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Définition 6 : On appelle cône de sommet O toute partie C de E telle que (
x
C) (
> 0)
.x
C.
Du coup, C est un cône convexe ssi
(x, y)
C2 (
>0)
.x
C et x + y
C.
Exemples de cônes convexes :
1) Si a1, ..., ap sont p vecteurs de E , {
; (
1, ... ,
p)
R+p} est un cône convexe, et c’est le
plus petit cône convexe contenant les ak. Généraliser à une partie quelconque de E.
2) Les semi-normes, les normes sur E forment des cônes convexes ; les produits scalaires sur E
également.
3) Les matrices Mn(R+) à éléments
0 forment un cône convexe fermé stable par produit.
4) Les matrices symétriques positives, i.e. telles que tx.A.x
0 (
x
Rn) forment un cône convexe
fermé Sn+(R) dans l’espace vectoriel Sn(R) des matrices symétriques réelles ; les matrices
symétriques définies positives forment un cône convexe ouvert Sn++(R) ; c’est l’intérieur du
précédent. Résultats analogues pour les matrices hermitiennes complexes.
Exercice 2 : Soit C un cône convexe contenant 0 (on dit : pointé).
1) Montrer que le sous-espace vectoriel qu’il engendre est C + (–C), noté aussi C C ;
2) Montrer que C(
C) est le plus grand sous-espace vectoriel contenu dans C.
On dit que C est saillant si C
(
C) = {0}.
Exercice 3 : Espaces vectoriels ordonnés.
Une relation d’ordre
sur E est dite compatible avec la structure vectorielle si elle vérifie :
(x, y, z)
E3
0 x
y
x + z
y + z et
.x
.y.
Un espace vectoriel muni d’une telle relation est appelé espace vectoriel ordonné.
1) Montrer que si E est un espace vectoriel ordonné, P = {x
E ; x
0} est un cône convexe pointé
saillant.
2) Réciproquement, soit P un cône convexe pointé saillant ; montrer qu’il existe une unique
relation d’ordre compatible avec la structure vectorielle telle que P soit l’ensemble des vecteurs
positifs.
3) Comment se traduit sur P le fait que
soit un ordre total ?
1.3. Deux résultats classiques.
Théorème de Gauss-Lucas : Soit P
C[X] un polynôme complexe de degré n
1. Les racines de P'
appartiennent à l’enveloppe convexe de l’ensemble des racines de P.
Preuve : Factorisons P dans C[X] : P(z) = a
, où Z(P) = {z1, ..., zr} est l’ensemble des
zéros de P. Les zi d’ordre mi
2 sont racines de P', d’ordre mi
1.
Les autres racines de P' vérifient : 0 =
=
(dérivée logarithmique d’un produit).
Cela équivaut à : 0 =
.(z
zi) . Bref, c’est une égalité de la forme : =
,
où les
i sont > 0, Mi est le point d’affixe zi et M celui d’affixe z. On conclut aussitôt.
Remarque : Lorsque P est réel et scindé dans R, on peut conclure par Rolle. Si l’on ordonne les
racines de sorte que z1 < ... < zr , Rolle fait apparaître une racine de P' entre les zi, soit r
1 en tout, à
quoi il faut ajouter les racines multiples de P : le compte est bon.
¶ Exercice 4 : 1) Soit PC[X], admettant deux racines réelles distinctes et tel que P’’ divise P.
Montrer que P est simplement scindé, puis que les racines de P sont réelles.
2) Trouver tous les polynômes PC[X] tels que P’’ divise P.