ORAL 2ième Groupe – Mathématiques Série ES

ORAL 2ième Groupe – Mathématiques Série ES
Enseignement obligatoire – Calculatrice autorisée
SUJET n° 1
Exercice 1
Lors d’un test de freinage on a relevé les résultats suivants sur 6 essais :
Vitesse v i en km/h
27
43
62
80
98
115
Distance d’arrêt y i en m
6.8
20.5
35.9
67.8
101.2
135.8
1) Visionner le nuage sur l’écran de votre calculatrice. Pensez-vous qu’un ajustement affine soit pertinent ?
2) On considère alors la série double (x i ; y i) où x i = v i ²
L’équation de la droite d’ajustement de y en x , par la méthode des moindres carrés, est :
y = 0.01 x – 0.47
En utilisant cet ajustement, estimer :
a. La distance d’arrêt correspondant à une vitesse de 150 km/h .
b. La vitesse correspondant à une distance d’arrêt de 180 m.
Exercice 2
On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle I = ]
Error!
;+[. Une partie de sa
représentation graphique C est tracée ci-dessous, ainsi que les tangentes à C aux points A et B d’abscisses
respectives 1 et 3.
On donne l’équation de la tangente D en B : y =
Error!
x –
Error!
.
Déterminer à l’aide du graphique et des renseignements
précédents :
1) f (1) et f ’(1).
2) f (3) et f ’(3).
3) Un encadrement d’amplitude 1 de
Error!
4) Les variations sur I d’une primitive F de f.
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SUJET n°2
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur  dont la courbe représentative C est en partie tracée ci-dessous.
1) Déterminer graphiquement :
a. Les valeurs des réels f (-2), f(-1), f (0),f ’(-1)
b. Les variations de f sur I = ]-2 ;0]
c. Le signe de f sur I = ]-2 ;0]
2) On considère la fonction g = ln o f définie sur l’intervalle
I = ]-2 ;0].
a. Déterminer la limite de g en - 2 . Interpréter graphiquement.
b. Quelles sont les variations de g ?
c. On donne ln (5) 1.6 et ln (2) 0.7 . Dessiner alors sur le
graphique ci-contre la courbe représentative de g.
Exercice 2
1) On lance deux dés, et l’on s’intéresse à la somme des deux numéros sortis.
a. Expliquer pourquoi la probabilité d’obtenir 6 comme somme est égale à
Error!
.
b. Quelle est la probabilité de ne pas obtenir une somme égale à 6 ?
2) On répète n fois ce lancer des deux dés (n2)
a. Déterminer, en fonction de n, la probabilité p n d’obtenir au moins une fois la somme 6.
b. Combien faut-il de lancers pour que la probabilité p n soit supérieure à 0.90 ?
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SUJET n° 3
Exercice 1
Soit la fonction f définie sur  par f(x) =
Error!
et C sa courbe représentative dans un repère donné.
1) Répondre par vrai ou faux, en justifiant :
a. f est une fonction positive.
b. f est une fonction croissante.
C n’admet pas d’asymptote.
c. La fonction g définie sur  par : g(x) = ln (ex + 1) est une primitive de f.
2) a. Calculer la valeur moyenne μ (exacte) de f sur [0 ;2]
b. Une partie de C est tracée ci-dessous :
En prenant 0.7 comme valeur approchée de μ ; Dessiner un rectangle OABC de même aire que l’aire
du domaine hachuré.
C
Exercice 2
Une série statistique est représentée par le nuage de points ci-dessous dans un repère semi-logarithmique :
y
Le nuage « longiligne » ci-contre incite-t-il à
établir un ajustement de type :
a. Affine ?
b. Logarithmique ?
c. Exponentiel ?
Argumentez votre réponse
x
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SUJET n° 4
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur I = [0 ;1] par : f(x) = (1 – x )2 (1 + x)3. Sa représentation graphique est
donnée ci-dessous :
1) Dresser le tableau de variations de f sur I.
2) Quelle est parmi les expressions ci-dessous celle qui correspond à f ’(x) ?(argumenter avec le graphique ou
le calcul).
a. f ’(x) = 6 (1 – x ) ( 1 + x)2
b. f ’(x) = (1 – x ) ( 1+ x)2 (5 – x)
c. f ’(x) = (1 – x ) (1 + x)2 (1 – 5 x)
3) On étudie les fluctuations d’une grandeur économique sur 5 années consécutives : cette grandeur diminue
les deux premières années de t % par an, puis augmente ensuite de t % par an ; t  [0 ;100]
On note x le réel égal à
Error!
. ; x  [0 ;1]
a. Expliquer pourquoi le coefficient multiplicateur global d’évolution de cette grandeur sur
ces cinq années est égal à f(x).
b. Quelle est la valeur maximale de ce coefficient ?
c. Quel est alors le pourcentage d’augmentation maximal de la grandeur considérée sur la totalité
de ces cinq années ?
Exercice 2
Voici les résultats d’un sondage réalisé auprès de 200
clients d’une agence de voyage afin de cerner leur
préférence en ce qui concerne leurs vacances.
On choisit un de ces clients au hasard, et l’on note :
A , l’évènement : « le client choisi part en famille »
B , l’évènement : « le client choisi part en croisière »
1) Compléter l’arbre pondéré ci-contre.
2) Quelle est la probabilité, que le client choisi parte en famille en croisière.
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Voyage
organisé
Club de
vacances
Croisière
En famille
29
55
26
Seul ou
entre amis
54
18
18

SUJET n° 5
Exercice 1
On considère la fonction f définie sur l’intervalle I= ]0 ;+[ par : f(x) = -x + 2 –
Error!
et l’on note C sa courbe
représentative dans un repère donné.
Indiquer si les affirmations ci-dessous sont vraies ou fausses ( il faudra justifier ses réponses) :
a. La droite D d’équation y = -x + 2 est asymptote à C .
b. La droite D d’équation y = -x + 2 est tangente à C au point d’abscisse 1.
c. C est au dessous de D .
d. La droite ∆ d’équation : x = 0 est asymptote à C .
e. La fonction F définie sur I par F(x) =
Error!
+ 2x –
Error!
est une primitive de f.
Exercice 2
Une municipalité a accordé à un centre de loisirs de sa ville une subvention de 4000 € en 2000.
Depuis, l’évolution de la subvention est décrite dans le tableau ci-dessous :
Année xi
2000
2001
2002
2003
2004
Subvention yi en euros
4000
4200
4400
4650
4900
1) Soit t % le taux annuel moyen d’augmentation de la subvention entre les années 2000 et 2004.
Déterminer la valeur approchée de t arrondie au dixième.
2) Si l’on admet que ce taux annuel moyen est de 5.2 % à compter de l’année 2000 et reste stable
dans les années futures, déterminer une nouvelle estimation de la subvention en 2010 (arrondie à l’unité).
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