DETERMINATION DU RAYON DE LA TERRE PAR LA METHODE D

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2nde : Activité chapitre P5 L’interaction gravitationnelle
Objectifs :
 Définir et comprendre la loi de gravitation universelle
 Utiliser cette loi fondamentale pour expliquer le mouvement de la lune et la
pesanteur à la surface des astres.
1. LOI DE GRAVITATION UNIVERSELLE
1.1. Découverte et expression générale de la loi
Depuis l’Antiquité ( 4ème siècle avant Jésus Christ ), ARISTOTE avait défini les
graves, c’est-à-dire les corps lourds, pesants qui avaient tendance à rejoindre leur lieu
« naturel » : le centre de la terre. Il expliquait ainsi la chute des corps graves.
Presque 20 siècles plus tard, c’est en observant le mouvement de la lune qu’Isaac
NEWTON a émis une hypothèse géniale, supposant que la terre attirait la lune, tout
comme la ficelle d’une fronde attire la pierre qui tourne autour d’elle.
En 1687, il énonce la loi de gravitation universelle. On peut la résumer ainsi :
 Deux corps A et B ponctuels, de masses mA et mB, séparés
par une distance d, s’attirent l’un et l’autre.
 Cette interaction d’attraction gravitationnelle peut être modélisée par deux
vecteurs forces
AB
F
( attraction de A sur B ) et
BA
F
( attraction de B sur A ),
qui ont une même direction : la droite AB, des sens opposés, et une même
valeur :
2
.
.AB
A B B A mm
F F G d
G est la constante de gravitation universelle, de valeur 6,67.10-11 unités SI
( unités du système international ).
 Pour que la valeur de G soit bien égale à 6,67.10-11 en unités SI , les unités de
force, de masse et de distance doivent également être exprimées dans le
système international d’unités ; rappeler les unités SI de force, de masse et de
distance
Fait en cours
 Représentez sur un schéma les points A et B et les forces
AB
F
et
BA
F
Fait en cours
 Si on multiplie par 10 la distance entre les masses, par combien divise-t-on la
force d’attraction gravitationnelle qui que chaque masse exerce sur l’autre
masse ?
Fait en cours
 Pourquoi l’attraction gravitationnelle diminue-t-elle fortement lorsque la
distance entre les corps augmente ?

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1.2. Application à l’étude du mouvement des corps
célestes
Cette loi d’attraction universelle peut également être utilisée pour des objets non
ponctuels, à condition que la répartition de la masse dans ces objets soit sphérique,
ce qui est souvent le cas des corps célestes : planètes , étoiles.
Dans ce cas, l’expression de
A B B A
F et F
est identique à celle vue précédemment,
mais d représente alors la distance entre les centres des deux objets sphériques.
 On donne : distance moyenne terre-lune :
3
383.10 km
; rayon terrestre :
3
6,4.10 km
; rayon lunaire
3
1,74.10 km
.Représentez ci-dessous la terre, la lune
avec l’échelle suivante : 2 cm pour 100 000 km. Quelle approximation
peut-on faire pour déterminer la distance entre le centre de la terre et le
centre de la lune ?
Fait en cours
 Calculez la valeur de la force d’attraction gravitationnelle de la terre sur la
lune ( masse de la terre :
24
5,97.10 kg
; masse de la lune :
22
7,35.10 kg
)
Fait en cours
 Représentez sur le shéma fait auparavant la droite d’action, le sens et le
vecteur-force d’attraction gravitationnelle de la terre sur la lune
terre lune
F
calculé auparavant ( échelle : 1 cm pour 1020 N )
Fait en cours
 Etablissez le diagramme objets-interactions (D.O.I. ) puis le bilan des actions
mécaniques (B.A.M.) pour le système {lune} .
Fait en cours
 D’après le Bilan des Actions mécaniques , peut-on dire que la lune obéit au
principe de l’inertie ? Pourquoi ?
La lune n’est soumise qu’à une seule action mécanique ( l’attraction gravitationnelle
de la terre ) : la somme de ses actions mécaniques n’est donc pas nulle. La lune n’obéit
pas au principe de l’inertie.
 D’après le le mouvement de la lune , peut-on dire que la lune obéit au principe
de l’inertie ? Pourquoi ?
La lune a un mouvement de rotation autour de la terre : son mouvement n’est donc
pas rectiligne et uniforme et elle n’est pas immobile. La lune n’obéit pas au principe de
l’inertie.
 Pourquoi la lune tourne-t-elle autour de la terre ?
La lune est maintenue en rotation autour de la terre grâce à l’attraction
gravitationnelle de la terre. Elle ne tombe pas sur la terre car elle garde la vitesse qu’elle
avait acquise. La force gravitationnelle ne modifie pas sa vitesse, mais seulement sa
trajectoire.

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2. GRAVITATION ET PESANTEUR
2.1. Pesanteur terrestre
 Calculez
homterre me
F
: la valeur de la force
d’attraction gravitationnelle
homterre me
F
qui
s’exerce sur un homme de masse
m = 70,0 kg situé sur la terre.
Pour ce calcul il faut exprimer la distance entre
l’homme et le centre de la terre ( c’est-à-dire le rayon
terrestre ) en unité SI donc convertir les km en m
.
24
11
hom
hom 2 6 2
.5,97.10 70,0
. 6,67.10 680
(6,4.10 )
terre me
terre me terre
mm
F G N
R
 Représentez ci-contre le vecteur
homterre me
F
( échelle 1 cm pour 500 N )
 Rappelez l’expression littérale du poids P de l’homme à la surface de la terre
hom homme me
P m g
 On considère que la force d’attraction gravitationnelle de la terre sur l’homme
est égale au poids de l’homme ;
on peut donc écrire que les deux expressions littérales du poids P de
l’homme et de la force
homterre me
F
sont égales .
En partant de cette égalité entre les deux expressions des forces
homterre me
F
et P,
montrez que go ( intensité du champ de pesanteur terrestre à la surface de la
terre) a pour expression
2
()
terre
oterre
M
gG
R
hom homme me
P m g
et
hom
hom hom 2
.
.terre me
me terre me terre
mm
P F G R
.
On peut donc écrire
hom hom
2
.
.terre me me o
terre
mm
G m g
R
soit
hom
22
hom
.1
..
terre me terre
oterre me terre
m m m
g G G
R m R
 Calculez alors go la valeur del’intensité du champ de pesanteur terrestre go
24
11
2 6 2
5,97.10
. 6,67.10 9,7 /
(6,4.10 )
terre
oterre
m
g G N kg
R
ce qui est proche de la valeur de
9,8 N/kg que nous connaissons déjà pour l’intensité du champ de pesanteur ( le petit écart
est du entre autres à une trop faible précision sur la valeur numérique du rayon terrestre
utilisée pour ce calcul ).
TERRE

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2.2. Pesanteur à la surface d’autres astres
 En partant de l’expression
2
()
terre
oterre
M
gG
R
( démontrée au 2-1) donnant
l’intensité go du champ de pesanteur terrestre à la surface de la terre ,
déterminez l’expression de l’intensité gastre du champ de pesanteur à la
surface de n’importe quel astre.
On peut reprendre le raisonnement mené au paragraphe précédent. On arrivera alors à
hom
hom hom 2
.
.astre me
me astre me astre
mm
P F G R
et on en déduira
2
.astre
astre astre
m
PG
R
 Effectuez le calcul de gastre pour la lune et pour la planète Mars et reportez les
dans le tableau. Déterminez ensuite le poids de l’homme à la surface de ces
deux astres.
Astre
Lune
Mars
Masse M ( x 1024 kg )
0,0735
0,642
Rayon ( x 106 m )
1,74
3,40
Intensité du champ de pesanteur à la surface de l’astre ( en N/kg )
1,61
3,70
Poids d’un homme de masse
m=70,0 kg situé sur l’astre (en N)
113
259
 Pourquoi le capitaine Haddock saute-t-il si haut ?
Le poids du
capitaine HADDOCK sur la lune est beaucoup plus faible que
sur la terre ( en effet, l’intensité du champ de pesanteur sur la lune
est de 1,61 N/kg soit environ 6 fois moins élevée que sur la terre : la lune attire le
capitaine HADDOCK 6 fois moins que la terre ).
Par conséquent lorsqu’il saute, il met beaucoup plus de temps à retomber et arrive à
sauter plus haut. Tout se passe comme s’il pesait 6 fois moins lourd…tout en ayant la
même force pour sauter.