doc - Edouard Lucas

SUR L’ANALYSE INDETERMINEE
DU TROISIEME DEGRE.
DEMONSTRATION DE PLUSIEURS THEOREMES
DE M. SYLVESTER.
PAR
EDOUARD LUCAS,
Professeur au Lycée Charlemagne, Paris.
EXTRAIT DE L’AMERICAN JOURNAL
OF MATHEMATICS PURE AND APPLIED
tome. 2, pag. 178-185.
BALTIMORE
1879

Sur l ’ Analys e i ndét erm i née du troi sièm e deg r é . — De-
monstration de plusieurs théorèmes de M. Sylvester.
PAR EDOUARD LUCAS.
SECTION 1.
L'ARITHMETIQUE DE DIOPHANTE renferme le premier exemple connu
d’Analyse indéter minée du troisème degré ; l'immortel auteur y pose, en ef-
fet, le problème de trouver deux nombres entiers ou fractionnaires, dont la
somme ou la différence de leurs cubes soit égale à la somme ou à la diffé-
rence des cubes de deux nombres donnés.
FERMAT a indiqué, le premier, un procédé qui permet de déduire, d'une
solution initiale, une série indéfinie de solutions nouvelles. Pour résoudre en
nombres entiers ou fractionnaires, l'équation
x3 + y3 = a3 + b3 ,
dans laquelle a et b sont donnés, il suffit de poser
x = a + zu, y = b + u ,
et de disposer de z , de manière à faire disparaître, après la substitution, la
première puissance de u. On trouve alors une relation de la forme
Au3+ Bu2 = 0 ,
qui permet de déterminer u par une équation du premier degré ; FERMAT
calcule ainsi x et y, et fait servir ces valeurs à la recherche de nouvelles so-
lutions, en nombre indéfini.
Nous remplacerons, dans ce qui suit, les inconnues rationnelles, par des
inconnues entières. Désignons par (x, y, z) une première solution, en
nombres, entiers, de l’équation
(1) x3 + y3 = Az3
nous obtiendrons une autre solution, par le procédé indiqué plus haut, au
moyen des formules
(2) X = x(x3 + 2y3), Y = – y(y3 + 2x3), Z = z(x3 – y3).

LUCAS, Sur l’Analyse indéterminée du troisième degré .
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On trouve ainsi, successivement, pour A = 9,
x1 = 2, x2 = 20, x3 = 1 88479, x4 = 12 43617 73399 00948 36481,
y1 = 1, y2 = – 17, y3 = – 36520, y4 = 4 87267 17171 43523 36560,
z1 = 1, z2 = 7 ; z3 = + 90391 ; z4 = 6 09623 83567 61372 97449 ;
Et, pour A = 28,
x1 = 3, x2 = 87, x3 = 632 84705, x4 = 18 92071 22047 02010 97176 90323 50335,
y1 = 1, y2 = – 55, y3 = 283 40511, y4 = – 15 01104.22682 05492 03687 05698 29391,
z1 = 1, z2 = 26; z3 = 214 46828; z4 = 4 94756 15518 27392 93262 16777 58432.
On observera que ces solutions croissent très-rapidement, et contiennent à
peu près quatre fois plus de chiffres, que la solution précédente.
On peut encore remplacer les formules (2) par les suivantes, qui n’en
diffèrent que par la forme. Désignons par (x, y, z) des nombres entiers qui
vérifient l'équation x3 + y3 = Az3 ,
nous obtiendrons des nombres entiers (X, Y, Z), tels que l’on ait
A
z
yx
Z
YX 
3
33
3
33
,
par les formules
222
,0 AZzYyXx
z
Z
y
Y
x
X
.
SECTION 2.
LAGRANGE ET CAUCHY ont étendu la méthode que nous venons
d’indiquer, à des équations du troisième degré beaucoup plus générales. Soit
l’équation
(3) Ax3 + By3 + Cz3 + 3Dxyz = 0 ;
On déduit d'une première solution (x, y, z), en nombres entiers, une autre
solution (X, Y, Z), par les formules
(4)
X = x( By3 – Cz3),
Y = y( Cz3 – Ax3),
Z = z( Ax3 – By3),
Ainsi l’équation x3 + 2y3 + 3z3 = 6xyz,
qui a pour solution immédiate x0 = y0 = z0 = 1
donne ensuite les solutions
x1 = 1,
y1 = – 2,
z1 = 1 ;
x2 = 19,
y2 = 4,
z2 = – 17 ;
x3 = 2 82473, . . .
y3 = – 86392, . . .
z3 = – 1 14427 ; . . .

LUCAS, Sur l’Analyse indéterminée du troisième degré .
180
Nous observerons que les formules (4) peuvent être remplacées par celles-ci
(5)
0,0 222  CZzBYyAXx
z
Z
y
Y
x
X
,
et conduisent à l’ident ité
Ax3(Ax3+2By3)3+By3(By3+2Ax3)3+27A2B2x6y6 = [A2x6+7Abx3y3+B2y6]2.
Cette identité fournit ainsi une série indéfinie de solutions de l’équation i n-
déterminée Au3 + Bv3 + A2B2w3 = t2.
On doit encore à CAUCHY, l’indication suivante.
1
Si (x0, y0, z0) et (x1, y1,
z1) désignent deux solutions distinctes de l’équation (3), on obtient une solu-
tion nouvelle au moyen des formules
X = By0y1(x0y1–x1y0) + Cz0z1(x0z1–z0x1) + D(
2
0
x
y1z1–
2
1
x
y0z0) ,
Y = Cz0z1(y0z1–y1z0) + Ax0x1(y0x1–x0y1) + D(
2
0
y
z1x1–
2
1
y
z0x0) ,
Z = Ax0x1(z0x1–z1x0) + By0y1(z0y1–y0z1) + D(
2
0
z
x1y1–
2
1
z
x0y0) ,
On peut remplacer ces formules par celles-ci :
(6)
0,0
,,,
,,,
,,,
101010
111
000
111
 zzZCyyYBxxXA
zyx
zyx
ZYX
.
Ainsi, par exemple, les solutions (x0, y0, z0) et (x2, y2, z2) de l’équation nu-
mérique, que nous venons de considérer, donnent
X = 143, Y = 113, Z = 71.
SECTION 3.
Les résultats précédents sont des cas particuliers de ceux que nous al-
lons indiquer. Soit l’équation du troisième d egré
(7) f (x, y, z) = 0 ,
d’une courbe en coordonnées rectilignes et homog ènes ; désignons par m1 un
point dont les coordonnées (x1, y1, z1) ont rationnelles, et qu'il est facile de
rendre entières ; on a ainsi un première solution, en nombre entiers, de
l’équation proposée. On obtient de nouvelles solutions, par l’un des trois
procédés suivants :
1°. Si l’on mène la tangente à la cubique en m1, cette droite rencontre la
1
CAUCHY.– Sur la résolution de quelques équations indéterminées – en nombres entiers. – Exer-
cices de Mathématiques, 1826, t. 1, pag. 256.