Loi universelle de la gravitation

Loi universelle de la gravitation
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La loi de la gravitation, ou loi de l'attraction universelle, découverte par Isaac Newton,
est la loi décrivant la gravitation comme une force responsable de la chute des corps et du
mouvement des corps célestes, et de façon générale, de l'attraction entre des corps ayant
une masse, par exemple les planètes, les satellites naturels ou artificiels. Cet article
présente essentiellement les aspects de la mécanique classique de la gravitation et non pas
la relativité générale.
Expression mathématique selon Newton [modifier]
Deux corps ponctuels de masse MA et MB s'attirent avec une force proportionnelle à
chacune des masses, et inversement proportionnelle au carré de la distance qui les sépare.
Cette force a pour direction la droite passant par le centre de gravité de ces deux corps.
La force exercée sur le corps B par le corps A est vectoriellement donnée par
où G est la constante gravitationnelle, elle vaut dans les unités SI, le CODATA de 2006.
,
est un vecteur de longueur unité allant de A vers B. Le signe − (moins) dans
l'expression de la force signifie que la force est attractive, allant dans le sens
opposé au vecteur unitaire .
Énergie potentielle de gravitation [modifier]
Voici le calcul menant à l'expression de l'énergie potentielle de gravitation d'un corps de
masse m à une distance R d'un corps de masse M produisant le champ de gravitation :

Δ
D'où :
Cette formule est très apparentée à celle de l'électrostatique, qui est issue de la loi de
Coulomb (qui est simplement la loi de gravitation universelle traduite en électricité).
Ainsi, tous les calculs de gravimétrie sont translatables en électrostatique et
réciproquement, ce qui est une économie de pensée considérable.
Énergie potentielle d'une sphére homogène [modifier]
Soit un corps sphérique de rayon R et de masse volumique uniforme ρ.
On peut démontrer que son énergie potentielle interne Upotentielle est égale à :
Démonstration rapide
Nous voulons calculer l'énergie potentielle d'une coquille sphérique d'épaisseur dr située
à la distance r.
Avec
On construit la sphère à partir de coquilles sphériques d'épaisseur dr superposées de r=0
jusqu'à r=R.

Histoire de la découverte de la force de gravitation [modifier]
Travaux antérieurs à Newton [modifier]
Chargé par Tycho Brahe d'étudier le mouvement des planètes, Johannes Kepler écrit ses
conclusions dans l'ouvrage « Astronomia nova » où sont indiquées trois lois que vérifie le
mouvement des planètes et des astres, ces lois seront par la suite appelées « lois de
Kepler ». Dans « Harmonice Mundi », Kepler écrivit : « C'est comme si une force émane
du Soleil ». Il y étudia la piste d'une force magnétique.
Sur ces bases, à partir de la 3eme loi de Kepler, Isaac Newton développa sa théorie sur la
gravitation.
Compatibilité de l'hypothèse Newtonienne avec la troisième loi de Kepler
[modifier]
On part de la 3e loi de Kepler :
Avec a, demi grand-axe, T période (année de l'astre), k constante de gravitation.
Cela se lit ainsi : pour chaque astre du système solaire, la pulsation moyenne d'un
astre au carré multiplié par la distance moyenne à l'astre central (le Soleil dans le cas des
planètes), le demi grand-axe, à la puissance 3, est identique et égale à k.
Dans le cas d'une orbite circulaire, la 3e loi de Kepler s'écrit :
Soit r, rayon de l'orbite circulaire,
Ou bien, en divisant les deux termes de l'équation par r2
Selon la loi fondamentale de la dynamique (seule la force de gravitation Fg est prise en
compte):
On connait l'accélération centrifuge, c'est
la circonférence de l'orbite circulaire est

C = 2πr
la vitesse tangentielle est donc
l'accélération centrifuge s'ensuit :
Puisque, en cas d'un orbite circulaire, la seule accélération est centripète, donc de même
intensité que l'accélération centrifuge, en travaillant en module, selon la loi fondamentale
de la dynamique, et la 3e loi de Kepler on a :
En posant k = G.Ms, avec G, constante de gravitation universelle et Ms, masse du soleil,
on obtient :
, loi de la gravitation reformulée par Newton.
Cela démontre que l'hypothèse d'une force agissant à distance entre objets massifs telle
qu'émise par Newton est compatible avec la 3e loi de Kepler, au moins pour des orbites
circulaires.
Retentissement de la découverte [modifier]
Isaac Newton en 1684 utilise pour la première fois cette loi dans le De motu corporum in
gyrum (sur le mouvement), mais pour des astres supposés ponctuels. Il est vraisemblable
qu'au cours de la rédaction de cet opuscule, en 1685, il réalise, avec joie, que sa loi
universelle est plus profonde car elle est « plus simple »[réf. nécessaire]. Il découvre que tout
en astronomie s'en déduit, et qu'il peut même appliquer sa loi à la pesanteur, unifiant ainsi
les deux nouveaux mondes de Galilée[réf. nécessaire] : la mécanique terrestre et la mécanique
céleste. Il demandera à Halley un délai pour mettre « tout ce fatras »[réf. nécessaire] au
propre : ce qui exigera de sa part un effort colossal. En 1687, paraîtront les Principia, qui
est un monument de la pensée humaine : des dizaines de théorèmes y sont démontrés,
montrant la voie pour la recherche du XVIIIe siècle. Pour la première fois, est mise
pleinement en acte la pensée de Galilée : le grand livre de la Nature peut s'expliquer par
les mathématiques. Ainsi peut-on considérer Newton comme le « fondateur de la
physique mathématique »[réf. nécessaire]. Tous ses rivaux (Hooke, Huygens , etc.) sont
relégués à l'avant Newton, un peu comme après 1905, on parlera de avant/après Einstein.

Mais cela n'est évidemment point vrai ; et Newton reprendra à son compte l'aphorisme de
Nicole Oresme :
« Si j'ai pu voir un peu au-delà, c'est que j'étais porté par des épaules de géants ». Il est
clair que la loi en 1/r² est déjà connue de Hooke, Halley[réf. nécessaire]; mais personne ne l'a
énoncée ainsi. Newton a surtout été acclamé pour sa reformulation des lois de Kepler ,
alors que c'est un théorème parmi bien d'autres.
Les Principia sont très difficiles à lire : il fallait pour suivre le cheminement de la pensée
de Newton comprendre « l'ultime raison »[réf. nécessaire], le 0/0 du calcul infinitésimal.
Newton s'en attribue l'invention, mais une polémique l'oppose à Leibniz sur ce sujet.
Leibniz en semble plutôt l'inventeur.
D'autre part, Newton franchit un Rubicon qui provoquera les tollés de l'élite scientifique
de l'époque : hypotheses non fingo, je ne feins pas d'hypothèse. Explicitement : je rétablis
en physique cette chose « interdite » depuis Aristote[citation nécessaire] : l'action « instantanée
à distance ». Les cartésiens refuseront cela, de même que, en Allemagne, Leibniz, qui
imagine un principe de rotation harmonique de l'éther (c'est-à-dire que l'éther tourne en
même temps que les planètes, selon les lois de Kepler, ce qui les charrient).
En conséquence, le temps de réception des travaux de Newton en France et en Allemagne
sera très long (presque 30 ans). Newton lui-même a essayé de trouver la cause de cette
attraction, en vain.
Vers 1900, on sait qu'il reste à expliquer un résidu dans la précession de la trajectoire de
la planète Mercure autour du Soleil. Einstein expliquera ces fameuses 43 secondes d'arc
par siècle, en inventant sa théorie de la gravitation appelée relativité générale en 1915. La
loi de Newton n'est qu'une approximation (très bonne) de la gravitation relativiste,
incapable de s'appliquer aux trous noirs, ni à la déviation de la lumière par la gravitation,
ou autres phénomènes observés au XXe siècle.
On découvrira ainsi qu'il existe trois autres forces fondamentales en physique :
 la force électromagnétique (courants électriques, aimants, ect.),
 l'interaction faible,
 l'interaction forte (cohésion des noyaux).
ces trois dernières forces fondamentales pouvant être unifiées.