DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE

DROITES REMARQUABLES DU TRIANGLE
I- Médiatrices et hauteurs
1. Définitions
a. Médiatrices
b. Hauteur
La médiatrice d'un côté d'un triangle est la
droite coupant ce côté perpendiculairement
en son milieu.
Exemple
La droite rouge est la médiatrice de [BC]
La hauteur relative à un côté d'un triangle
est la droite perpendiculaire à ce côté pas-
sant par le sommet opposé.
Exemple
La droite (BB") est la hauteur relative au côté
[AC] (ou encore «issue du sommet B»). Le point
B" est appelé le pied de la hauteur.
2. Propriétés
a. Concourance des médiatrices
Propriété 1 : les trois médiatrices des côtés d'un triangle sont concourantes.
Propriété 2 : le point d'intersection des médiatrices des côtés d'un triangle est le centre du cercle
circonscrit à ce triangle.
Exemples
Les trois angles du triangle ABC sont aigus : le
centre O du cercle circonscrit est dans le triangle.
Le triangle EFG possède un angle obtus en E : le
centre O est à l'extérieur du triangle.
b. Concourance des hauteurs

Propriété : les trois hauteurs relatives aux côtés d'un triangle sont concourantes.
Définition : le point d'intersection des trois hauteurs d'un triangle est appelé l'orthocentre du
triangle.
Exemples
Les trois angles du triangle ABC sont aigus : l'or-
thocentre H du triangle est dans le triangle.
Le triangle EFG possède un angle obtus en E :
l'orthocentre H est à l'extérieur du triangle.
Remarque : les hauteurs relatives aux cotés [GE] et
[FE] sont tracées après prolongement des ces côtés.
II- Médianes et bissectrices
1. Définitions
a. Médianes
b. Bissectrices
La médiane issue d'un sommet d'un triangle
est la droite passant par ce sommet et par le
milieu du côté opposé.
Exemple
La droite (AA') est la médiane issue de A (ou
«relative au côté [BC] »).
La bissectrice d'un angle d'un triangle est la
droite qui le partage en deux angles égaux.
Exemple
La demi-droite [Ax) est la bissectrice de l'angle
de sommet A.
2. Propriétés
a. Concourance des médianes
Propriété 1: les trois médianes issues des sommets d'un triangle sont concourantes.

Définition : le point d'intersection des trois médianes d'un triangle est appelé le centre de gravité
du triangle.
Propriété 2: les médianes étant considérées comme des segments, le centre de gravité est situé
aux deux tiers de chacune en partant du sommet dont elle est issue.
Exemple
• Les médianes (AA'), (BB') et (CC') se coupent en
G, le centre de gravité de ABC.
• G est situé au deux tiers de [AA'] en partant de A ;
on peut le traduire par plusieurs égalités :
AG=
2
3
AA', ou AG=2GA', ou GA'=
1
2
AG.
• Remarque : le centre de gravité d'un triangle est
toujours à l'intérieur de celui-ci.
b. Concourance des bissectrices
Propriété 1 : les trois bissectrices des angles d'un triangle sont concourantes.
Propriété 2 : le point d'intersection des bissectrices des angles d'un triangle est le centre du
cercle inscrit dans ce triangle.
Exemple
A
BC
I
C ’
J
K
L
x
y
z
• Les bissectrices [Ax), [By) et [Cz) se coupent en I,
le centre du cercle inscrit dans le triangle ABC.
• Ce cercle C ' est tangent aux trois côtés du triangle
en J, K et L.
• Les rayons [IJ], [IK] et [IL] ne sont pas (en géné-
ral) confondus avec les bissectrices.
III- Dessin récapitulatif
Le dessin ci-dessous récapitule la construction des quatre types de droites remarquables dans un
même triangle ABC. En rouge les médiatrices, en violet les hauteurs, en bleu les médianes et en vert les
bissectrices.
On notera que les points H, G et O sont alignés, mais que I fait bande à part. Il en va ainsi dans tous
les triangles. On a même une propriété remarquable de cet alignement : HG=
2
3
HO !