arithmetique_97-2003

Chapitre 1 : Nombres entiers et rationnels
I) Natures des nombres
1. Les nombres entiers
a) Définitions
 Les nombres entiers naturels sont les nombres entiers positifs
 Les nombres entiers relatifs sont les nombres entiers positifs et les nombres entiers
négatifs.
b) Exemples
Les nombres tels que : 0 ; 1 ; 2 ; 3 sont des nombres entiers naturels
Les nombres tels que : -3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 sont des nombres entiers relatifs
c) Remarque
Tout entier naturel est un entier relatif, mais tout entier relatif n’est pas un entier
relatif. Par exemple ; -2 est un entier relatif mais n’est pas un entier naturel.
2. Les nombres décimaux
a) Définition
Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient d’un
entier relatif par une puissance de 10
b) Exemples
On peut écrire : ; et
Donc les nombres -0,18 ; 4 et sont des nombres décimaux.
En revanche ne peut pas s’écrire sous la forme d’un quotient d’un entier relatif par une
puissance de 10, n’est donc pas un nombre décimal.
c) Remarque
Tout entier relatif est un nombre décimal, mais tout nombre décimal n’est pas un entier
relatif. Par exemple, est un nombre décimal, mais n’est pas un entier relatif.
3. Les nombres rationnels
a) Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient de
deux entiers relatifs.
b) Exemples
sont des nombres rationnels
On peut écrire : et . Donc -12,9 et 8 sont des nombres rationnels.
c) Remarques
 Tout nombre décimal est un nombre rationnel, mais tout nombre rationnel n’est pas
un nombre décimal. Par exemple, est un nombre rationnel, mais n’est pas un
nombre décimal.
 Il existe des nombres qui ne sont pas rationnels, comme . Ces nombres sont appelés
des nombres irrationnels

II) Diviseurs, multiples et plus grand diviseur commun
1. Diviseurs et multiples
a) Définition
Soient n et m deux entiers relatifs avec m non nuls.
}
m divise n ;n est divisible par m ;n est un multiple de m ;m est un diviseur de n
signifie que
Exemples:
 15=53, 15 est divisible par 5 ; 5 divise 15 ; 5 est un diviseur de 15 ; 15 est un
multiple de 5.
 168 50 Donc : 168=503+18 (c’est l’égalité traduisant la division euclidienne)
- 150 3 Le reste n’est pas nul donc 50 ne divise pas 168
18
b) Rappel : critère de divisibilité
- Un nombre entier est divisible par 2 si son chiffre des unités est 0; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
- Un nombre entier est divisible par 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- Un nombre entier est divisible par 3 si la somme de ses chiffres qui le composent est
divisible par 3.
- Un nombre entier est divisible par 9 si la somme de ses chiffres qui le composent
est divisible par 9.
- Un nombre entier est divisible par 10 si son chiffre des unités est 0.
c) Remarques
- 1 est un diviseur de tous les nombres
- Tout nombre entier non nul est un diviseur de 0
2. Nombres premiers
a) Définition
On dit qu’un nombre entier naturel est premier lorsqu’il possède exactement deux
diviseurs positifs différents : 1 et lui-même.
b) Exemples
- Les seuls diviseurs positifs de 5 sont 1 et 5, donc 5 est un nombre premier
- Les seuls diviseurs positifs de 31 sont 1 et 31, donc 31 est un nombre premier
- Les seuls diviseurs positifs de 4 sont 1, 2 et 4, donc 4 n’est pas un nombre premier
c) Remarque
1 n’est pas un nombre premier car 1 n’admet qu’un seul diviseur positif égal à 1
le reste de la division euclidienne de m par n
est nul ; donc il existe un entier q tel que :
n = m  q

3. Plus grand diviseur commun à deux nombres entiers strictement positifs
a) Propriété 1
Parmi tous les diviseurs communs à deux nombres entiers strictement positifs a et b, il
en existe un qui est plus grand que tous les autres.
Le plus grand diviseur commun à a et b est noté : PGCD (a ; b)
Exemples :
 Trouver PGCD (48 ; 18)
48 = 1 48 18 = 1 18
48 = 2 24 18 = 2 9
48 = 3 16 18 = 3 6
48 = 4 12
48 = 6 8
Donc les diviseurs positifs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 et 48.
Et les diviseurs positifs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 et 18.
Les diviseurs communs de 48 et 18 sont : 1 ; 2 ; 3 et 6
Donc le plus grand diviseur commun à 48 et 18 est donc 6.
On écrit PGCD (48 ; 18) = 6
 Trouver PGCD (80 ; 76)
b) Remarques
- Si a est un multiple de b alors PGCD (a ; b) = b
- PGCD (a ; a) = a
- PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a)
- PGCD (a ; 0) = a
c) Propriété 2
Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs (avec a > b)
PGCD (a ; b ) =PGCD (b ; a – b)
Exemple : recherche d’un PGCD à l’aide de l’algorithme des soustractions successives
Calculer PGCD (182 ; 117)
On utilise la propriété 2 : PGCD (a ; b ) =PGCD (b ; a – b)
182 – 117 = 65 d’où PGCD (182 ; 117) =PGCD (117 ; 65)
117 – 65 = 52 d’où PGCD (117 ; 65) =PGCD ( 65 ; 52)
65 – 52 = 13 d’où PGCD (65 ; 52) =PGCD (52 ; 13)
52 – 13 = 39 d’où PGCD (52 ; 13) =PGCD (13 ; 39) = PGCD (39 ; 13)
39 – 13 = 26 d’où PGCD (39 ; 13) =PGCD (13 ; 26) = PGCD (26 ; 13)
26 – 13 = 13 d’où PGCD (26 ; 13) =PGCD (13 ; 13)
Or PGCD (13 ; 13) = 13 donc PGCD (182 ; 117) = 13
d) Propriété 3

Soient a et b deux nombres entiers strictement positifs (avec a > b) et soit r le reste de la
division euclidienne de a par b.
PGCD (a ; b ) =PGCD (b ; r)
Exemple : recherche d’un PGCD à l’aide de l’algorithme d’Euclide
Calculer PGCD (182 ; 117)
On utilise la propriété 3 : PGCD (a ; b ) = PGCD (b ; r)
182 = 117 1 + 65 d’où PGCD (182 ; 117) =PGCD (117 ; 65)
117 = 65 1 + 52 d’où PGCD (117 ; 65) =PGCD (65 ; 52)
65 = 52 1 + 13 d’où PGCD (65 ; 52) =PGCD (52 ; 13)
52 = 13 4 + 0 d’où PGCD (52 ; 13) =PGCD (13 ; 0)
Or PGCD (13 ; 0) = 13 donc PGCD (182 ; 117) = 13
Remarque : le PGCD cherché est le dernier reste non nul
4. Nombres premiers entre eux
a) Définition
On dit que deux nombres sont premiers entre eux lorsque leur plus grand diviseur
commun est égal à 1.
b) Exemple
Les nombres 48 et 35 sont premiers entre eux.
En effet, les diviseurs positifs de 48 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 8 ; 12 ; 16 ; 24 ; 48 et les
diviseurs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35. Le plus grand diviseur commun à 48 et 35 est 1.
III) Fraction irréductible
1. Définition
Soient deux nombres entiers strictement positifs a et b.
On dit que la fraction est irréductible lorsque a et b sont premiers entre eux.
Exemple
On a vu précédemment que 48 et 35 étaient premiers entre eux.
Donc et sont deux fractions irréductibles
2. Propriété 3
Soient deux nombres entiers strictement positifs a et b.
Pour obtenir la fraction irréductible égale à la fraction , il suffit de diviser a et b par leur
plus grand diviseur commun.
Exemple
On a vu précédemment que PGCD (182 ; 117) = 13. On a .
est la fraction irréductible égale à