Les surfaces planes

Aurore Rixhon
Les surfaces planes :
Contenu d’enseignement qui va faire l’objet d’un apprentissage ? Les enfants vont découvrir les surfaces
À qui s’adresse la situation d’apprentissage ? A des enfants du cycle 4  5ème primaire
Nombre d’enfants ? 21
Durée totale :
x 50 minutes
Compétences :
ξξ
Visées :
S.S.E.3.3 : analyser, caractériser selon différents critères des solides, des surfaces, des lignes dont des droites du plan, des points.
Analyse a priori de la matière à enseigner :
1. Pourquoi voir cette matière à ce moment – là ? Les enfants découvrent les surfaces car c'est la matière qui fait suite à la découverte des solides.
2. Principe de base de la matière :
 Qu’est – ce que je dois savoir ?
LES POLYGONES RÉGULIERS.
Xavier ROEGERS, Les mathématiques à l’école primaire tome 2, éditions de boeck 2003.
1. LES SURFACES PLANES LIMITÉES – POLYGONES.
1.1. CE QU’EST UN POLYGONE.
Un polygone (de « poly », plusieurs et « gônes », angles) est une surface plane dont le contour est une ligne brisée fermée ou encore une surface délimitée exclusivement par des
segments de droite1 en nombre fini. Ces segments s’appellent « côtés » du polygone.
Physiquement, le polygone serait la surface plane fermée qui pourrait être tracée entièrement à la règle.
Polygones
Non-polygones
1
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On peut aussi proposer aux enfants de classer les polygones en fonction de leur critère de convexité.
1.2. CE QU’EST UNE FIGURE CONVEXE.
Une figure convexe est une figure qui n’a pas de partie « rentrante », ni de trou.
Le contraire de convexe est non convexe ou concave. Dans une figure non convexe, au moins un segment reliant deux points de la figure sort de celle-ci.
1.3. NOMS DES POLYGONES PAR RAPPORT AU NOMBRE DE CÔTÉS.
2
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Un polygone à 3 côtés est un triangle.
Un polygone à 4 côtés est un quadrilatère.
Un polygone à 5 côtés est un pentagone.
Un polygone à 6 côtés est un hexagone.
Un polygone à 7 côtés est un heptagone.
Un polygone à 8 côtés est un octogone.
Un polygone à 9 côtés est un ennéagone.
Un polygone à 10 côtés est un décagone.
Un polygone à 12 côtés est un dodécagone.
Un polygone à 15 côtés est un pentadécagone.
Convexes
Non convexes
3 côtés
triangles
4 côtés
quadrilatères
5 côtés
pentagones
3
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6 côtés
hexagones
8 côtés
octogones
10 côtés
décagones
Le nombre d’axes de symétries est noté à côté de chaque forme en bleu.
Remarque :
Ce polygone un peu spécial est un quadrilatère croisé, et non un hexagone.
Ses sommets sont A, B, C et D et ses côtés sont les segments [AB], [BC], [CD], [DA].
1.4. LES POLYGONES RÉGULIERS.
Parmi les polygones représentés sur le tableau ci-dessus, certains polygones présentent la particularité d’avoir autant d’axes de symétrie2 que de côtés.
Ce sont les polygones convexes qui ont à la fois tous les côtés de même longueur et tous les angles de mêmes amplitudes (ou encore : dont les côtés et les angles sont isométriques3). On
les appelle polygones réguliers.
4
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Un polygone qui n’est pas régulier est un polygone irrégulier.
Polygones réguliers :
Polygones irréguliers :
Côtés non tous
isométriques
non convexe
parfois aussi appelé
« régulier étoile »
angles non tous
isométriques
angles et côtés non tous
isométriques
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Remarque :
1. Tous les polygones réguliers peuvent être inscrit dans un cercle, c'est-à-dire qu’il existe un cercle contenant chacun des sommets du polygone régulier.
Le centre de ce cercle est aussi le centre du polygone régulier.
L’apothème a d’un polygone régulier est la longueur du segment abaissé du centre sur un des côtés, perpendiculairement à ce dernier.
Celui-ci (on dit un apothème) est encore la distance du centre du polygone régulier à un de ses côtés.
2. Le rayon R du polygone régulier est le rayon du cercle circonscrit au polygone ou encore la distance entre le centre et un des sommets
du polygone régulier.
Le rayon d’un
hexagone régulier est de même longueur que le côté de celui-ci. En effet, le triangle AOB est isocèle4 et son angle au centre AÔB vaut 60°
(360° divisés par
6). Etant donné que la somme des angles d’un triangle est de 180°, chacun des deux autres angles, OÂB et ABO, vaut aussi 180°. Le
triangle est bien
équilatéral, et le rayon [OA] est de même longueur que le côté [AB].
3. Tous les procédés de construction des polygones réguliers sont basés sur leur propriété importante d’être inscriptibles dans un cercle. On peut construire un polygone régulier :
-
par calcul de l’angle du centre ou de la longueur du côté. C’est le procédé général de construction. Le tableau suivant donne, en fonction du nombre de côtés, d’une part
l’angle au centre, d’autre part le rapport C/R (côté/rayon) de la longueur du côté au rayon du cercle. Il suffit de multiplier le rapport par le rayon pour obtenir la
longueur du polygone régulier qu’on veut construire.
Nbres de côtés
Angle au centre
C/R
3
120°
4
90°
5
72°
6
60°
7
51°
8
45°
9
40°
10
36°
11
33°
12
30°
1,73
1,41
1,17
1
0,87
0,77
0,68
0,62
0,56
0,52
Par Exemple, pour construire un pentagone régulier dans un cercle de 8 cm de rayon, on peut soit reporter cinq fois un angle de 72°, soit calculer la longueur du côté 8 cm x 1,17 =
9,36 cm et reporter sur le cercle 5 fois cette distance au compas, à partir d’un point pris au hasard.
Quand le nombre de côtés su polygone est pair, la précision augmente en reportant les distances sur un demi-cercle et en traçant les diamètres.
- par voir graphique, surtout pour certains polygones particuliers :

Le carré : on trace 2 diamètres perpendiculaires. On joint consécutivement les 4 points d’intersection avec le cercle.
6
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




L’octogone régulier : on trace 2 diamètres perpendiculaires. Au moyen de bissectrices5, on divise en 2 parties égales chaque part du cercle. On joint consécutivement
les 8 points marqués sur le cercle.
L’hexagone régulier : on porte sur le cercle 6 arcs avec une ouverture de compas égale au rayon. On joint consécutivement les 6 points marqués sur le cercle. Ce
procédé est basé sur la propriété de l’hexagone régulier d’avoir les côtés de même longueur que le rayon.
Le triangle équilatéral : on part du procédé de construction de l’hexagone régulier mais on joint les points de 2 en 2.
Le décagone régulier : on trace 2 diamètres perpendiculaires [AB] et [CD]. On détermine le point M, milieu du rayon [OD] et on trace le cercle de centre M
passant par O et D. La longueur du côté du décagone régulier est donnée par celle du segment [AE], E étant le point d’intersection de [AM] avec le petit cercle. On
reporte 10 fois cette distance au compas sur le cercle.
Le pentagone régulier : on part du procédé de construction du décagone régulier mais on joint de 2 en 2 les points marqués sur le cercle.
Comment calculer l’aire d’un polygone régulier ?
2. LEXIQUE :
1. Segment de droite : un segment de droite est une partie de droite aux deux extrémités.
On le note [AB].
B
A
On utilise souvent la notion de « longueur d’un segment », et son symbole |AB| ou AB.
2. Axe de symétrie : une figure possède un axe de symétrie se les deux moitiés se superposent exactement lorsqu’on plie la figure selon cet axe.
3. Isométrique : isométrique signifie « qui ont les mêmes mesures »
4. Isocèle : un triangle isocèle a au moins 2 côtés de même longueur et deux angles isométriques.
5. Bissectrices : la bissectrice d’un angle est la demi-droite qui le coupe en 2 angles de même amplitude.
C’est l’axe de symétrie de cet angle.
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Autres termes :
Diagonale : une diagonale d’un polygone est un segment de droite qui joint deux sommets non consécutifs du polygone.
Médiane : - les médianes d’un quadrilatère sont les droites qui joignent les milieux des côtés opposés. Par extension, ce sont les segments de ces droites limités au contour de
quadrilatères.
Les médianes d’un quadrilatère sont rarement de même longueur. Par contre, elles se coupent toujours en leur milieu.
Médiane : - Une médiane d’un triangle est une droite qui joint un sommet au milieu du côté opposé.
Tout triangle possède 3 médianes.
Disque et cercle : Le disque désigne une surface alors que le cercle désigne le contour du disque (anciennement circonférence).
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L’arbre :
Formes
Polygones
Non - polygones
Polygones convexes
Polygones réguliers
Polygones concaves
Polygones irréguliers
Qu’est – ce que je veux que les enfants retiennent ?
L’arbre, les définitions
3. Difficultés que les enfants peuvent rencontrer :
Comprendre les différentes notions abordées.
4. Trame conceptuelle :
Devoir : découper les formes  classements des formes  exercices sur les classements réalisés ;
Matériel :

Feuilles d’exercices


Formes pré – découpées
Feuilles de synthèse

Déroulement n°1 :
Étape de l’apprentissage. Organisation de travail.
M.S.A. : contagion.
Travail à réaliser à
Rôles de l’enseignant en lien avec l’activité des enfants.
Les enfants vont devoir découper les formes et les mettre dans une enveloppe.
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Outils d’apprentissage.
Feuilles avec les
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10 min
domicile
Consignes :
formes.
Vous allez devoir découper les formes qui sont sur la feuilles et les mettre dans une enveloppe.
Ciseaux.
L’instituteur explique aux enfants ce qu’ils vont devoir effectuer comme travail à domicile.
Les enfants vont d’abord travailler individuellement puis en groupe.
Consignes :
Étape 1 : découverte.
Travail individuel +
Vous allez devoir effectuer un classement. Vous devez séparer les formes en 2 tas. Ensuite vous
15 min
Travail collectif.
comparerez
Formes.
L’instituteur passe dans les bancs pour vérifier le travail de chacun. Il donne des informations
complémentaires à ceux qui en ont besoin.
Les enfants vont réaliser une mise en commun.
Consignes :
Étape 2 :
Construction
Travail collectif.
20 min
Nous allons mettre en commun vos réponses. Quels sont les titres que vous allez mettre aux
colonnes ? Quels sont vos classement ?
Formes.
L’instituteur note au TN les réponses des enfants en les organisant. Il structure les réponses des
enfants.
Les enfants vont devoir écrire sur une feuille la synthèse.
Étape 3 : structuration.
20 min
Travail individuel.
Consignes :
Vous prenez une feuille de bloc et vous allez devoir écrire la synthèse que je note au TN.
Feuilles de bloc.
L’instituteur explique et écrit au TN la synthèse.
Étape 4 :
Travail individuel
Les enfants vont devoir effectuer des exercices.
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Feuilles d’exercices.
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Entraînement.
Consignes :
35 min
Vous allez devoir effectuer des exercices pour bien comprendre la matière.
L’instituteur passe dans les bancs pour donner des informations complémentaires à des enfants qui
éprouvent encore des difficultés. Il les aide de manière indirecte pour qu’ils trouvent d’eux – mêmes la
réponse.
Les autres séquences pour la suite de la matière sont basées sur le même déroulement.
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