TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES

1 CAP 25 octobre 1999
PhG-Maths
A
y
C
B
x
TRAVAUX GÉOMÉTRIQUES - LES TRIANGLES
I- Somme des angles d'un triangle
Construire un triangle ABC tel que B = 65°, C = 45° et BC = 6 cm.
Noter et numéroter les étapes de la construction
Mesurer l'angle BAC au rapporteur
Effectuer la somme des 3 angles du triangle ABC
Construire un triangle ABC isocèle en A tel que A = 70° et AB = AC = 5 cm.
Noter et numéroter les étapes de la construction
Mesurer les angles B et C au rapporteur
Effectuer la somme des 3 angles du triangle ABC
Démonstration : on considère un triangle ABC quelconque et une droite (xy) passant par A
et parallèle à la droite (BC).
Les angles ABC et xAB sont alternes-internes : ABC = xAB.
Les angles ACB et CAy sont alternes-internes : ACB = CAy
La valeur d'un angle plat est 180°. D'où xAB + BAC + CAy = 180°
On en déduit que : ABC + BAC + ACB = 180°
La somme des mesures des angles d'un triangle est égale à 180°.
II- Aire d'un triangle
Exécuter le programme de construction suivant :
- Tracer un segment [BC] de longueur 7 cm ;
- Placer le point H sur ce segment tel que BH = 4 cm ;
- Tracer la perpendiculaire à la droite (BC) passant par H ;
- Placer le point A sur cette perpendiculaire tel que AH = 3 cm.
Déterminer l'aire du triangle ABC.
Calculer cette aire.
Tracer la médiane (AA') issue de A passant par A' le milieu du segment [BC].
Calculer les aires des triangles ABA' et AA'C. Que remarquez-vous ?
Tracer les deux autres médianes (BB') et (CC') du triangle ABC.
Quelles égalités d'aires pouvez-vous écrire ?
Que pouvez-vous dire de ces trois médianes ?
Les aires des petits triangles sont égales à la moitié de celle du triangle ABC.
Les médianes sont concourantes en un point g, appelé centre de gravité du triangle.

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III- Triangles particuliers
Triangle isocèle
Un triangle qui possède un axe de symétrie est un triangle isocèle.
Dans un triangle ABC isocèle en A, l'axe de symétrie est :
médiatrice du segment [AB], hauteur issue de A, bissectrice de l'angle de sommet A et
médiane issue de A.
Le centre du cercle inscrit et le centre du cercle circonscrit sont sur l'axe de symétrie.
Triangle équilatéral
Programme de construction :
- construire un segment [AB] de 6 cm ;
- tracer deux demi-droites [Ax) et [By) ;
- construire la droite (Bz) symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (Ax) ;
- construire la droite (Aw) symétrique de la droite (AB) par rapport à la droite (Ay) ;
- nommer C le point d'intersection des droites (Bz) et (Aw) ;
- mesurer les segments [AC] et [BC] ;
- comparer les mesures des côtés du triangle ABC et conclure.
Un triangle qui possède deux axe de symétrie est un triangle équilatéral.
En fait, ce triangle possède trois axes de symétrie. La condition "deux axes de symétrie"
est nécessaire et suffisante pour démontrer que le triangle est équilatéral.
Dans un triangle équilatéral, les trois axes de symétrie sont confondus avec les
médiatrices des côtés, les hauteurs et les médianes issues des sommets et les bissectrices
des angles.
Dans un triangle équilatéral, le centre du cercle circonscrit, l'orthocentre, le centre du
cercle inscrit et le centre de gravité sont confondus.
Triangle rectangle
Un des angles a pour mesure 90°.
Le côté opposé à l'angle droit est l'hypoténuse
Système de manœuvre d'une porte
Les extrémités A et B d'une tige rigide de longueur 6 cm sont guidées en translation
dans deux rainures perpendiculaires sécantes en O.
Une tige, nécessaire pour rigidifier l'ensemble, est articulée en O et en M le milieu de
la tige AB.
Faire le schéma de deux positions différentes de la tige AB.
Quelle est la nature du triangle AOB ?
Quel côté est l'hypoténuse ?
Que représente la droite (OM) pour le triangle AOB ?
La droite (OM) est la médiane issue de l'angle droit.
Mesurer dans les deux positions le segment [OM] et comparer sa valeur à AB.
La médiane issue du sommet de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse.
Comparer les mesures de AM, BM et OM et conclure.
Le centre du cercle circonscrit à un triangle rectangle est le milieu de l'hypoténuse.
Le cercle circonscrit au triangle rectangle a pour diamètre l'hypoténuse.
Quel est le lieu du point M ?

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Le point M décrit un quart de cercle.
Conséquences
Pour tout point M du cercle de diamètre [BC], on a BMC = 90°.
Si dans un triangle la médiane à un côté mesure la moitié de la mesure de ce côté,
alors ce triangle est rectangle.
Triangle rectangle isocèle
Deux côtés de même longueur d'où deux angles égaux de valeur 45°.
IV- Constructions
1- Construction de la perpendiculaire à une droite d en un point donné A de d
Tracer une droite d.
Tracer un cercle de centre O passant par le point A et qui recoupe la droite d.
Noter B le deuxième point d'intersection du cercle et de la droite d.
Construire B' le symétrique de B par rapport à O.
Tracer la droite (AB').
Justifier que les droites d et (AB') sont perpendiculaires.
Le point A est un point du cercle de diamètre [BB'] donc l'angle BAB' est un angle droit.
2- Construction des hauteurs d'un triangle
Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm et tel que l'angle A soit aigu.
Tracer le cercle de diamètre [BC].
Placer les points d'intersection I et J de ce cercle et du triangle ABC.
Mesurer les angles BIC et BJC.
Tracer les droites (BJ) et (CI) et placer leur point d'intersection H.
Que représentent ces droites et ce point pour le triangle ?
Vérifier que (AH) est perpendiculaire à (BC).
Reprendre le même travail pour un angle A obtus.