ORAL 2ième Groupe – Mathématiques Série ES

ORAL 2ième Groupe – Mathématiques Série ES
Enseignement obligatoire – Calculatrice autorisée
SUJET n° 1
Exercice 1
Lors d’un test de freinage on a relevé les résultats suivants sur 6 essais :
Vitesse v i en km/h
27
43
62
80
98
Distance d’arrêt y i en m
6.8
20.5
35.9
67.8
101.2
115
135.8
1) Visionner le nuage sur l’écran de votre calculatrice. Pensez-vous qu’un ajustement affine soit pertinent ?
2) On considère alors la série double (x i ; y i) où x i = v i ²
L’équation de la droite d’ajustement de y en x , par la méthode des moindres carrés, est :
y = 0.01 x – 0.47
En utilisant cet ajustement, estimer :
a. La distance d’arrêt correspondant à une vitesse de 150 km/h .
b. La vitesse correspondant à une distance d’arrêt de 180 m.
Exercice 2
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle I = ]Error! ;+[. Une partie de sa
représentation graphique C est tracée ci-dessous, ainsi que les tangentes à C aux points A et B d’abscisses
respectives 1 et 3.
On donne l’équation de la tangente D en B : y = Error! x – Error!.
Déterminer à l’aide du graphique et des renseignements
précédents :
1)
2)
3)
4)
f (1) et f ’(1).
f (3) et f ’(3).
Un encadrement d’amplitude 1 de Error!
Les variations sur I d’une primitive F de f.
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SUJET n°2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur  dont la courbe représentative C est en partie tracée ci-dessous.
1) Déterminer graphiquement :
a. Les valeurs des réels f (-2), f(-1), f (0),f ’(-1)
b. Les variations de f sur I = ]-2 ;0]
c. Le signe de f sur I = ]-2 ;0]
2) On considère la fonction g = ln o f définie sur l’intervalle
I = ]-2 ;0].
a. Déterminer la limite de g en - 2 . Interpréter graphiquement.
b. Quelles sont les variations de g ?
c. On donne ln (5)  1.6 et ln (2)  0.7 . Dessiner alors sur le
graphique ci-contre la courbe représentative de g.
Exercice 2
1) On lance deux dés, et l’on s’intéresse à la somme des deux numéros sortis.
a. Expliquer pourquoi la probabilité d’obtenir 6 comme somme est égale à Error!.
b. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir une somme égale à 6 ?
2) On répète n fois ce lancer des deux dés (n2)
a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité p n d’obtenir au moins une fois la somme 6.
b. Combien faut-il de lancers pour que la probabilité p n soit supérieure à 0.90 ?
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SUJET n° 3
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur  par f(x) = Error! et C sa courbe représentative dans un repère donné.
1) Répondre par vrai ou faux, en justifiant :
a.
f est une fonction positive.
b.
f est une fonction croissante.
C n’admet pas d’asymptote.
c.
La fonction g définie sur  par : g(x) = ln (ex + 1) est une primitive de f.
2)
a. Calculer la valeur moyenne μ (exacte) de f sur [0 ;2]
b. Une partie de C est tracée ci-dessous :
En prenant 0.7 comme valeur approchée de μ ; Dessiner un rectangle OABC de même aire que l’aire
du domaine hachuré.
C
Exercice 2
Une série statistique est représentée par le nuage de points ci-dessous dans un repère semi-logarithmique :
y
Le nuage « longiligne » ci-contre incite-t-il à
établir un ajustement de type :
a. Affine ?
b. Logarithmique ?
c. Exponentiel ?
Argumentez votre réponse
x
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SUJET n° 4
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur I = [0 ;1] par : f(x) = (1 – x )2 (1 + x)3.
donnée ci-dessous :
Sa représentation graphique est
1) Dresser le tableau de variations de f sur I.
2)
Quelle est parmi les expressions ci-dessous celle qui correspond à f ’(x) ?(argumenter avec le graphique ou
le calcul).
a.
f ’(x) = 6 (1 – x ) ( 1 + x)2
b.
f ’(x) = (1 – x ) ( 1+ x)2 (5 – x)
c.
f ’(x) = (1 – x ) (1 + x)2 (1 – 5 x)
3) On étudie les fluctuations d’une grandeur économique sur 5 années consécutives : cette grandeur diminue
les deux premières années de t % par an, puis augmente ensuite de t % par an ; t  [0 ;100]
On note x le réel égal à Error! . ; x  [0 ;1]
a. Expliquer pourquoi le coefficient multiplicateur global d’évolution de cette grandeur sur
ces cinq années est égal à f(x).
b. Quelle est la valeur maximale de ce coefficient ?
c. Quel est alors le pourcentage d’augmentation maximal de la grandeur considérée sur la totalité
de ces cinq années ?
Exercice 2
Voici les résultats d’un sondage réalisé auprès de 200
clients d’une agence de voyage afin de cerner leur
préférence en ce qui concerne leurs vacances.
En famille
Seul ou
entre amis
Voyage
organisé
29
54
On choisit un de ces clients au hasard, et l’on note :
A , l’évènement : « le client choisi part en famille »
B , l’évènement : « le client choisi part en croisière »
1) Compléter l’arbre pondéré ci-contre.
2) Quelle est la probabilité, que le client choisi parte en famille en croisière.
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Club de
vacances
55
18
Croisière
26
18
SUJET n° 5
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I= ]0 ;+[ par : f(x) = -x + 2 – Error! et l’on note C sa courbe
représentative dans un repère donné.
Indiquer si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses ( il faudra justifier ses réponses) :
a.
b.
c.
d.
e.
La droite D d’équation y = -x + 2 est asymptote à C .
La droite D d’équation y = -x + 2 est tangente à C au point d’abscisse 1.
C est au dessous de D .
La droite ∆ d’équation : x = 0 est asymptote à C .
La fonction F définie sur I par F(x) = Error! + 2x – Error! est une primitive de f.
Exercice 2
Une municipalité a accordé à un centre de loisirs de sa ville une subvention de 4000 € en 2000.
Depuis, l’évolution de la subvention est décrite dans le tableau ci-dessous :
Année
xi
Subvention yi en euros
2000
4000
2001
4200
2002
4400
2003
4650
2004
4900
1) Soit t % le taux annuel moyen d’augmentation de la subvention entre les années 2000 et 2004.
Déterminer la valeur approchée de t arrondie au dixième.
2) Si l’on admet que ce taux annuel moyen est de 5.2 % à compter de l’année 2000 et reste stable
dans les années futures, déterminer une nouvelle estimation de la subvention en 2010 (arrondie à l’unité).
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SUJET n° 6
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur  par f(x) = Error! et C sa courbe représentative dans un repère donné.
Répondre par vrai ou faux, en justifiant :
1) f est une fonction positive.
2) La droite d’équation y = 0 est asymptote àC .
3) C admet une tangente parallèle à l’axe des abscisses du repère.
4) La fonction g définie sur  par : g(x) = ln (e 2x + 1) est une primitive de f.
Exercice 2 (spécialité)



On considère un repère orthonormal de l’espace (O,i; ,j; ,k; )
Répondre par vrai ou faux en justifiant :
1) Les points A( 1 ;2 ;3) B(0 ;-1 ;2) C( 2 ;5 ;0) définissent un plan.
2) L’équation : 2x = 5 est celle d’un plan.
3) Le plan passant par les points A( 0 ;1 ;5) B( 2 ;1 ;1) C(-1 ;0 ;4) a pour équation : 2x + y + z – 6 =0
4) L’équation y = 2x – 3 définit une droite de l’espace.
5) Le système d’équations {2x - 5y + 6z + 1 = 0;-x + 2.5y - 3z + 1 = 0 définit une droite de l’espace
6) Le plan d’équation 2x – y = 0 est sécant au plan (xOy) du repère.
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SUJET n° 7
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur ]-1 ; +[ par :
f(x) = a x + b + c ln (x+1) ;où a, b, c sont des réels à déterminer.
On note C f sa courbe représentative, dont une partie est donnée ci-contre. Sont également représentées les
tangentes à C f aux points d’abscisses 0 et 1.
1) A l’aide du graphique :
Donner les valeurs de : f (0) ; f ’(0) et f ’(1).
2) Déterminer les réels a, b et c.
IMC
x=masse
2,2
1,8
130
1,4
110
90
70
1) Placer un point A sur S
correspondant à une personne
d’IMC normal. Donner les coordonnées de A.
50
z=IMC
70
65
60
55
50
45
40
35
30
25
20
15
65-70
60-65
55-60
50-55
45-50
40-45
35-40
30-35
25-30
20-25
15-20
30
Exercice 2 (spécialité)
On définit une fonction de deux
variables f par f(x ;y) = Error! où
x[30 ;130] et y[1.4 ; 2.3].
Error! représente l’indice de masse
corporelle (IMC) d’une personne de
masse x kg et de taille y mètres.
Un IMC normal est compris entre 18.5
et 25 .
La surface S d’équation z = Error!
  
dans un repère (O,i; ,j; ,k; ) de
l’espace, est représentée ci-contre.
y=taille
2) Quelle est la nature de la section de S par un plan parallèle au plan (xOz) ?
3) Ci-dessous sont représentées dans le plan xOy les lignes de niveau : z = 15 ; z = 18.5 ; z = 25 ; z = 30 .
Déterminer graphiquement le poids d’une
personne de 1m80 et d’IMC normal.
y
x
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SUJET n° 8
Exercice 1
Indiquer la bonne réponse parmi les 3 choix proposés (il faudra savoir argumenter) :
Question n°1 :
f est une fonction strictement positive sur  et dont le tableau de variations est donné ci-contre :
On considère alors la fonction g : x  ln(f(x)) définie sur .
Quel est le tableau de variations de g ?
A:
x
-
0
+
g(x)
e²
0
1
B:
x
-
0
+
g(x)
2
1
0
C:
x
-
0
+
g(x)
2
-
0
Question n°2 :
Soit h la fonction définie sur ]0 ;1[]1 ;+[ par : h(x) = 2x – Error! et C sa courbe représentative.
A : La droite d’équation x = 0 est asymptote à C .
B : La droite d’équation x = 1 est asymptote à C .
C : La droite d’équation y = 2x est asymptote à C .
Question n°3 :
Soit f la fonction définie sur ]0 ;+[ par : f(x) = ln(x2) – x.
Dans un repère donné, l’équation de la tangente à la courbe représentative de f au point d’abscisse 1 est :
A:y= x–2
B : y = -1
C:y= 0
Exercice 2 (spécialité)
On considère la suite (u n) définie par :
u1 = 1 u2 = 1 et la relation de récurrence : u n+2 = u n+1 + u n (1)
1) Calculer u3 et u4.
(n1).
 01

11 
On notera par la suite M la matrice 2 x 2 définie par : M = 
 u n 1 
 = M
 u n2 
2) Justifier que la relation matricielle : 
x
un 


 u n 1 
traduit la relation de récurrence (1).
3) Prouver par récurrence que pour tout entier naturel n1 , on a l’égalité matricielle :
 u n 1 

 = M n
u
 n2 
x
 u1 
 
u2 
4) A l’aide de la calculatrice déterminer alors la valeur de u24.
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SUJET n°9
Exercice 1
Pour chacune des questions ci-dessous, au moins une affirmation est vraie, donner toutes les réponses exactes :
Réponses
exactes
Question 1 : ln(Error!) est égal à :
A) : ln (Error!)
B) : Error!
C) : 2(lna – ln5)
Question 2 : L’inéquation ln(1 – x ) – ln(x + 5) < 0 a pour ensemble de solutions :
B) : ]-2 ;1[
C) : ]-5;-2[
A) : ]-2;+[
Question 3 : La dérivée de la fonction f : x  (-1 + lnx)², est définie pour tout réel x>0 par :
A) : f ’(x) = 2(-1 + lnx)
B) : f ’(x) = Error! (lnx – 1)
C) : f ’(x) = Error!
Exercice 2 (spécialité)
On a représenté ci- contre une partie de la
courbe C f représentative de la fonction f
définie sur R par f(x) = e – 0.5 x
On considère alors la suite (u n) définie par :
u n = Error!
(n0)
1) Représenter les termes u 0 ;u 1 ;u 2
sur le graphique.
2) a. Exprimer u n en fonction de n.
b. La suite (u n) est-elle géométrique ?
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SUJET n° 10
Exercice 1
Pour chacune des questions ci-dessous, au moins une affirmation est vraie, donner toutes les réponses exactes :
Réponses
exactes
Question 1 : Soit la fonction f définie sur ]0 ;+[ par f(x) = 3 + x – 2 Error!,C sa courbe
représentative :
A) : lim;
f(x) = +
x+
B) : C admet 2 asymptotes
C) : C est au dessous de son
asymptote oblique.
Question 2 : Soit f(x) = ex, et g(x) = 2x , x
A) : (f o g) (x) = e2x
B) : (f o g) (x) = 2ex
C) : (f o g) (x) =(ex)²
Question 3 : a et b étant deux réels strictement positifs ; e-lna + e-lnb est égal à :
A) : Error! + Error!
B) : – Error! – Error!
C) : Error!
Exercice 2 (spécialité)
Pierre vient d’hériter d’un grand appartement de sept pièces (numérotées de 1 à 7). On a représenté ci-dessous
cet appartement et les diverses portes (ouvertures) permettant la communication entre deux pièces.
Pour rompre une éventuelle monotonie, Pierre souhaite peindre deux pièces communiquant entre elles de
couleurs de différentes .
Déterminer en utilisant des propriétés pertinentes de la théorie des graphes si les affirmations ci-dessous
sont vraies ou fausses :
Affirmation n°1:
« Trois couleurs au minimum seront nécessaires »
Affirmation n°2 :
« Il est toujours possible de joindre deux pièces quelconques en quatre étapes (c'est-à-dire en franchissant
exactement quatre portes non nécessairement distinctes)