcube = 6c² VTcube = c³
Hyp² = c2;1 + c2;2 = 6 18,385² = 18,385³
26² = c² + c² = 2028,049cm² = 6214,281cm³
676 = 2c²
338 = c²
18,385 = c
3) Puisque dans un triangle la somme des mesures des angles intérieurs est de 180º, l’angle
manquant à la base est de 30º (180º - 90º - 60º = 30º).
De plus, dans un triangle rectangle ayant un angle de 30º, la mesure de l’hypoténuse est le double
de la mesure de la cathète opposée à cet angle. Alors la mesure de l’hypoténuse de la base du
prisme est de 90 m (45 m 2 = 90 m).
Ensuite, par Pythagore on a : Hyp² = c2;1 + c2;2
90² = 45² + c2;2
8100 – 2025 = c2;2
6075 = c2
77,942 m  c2
Finalement, puisque la mesure de la hauteur du prisme est le double de la mesure de l’hypoténuse
de la base, elle mesure donc 180 m (90 m 2 = 180 m).
Donc : ATprisme = AL + 2AB Vprisme = AB h
= PB h + 2AB = (
Error!
) h
= (hyp + c1 + c2) h + 2 (
Error!
) = (
Error!
) 180
= (90 + 45 + 77,942) 180 + 2 (
Error!
) = 315665,100 m³
= 38329,560 + 3507,390 = 315 665 100 l
= 41836,950 m²

4) Voici la figure de départ :
Puisque le trapèze est isocèle, les deux côtés obliques ont la même mesure. De plus, les deux
angles opposés à ces côtés ont aussi la même mesure. Donc on a la forme suivante (h est la
hauteur du trapèze) :
Puisque dans un triangle rectangle ayant un angle de 30º, la mesure de l’hypoténuse est le double
de la mesure de la cathète opposée à cet angle, la hauteur de ce trapèze est de 6 cm
(12 cm  2 = 6 cm).
Par Pythagore : Donc : La mesure de la grande base est de 10,392 2+8 = 28,784 cm
Hyp² = c2;1 + c2;2
12² = 6² + c² Ptrapèze = 2 12 + 8 + 28,784 Atrapèze =
Error!
144 – 36 = c² = 60,784 cm =
Error!
 = c = 110,352 cm²
10,392 cm  c
5) Puisque dans un triangle rectangle ayant un angle de 30º, la mesure de l’hypoténuse est le double
de la mesure de la cathète opposée à cet angle, voici deux possibilités pour la figure :
Par Pythagore : Par Pythagore :
Hyp² = c2;1 + c2;2 Hyp² = c2;1 + c2;2
(2x)² = x² + 100² y² = (
Error!
)² + 100²
4x² - x² = 10000 y² -
Error!
= 10000
3x² = 10000
Error!
y² = 10000
x² =
Error!
y² = 10000 
Error!
x =
Error!
y =
Error!
x  57,735 cm y  115,470 cm
2x = 115,470 cm 
Error!
= 57,735 cm
Donc le périmètre du triangle est de 273,205 cm
8cm
12cm
30º
8 cm
12 cm
30º
12 cm
8 cm
30º
h
h
c
c
100 cm
Error!
y
30º
100 cm
x
2x
30º
OU