fiche élève - Mathématiques académie de Lille
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LA LÉGENDE DE L’ÉCHIQUIER I ) La légende de l’échiquier Voici une petite histoire, qui s’est déroulée en Égypte il y a longtemps et qui est aujourd’hui devenue une légende : « Il y a bien longtemps vécut en Égypte un pharaon. Il se mourrait d’ennui au fond de sa pyramide. En désespoir de cause, il envoya aux quatre coins du royaume et jusque dans les plus petits villages des messagers qui firent savoir que celui qui parviendrait à distraire le roi de sa mélancolie recevrait une somptueuse récompense. À quelques temps de là, un ambassadeur persan se présentait au pharaon. Dans un coffret, il apportait un jeu capable de divertir le pharaon. À peine celui-ci eût-il commencé à jouer aux échecs, car tel était le nom du jeu, qu’il ne put plus s’arrêter et tel était son enthousiasme qu’il promis au persan de lui accorder tout ce que ce dernier voudrait lui demander en guise de récompense. À la grande surprise des courtisans qui le prirent pour un sot, l’ambassadeur persan lui demanda modestement que l’on veuille bien lui accorder un grain de blé sur la 1ère case de l’échiquier, deux grains sur la 2ème case, quatre sur la 3ème case et ainsi de suite en doublant le nombre de grains à chaque fois jusqu’à la 64ème case qui est la dernière du jeu. Le pharaon accepta volontiers, étonné même par cette récompense « modeste ». Il ordonna donc au Grand Trésorier de réunir cette quantité de blé. » Nous allons tenter, à l’aide des mathématiques, de savoir si le persan a été trop modeste ou si le pharaon aurait dû faire un peu plus de mathématiques ! II ) Visualisation du nombre de grains de blés sur chaque case de l’échiquier à l’aide d’un tableur On appelle échiquier le terrain du jeu d’échecs. En voici un représenté ci-dessous : L’échiquier est un carré comportant 8 colonnes et 8 rangées. Chaque colonne est repérée par une lettre : a, b, c, d, e, f, g ou h. Chaque rangée est repérée par un nombre : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 ou 8. Chaque case de l’échiquier est l’intersection d’une colonne et d’une rangée. Etant donné les similitudes qu’il existe entre les cases d’un échiquier et les cellules d’un tableur, nous allons créer une feuille de calcul permettant de visualiser rapidement et efficacement le nombre de grains de blés sur chaque case de l’échiquier. 1) Combien de cases comporte un échiquier ? ………………………………………………………………. 2) Ouvrir une feuille de calcul Excel, indiquer puis effectuer un programme de construction permettant d'obtenir le nombre de grains de blé sur chaque case de l'échiquier. On présentera la production finale sous la forme d'un échiquier. (8 rangées et 8 colonnes) ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... ...................................................................................................................................................................................... III ) Analyse de la feuille de calcul Observer attentivement la feuille de calcul pour répondre aux questions suivantes : 1) Répondre à l’aide d’un nombre puis à l’aide d’une puissance de 2 : Combien de grains seront posés sur la 3ème case ? ................................................................. Combien de grains seront posés sur la 4ème case ? ................................................................. Combien de grains seront posés sur la 5ème case ? ................................................................. 2) Compléter : Il y a …… = 2….. grains de blé sur la 2ème case. Il y a …… = 2….. grains de blé sur la 1ère case. Rappeler 2 propriétés des puissances que l’on vient d’utiliser : .................................................................................................. 3) Sur une même colonne, par quelle opération peut-on passer d’une cellule à celle au-dessous ? .............................. [On pourra cliquer sur une cellule pour y observer la formule rentrée] Sur une même colonne, par quelle opération peut-on passer d’une cellule à celle au-dessus ? ......................................... 4) Compléter : sur la 7ème case, il y a …… = 2….. grains de blé. Or, il y a ……………..….. = 2…. fois plus de grains de blé sur la 7ème case que sur la 12éme. En déduire en utilisant une formule sur les puissances le nombre de grains de blé sur la 12ème case à l’aide d’une puissance de 2 : .............................................................................................................................................................. 5) Dans la cellule E3, le tableur a affiché un résultat approché au moyen d’une notation qui lui est propre. Ecrire en langage mathématique ce que signifie cette notation puis en donner le nom : ...................................................................................................................................................................................... En déduire un ordre de grandeur de ce nombre : ........................................................................................................ IV ) Calcul du nombre total de grains de blé sur l’échiquier 1) En utilisant le tableur A l’aide du tableur, nous pouvons trouver le nombre total de grains de blé posés sur l’échiquier. Pour cela, dans la cellule A10, entrer la formule =SOMME(A1:H8) et noter le résultat affiché : .................................. Cette valeur est-elle une valeur exacte ? .......................................................................................................................... 2) En utilisant le calcul littéral a) Une conjecture Calculer le nombre total de grains de blés sur les 4 premières cases de l'échiquier puis montrer qu'il vaut 2 4 Calculer le nombre total de grains de blés sur les 5 premières cases de l'échiquier puis montrer qu'il vaut 2 5 Conjecturer alors le nombre total de grains de blé sur les 64 cases de l'échiquier : .................................................... b) Une démonstration possible 1 2 3 4 5 …… 63 64 Numéro de la case ….. ….. ….. ….. ….. ….. 2 2 2 2 2 2 2 Nombre de grains de blé Compléter le tableau ci-dessus puis écrire le nombre total de grains de blé posés sur l’échiquier par une somme S de puissances de 2 : (dans cette expression, on indiquera des points de suspension pour ne pas tout écrire) S = …... + …... + …... + ……………………. + …... + …... Donc 2 S = 2 ( …... + …... + …... + ……………………. + …... + …... ) Donc 2 S = …….... + ………. + ………. + ……………………. + …….... + …..….. Donc 2 S = …….... + ………. + ………. + ……………………. + …….... + …..….. D’où 2 S S = ( …. + …. + .... + ………………. + .... + …. ) ( …. + …. + .... + ………………. + .... + …. ) On a donc :….. = …………………………………………………………………………………………………… Conclusion : .…. = …………. Quel est l’intérêt de ce résultat par rapport à celui obtenu par tableur ? 3) Application a) Sachant qu’en moyenne 100 grains de blé pèsent 10 g, calculer approximativement la masse de blé que devrait recevoir l’ambassadeur persan. On donnera la réponse en grammes, en kilos puis en tonnes. b) Sachant qu’en moyenne le volume de 100 grains de blé est d’environ 5 cm3, calculer la hauteur de blé obtenue si on répartissait tous les grains uniformément sur la surface de la France qui compte 550000 km2. Que peut-on penser de la promesse du roi ? ..........................................................................................................
