Dénombrements

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Dénombrements
Chapitre 1
Des ensembles particuliers d’entiers
Le nombre d’éléments d’un ensemble fini (5 minutes) ........................................ 2
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers (3 minutes) ................................ 3
Exemples d’intervalles d’entiers (3 minutes) ........................................................ 4
Exercices de « prise en main » 1, 2, 3, 4(6 minutes)............................................. 5
La somme des n premiers entiers naturels (3 minutes) ......................................... 6
La somme des entiers d’un intervalle (3 minutes) ................................................ 7
Exercices de « prise en mains » 5, 6, 7(10 minutes) ............................................. 8
Solution des exercices 6 et 7(10 minutes) ............................................................. 9
Solution des exercices 6 et 7(10 minutes) ............................................................. 9
Amusement (3 minutes) ...................................................................................... 10
Somme quadratique des entiers d’un intervalle (6 minutes) .............................. 11
L’ensemble des diviseurs (6 minutes) ................................................................. 12
Nombres Premiers (4 minutes) ............................................................................ 13
Règle pour vérifier qu’un nombre est premier (4 minutes) ................................ 14
Tout le monde connaît cela !

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Le nombre d’éléments d’un ensemble fini (5 minutes)
On considère que l’on sait ce que veut dire « E est un ensemble fini » et « n est
le nombre des éléments de l’ensemble fini E ».
Le nombre d’éléments d’un ensemble E fini est un entier naturel souvent
noté
.E
N désigne l’ensemble des entiers naturels: N
......3;2;1;0
N* désigne l’ensemble des entiers naturels non nuls
:
N*
.......;3;2;1
.
Z désigne l’ensemble des entiers naturels : Z
.....;3;2;1;0;1;2;3... 
Z, N* et N ne sont pas des ensembles finis.
Si E est vide alors
0E 
et si E n’est pas vide alors
.0E 
Parfois on sait que E est un ensemble fini mais on ne connaît pas la valeur de
l’entier
.E
Parfois on sait que E est un ensemble fini mais on ne connaît qu’une valeur
approximative de l’entier
.E
Si cette valeur approximative est m
.mE: 
Exemple
La masse d’un électron est
kg
30
1083,0 
. La masse moyenne d’une étoile est
évaluée à
.kg
30
102
Une galaxie contient à peu près 200 milliards d’étoiles et
l’Univers contient à peu près
12
103
galaxies.
Soit E l’ensemble des électrons de l’Univers
.
84
10E: 
Exercice rapide
1) Vérifier que l’Univers contient à peu près
84
10
électrons.
2) Convertir 15 milliards d’années en secondes (donner le résultat sous la forme
.)
n
10p
3) La vitesse de la lumière est 300000 km par seconde ; quel est le nombre de
calculs effectués par un ordinateur cadencé à
GHz1
pendant que la lumière
parcourt 6 mètres ?

3
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers (3 minutes)
Notation
Si
a
Z et
a
Z
b;a:
désigne l’ensemble des entiers relatifs u tels que
.bua 
Si
ba 
alors
b;a
est vide
.0b;a:alorsbasi:
Si
ba 
alors
b;a
n’est pas vide
.0b;a:alorsbasi:
Vocabulaire
On dit souvent : «
b;a
est un intervalle d’entiers ».
Remarque
La notation
b;a
désigne l’ensemble de tous les nombres réels x tels que
bxa 
Ainsi :
4;2
n’est constitué que des 3 entiers 2, 3 et 4 alors que
4;2
est
constitué d’un nombre infini d’éléments par exemple appartient à cet
ensemble.
Notation plus visible mais peu rigoureuse
...etcb;1a......;;1a;ab;ab,......ab;a 
Le nombre d’éléments d’un intervalle d’entiers
Propriété (à ne jamais oublier)
1abb;a:alorsbaSi 
Ne jamais oublier
1
b;1b.....;;1a;ab;a 
L’ensemble
b;1b.....;;1a;a 
contient
1ab 
nombres.
L’ensemble
pa;1pa.....;;1a;a 
contient
1p 
nombres.

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Exemples d’intervalles d’entiers (3 minutes)
L’ensemble
nn;n 
contient
11nn 
nombre.
L’ensemble
 n;1n
n;1n 
contient
21)1n(n 
nombres.
L’ensemble
9;0
9......;.1;0
contient 10 nombres.
L’ensemble
n;0
n......;;.1;0
contient
1n 
nombres si
n
N.
L’ensemble
147;53
147;146......;;.54;53
contient
153147 
nombres.
L’ensemble
 147;53
147;146..;;.52;53 
contient
153147 
nombres.
La construction d’un intervalle d’entiers avec un nombre prévu d’éléments
On connaît l’entier n, quel doit être la valeur de l’entier a pour que le nombre
d’éléments de l’ensemble des entiers
n......;;1a;a 
soit p (avec
0p 
) ?
Réponse
.1pna:doncp1an 
Le nombre d’éléments de l’intervalle d’entiers
n......;;2pn;1pn 
est p.
pn;1pn 
(Avec
0p 
)
Exemples
Si
0p 
on trouve bien
.0n;1n 
Si
1p 
on trouve bien
.1n;n 
Si
:2p 
.2n;1n 
Si
:3p 
3n;1n;2nn;1n 
Exercice rapide
Quel doit être l’entier a pour que l’intervalle d’entiers
5......;;a
soit composé
de 10000 nombres ?
Réponse
.entiers10000decomposéest5;4.......;;9992;9993;9994:9994a 

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Exercices de « prise en main » 1, 2, 3, 4(6 minutes)
Exercice 1
1) Quel est le nombre d’entiers i qui vérifient
?100i100 
2) Quel est le nombre d’entiers j qui vérifient
?100j100 
3) Quel est le nombre d’entiers k qui vérifient
?100j100 
4) Quel est le nombre d’entiers s qui vérifient
?100s100 
Réponses (à vérifier)
1)201 2)200 3)200 4)199
Exercice 2
a
N*
1) Quel est le nombre d’entiers i qui vérifient
?aia 
2) Quel est le nombre d’entiers j qui vérifient
?aja 
3) Quel est le nombre d’entiers k qui vérifient
?aja 
4) Quel est le nombre d’entiers s qui vérifient
?asa 
Réponses (à vérifier)
1)
1a2 
2)
a2
3)
a2
4)
1a2 
Exercice 3
1) Donner en fonction des entiers N et k
N
le nombre de facteurs du produit
).1kN).......(2N)(1N(N 
2) Comment note-on ce produit si
?Nk 
3) Donner en fonction des entiers N et k
1N 
le nombre de facteurs du produit
).1kN)...(3N)(2N)(1N( 
4) Donner en fonction des entiers N et k
1N 
le nombre de facteurs du produit
).kN)...(3N)(2N)(1N( 
Réponses (à vérifier)
1)
kN;1kN 
2)
!N
3)
1k 
4) k
Exercice 4
Pour
1n 
Combien existe-t-il de nombre non nuls à n chiffres (écrits dans le
système décimal) ?
Appliquer le résultat à
.1n 
Réponses (à vérifier)
1n
10
n
10 
)9;8;7;6;5;4;3;2;19
0
10
1
10(