Calcul des rayons d`orbite r

Chimie
Quantification des niveaux d’énergie électronique
Introduction
Les limites du modèle planétaire.
D’après la mécanique classique :
(1)
l’électron devrait émettre un rayonnement (électromagnétique)
(2)
l’électron devrait être précipité sur le noyau
(3)
l’électron devrait émettre une radiation continue au fur et à mesure qu’il est « accéléré » vers
le noyau
Or
(1) l’atome n’émet pas de rayonnement spontanément
(2) Les atomes sont stables
(3) Les spectres d’émission des atomes sont discontinus
1910-1920 : Construction d’un nouveau modèle (Atome de Bohr) à partir des interactions
matière/lumière (ondes électromagnétiques).
{ Limiter l’énergie à des valeurs discrètes est ce que l’on appelle la quantification de l’énergie. }
1- Lumière et ondes électromagnétiques : caractère ondulatoire
Rappel sur les ondes :
Ex : onde dans l’eau = vague
Les ondes électromagnétiques n’ont pas besoin de matière
Description mathématique :
Onde sinusoïdale : φ= φ0 . sin (ωt)
Φ= φ0 . sin (k x)
 temps
 espace
Propagation à vitesse, C = 2,998 x108 m.s-1  célérité de la lumière (dans le vide)
(2ème schéma)
Les ondes électromagnétiques sont caractérisées par :
- une période T (en s)
- une fréquence ‫( ט‬en Hertz)
- une longueur d’onde λ (en m)
- un nombre d’onde σ (en m-1)
‫ = ט‬1/T
σ = 1/λ
‫ = ט‬c/λ
2- Le spectre électromagnétique
 spectre
Infra Rouge > visible > Ultra Violet
3- Lumière et ondes électromagnétiques : caractère corpusculaire
Postulat de Planck
(Max Planck, physicien allemand, 1858-1947, prix Nobel 1918)
● Echanges matière-rayonnement : Seules certaines valeurs d’énergie possibles.
La plus petite énergie échangeable est le quantum :
E=h‫ט‬
Avec ‫ט‬, la fréquence de la radiation émise ou absorbée (en Hz) et h, la constante universelle (
h=6,626 x10-34 J.s-1)
● Echanges d’énergétique avec les atomes :
- Absorption d’un rayonnement de fréquence ‫ט‬
 Energie augmentée de la quantité h‫ט‬
- Emission d’un rayonnement de fréquence ‫ט‬
 Energie diminuée de la quantité h‫ט‬
{
Planck explique notamment la distribution d’énergie observée expérimentalement en
supposant que les énergies permises d’un oscillateur électromagnétique de fréquence ‫ ט‬sont des
multiples entiers de h‫ ט‬: E = nh‫ ט‬n=0, 1, 2,…
h = constante de Planck }
4- L’effet photoélectrique : mise en évidence des photons
Effet photoélectrique : certains métaux soumis à des radiations UV émettent des
électrons à partir d’une certaine fréquence et indépendamment de l’intensité de la radiation.
ΔUR : potentiel retardateur
Conclusion expérimentale :
Schéma 1 : Plaque métallique sous lumière UV.
 Emission d’électrons
Schéma 2 : Electrons accélérés ou ralentis suivant le potentiel ΔU entre les plaques.
 Observation d’un courant d’intensité i
Les deux schémas :
Fréquence minimale ‫ט‬0 (ou seuil d’excitation) est fonction du métal.
E0 = h x ‫ט‬0
Si E > E0
C’est l’énergie minimum d’extraction de l’électron
, électrons éjectés avec énergie cinétique T
Interprétation :
Sur la plaque émettrice (A)
TA = E – E0 = h (‫ט – ט‬0 )
Si
Si
Au niveau de la plaque réceptrice (B)
TB – TA = e . ΔU
TB > 0 C’est à dire TA + e . ΔU > 0
TB →0 C’est à dire TA + e . ΔU = 0
Ceci s’observe pour ΔU = ΔUR
Le potentiel retardateur
TA = -e . ΔUR = h . (‫ט – ט‬0 )
i>0
i →0
ΔUR = - h/e . (‫ט – ט‬0 )
|ΔU| = f (‫ )ט‬est une droite
Coefficient directeur h/e
5- Double caractère corpusculaire et ondulatoire de la lumière
{
Le caractère corpusculaire du rayonnement électromagnétique : Le résultat expérimentale
démontrant qu’un rayonnement électromagnétique de fréquence ‫ ט‬ne peut posséder que les
énergies 0, h‫ט‬, 2h‫ט‬,… tend à prouver qu’il est constitué de 0,1,2,… particules ayant chacune une
énergie h‫ט‬. Ainsi, chaque particule présente possède une énergie égal à h‫ ; ט‬pour deux
particules, elle est 2h‫ט‬, etc. Ces particules du rayonnement électromagnétique sont appelées
des photons. Les raies des spectres des atomes et des molécules sont produites lorsqu’un atome
ou une molécule émet un photon d’énergie h‫ ט‬en perdant une quantité d’énergie ΔE = h‫ט‬
nombre de photon : N →N = E/(h‫)ט‬
On peut expliquer l’effet photoélectrique en supposant que le rayonnement incident est
composé de photons ayant une énergie proportionnelle à la fréquence du rayonnement.}
6- Spectre continus et discontinus Analyse spectrale
7- Les spectres atomiques
8- Le spectre de l’hydrogène
Johann Jakob Balmer (1825-1898), professeur de mathématiques suisse.
Manipulation des valeurs numériques :
→formule pour prévoir toutes les longueurs d’ondes.
● Les longueurs d’onde des raies sont liées par la relation :
1/ λ = RH (1/n21 – 1/n22 )
Formule de Balmer
λ : longueur d’onde (en m)
RH = 1,1 x107 m-1 = Constante de Rydberg
n1 et n2 sont des chiffres entiers et n2 > n1
● L’ensemble de ces raies a été classé en « séries » :
Lyman (n1 = 1 ; UV)
Balmer (n1 = 2 ; visible)
Paschem (n1 = 3 ; IR)
Brackett (n1 = 4 ; IR)
● Chaque série présente l’allure suivante (ici pour Balmer) :
La raie de tête est la raie de plus grande longueur d’onde, pour une série donnée.
Elle correspond à :
n2 = n1 + 1
1/ λ tête = RH ( 1/n21 – 1/(n1+1)2)
La raie limite est la raie de plus petite longueur d’onde pour une série donnée.
Elle correspond à :
n2 →∞
1/ λ lim = RH ( 1/n21)
9- Le modèle de Bohr
Niels Bohr, physicien danois (1885-1962, prix Nobel 1922)
Construction d’un modèle de l’atome :
- à partir du modèle planétaire
- intégrant la quantification (à l’aide de chiffres entiers)
Interprétation des spectres discontinus observés.
Explication pour la formule de Bohr.
Modèle planétaire
Force centrifuge
Force électrostatique
F1 = m _ = mv2/r
F2 = - 1/(4π ε 0) x e2/r2
v = vitesse de rotation
ε = charge e- et protons
a) Equilibre des forces : centrifuge/centripète :
mv2/r - 1/(4π ε 0) x e2/r2 = 0
Calcul de l’énergie totale E :
L’énergie cinétique T est : T = ½ mv2
m = masse de l’électron
L’énergie potentielle V ou Ep représente le travail de la force électrostatique pour amener
l’électrons de l’infini jusqu’à la distance d’équilibre r soit :
V = - 1/(4π ε 0) x e2/r2
L’énergie totale E = E cinétique + E potentielle
E = ½ mv2 - 1/(4π ε 0) x e2/r2
Or mv2/r - 1/(4π ε 0) x e2/r2 = 0
Equilibre des forces
E = ½ x 1/(4π ε 0) x e2/r2 - 1/(4π ε 0) x e2/r2 = - 1/(4π ε 0) x e2/2r2
E = - 1/(4π ε0) x e2/2r2
Energie de l’électron sur un orbite de rayon r.
b) Quantification du moment angulaire
c) Conséquences :
• il existe des orbites stables de rayon rn
• l’énergie E =Ec + Ep est quantifiée
Calcul des rayons d’orbite r
• quantification du moment angulaire
mvr = n h/(2 π)  (mvr)2 = (n h/(2 π))2 
mv2 = n2/(mr2) x (h/(2 π))2
• équilibre des forces
mv2/r = 1/(4π ε 0) x e2/r2
On remplace
mv2 = 1/(4π ε 0) x e2/r
Donc : 1/(4π ε 0) x e2/r = n2/(mr2) x (h/(2 π))2

r = (n2h2 ε 0)/(π me2) = n2 x a0
Le rayon de l’orbite r ne prend qu’un certain nombre de valeurs, fonction de n2.
L’énergie E dépend de n, nombre entier.
On remplace r dans l’expression de E :
E = - 1/(4π ε 0) x e2/2 x (π me2)/(n2h2 ε 0)
En = - (me4)/(8n2h2 ε 02) = - A/n2
Que vaut la vitesse ?
mvr = n h/(2 π)
v = n h/(2 π) x 1/(mr)
v = n x h/(2 π) x 1/m x (m π e2)/(n2h2 ε 0) = e2/(2h2 ε 0 n)
v = v0/n
En conclusion :
Voir feuille
Résumé :
L’énergie de l’atome est quantifiée
En niveaux d’énergie où n, nombre entier (nombre quantique principale)
C’est niveaux d’énergie correspondent à des orbites stables.
Orbites stables :
Pas de rayonnement, distance au noyau. Constante proportionnelle à n2.
Orbite de rayon minimum est niveau d’énergie le plus bas possible : état fondamental (n=1)
Autres niveaux : états excités (n>1)
Changement d’énergie : sauts discontinus (transitions électroniques)
Variation d’énergie :
|ΔE| = h ‫ט‬
10- Interprétation des spectres atomiques
Transition électronique rayonnement émis ou absorbé.
• spectre d’absorption : raies sombres.
11- Les ions hydrogénoïdes
Modèle de Bohr : atome d’hydrogène H
Un électron autour du noyau chargé positivement (un proton)
Modèle applicable aux autres éléments de la classification périodique avec un électron
uniquement :
Ion hydrogénoïde
Un électron autour d’un noyau + Ze
Ex : He+ (Z=2), Li2+ (Z=3)
=ion hydrogénoïde
On les traite pareil que pour l’atome hydrogène.
• Modèle de Bohr pour les ions hydrogénoïdes
Expression de l’énergie totale
E = ½ mv2 – 1/(4π ε 0) x Ze2/r
 rn = (n2 a0)/Z
et
vn = Z/n v0
En = (-Z2 A)/n2
• Spectres d’émission des ions hydrogénoïdes
Couche d’électrons : k, l, m, n, o …
Equilibre des forces
mv2/r – 1/(4π ε 0) x Ze2/r2 = 0