Ex Eco juin 2013 partie 1 Version A INFO-MATH

NOM :
Q1 :
PRENOM:
/5
Q2 :
/6
Q3 :
ORIENTATION :
/3
Q4 :
/6
TOTAL :
/ 20
Introduction aux Faits et Mécanismes Economiques
A. de Crombrugghe
A.C. Burnet, G. Camilotti, O. Hubert, H. Laurent
Examen du 30/05/2013
Partie 1 (1er semestre) version A
MATH BAC 2 et Informatique Bac1
Consignes :
- Indiquez vos nom, prénom et orientation sur toutes les feuilles.
- Lisez attentivement les questions.
- Répondez sur le questionnaire lui-même dans l’espace prévu à cet effet.
- Ecrivez lisiblement.
- Aucune machine à calculer n’est autorisée
- Le détail de votre démarche doit toujours faire partie de votre réponse et vos symboles et
abréviations doivent être définis et compréhensibles. Sans ce détail, une réponse numérique
sera considérée comme fausse.
-Ce questionnaire comprend …. Pages, dont 2 de brouillon
Bon Travail !
Question 1 (5 points)
Sur le marché des ordinateurs, on suppose qu’il y a un seul producteur qui fait face à
l’entièreté de la demande de produits donnée par la fonction suivante :
Q(P)= -2P + 16.
On suppose que le producteur connaît parfaitement ses fonctions de coûts et que le coût
variable unitaire de production est de 2 euros et qu’il n’a pas de coûts fixes.
a) Calculez la quantité et le prix qui maximisent le profit du producteur d’ordinateurs.
Détaillez votre calcul et justifiez en français la condition de maximisation du profit. Calculez
le profit du producteur. (3 points)
Nous sommes dans une situation de monopole (un seul producteur dans le marché). Le
producteur maximise le profit. Celui-ci est donné par la différence entre la recette totale et le
coût total. Max Profit = MaxQ (RT - CT),
𝜕𝑅𝑇
𝛿𝐶𝑇
D’où : 𝜕𝑄 − 𝛿𝑄 = 0
Rm(Q)= Cm(Q)
Le profit est maximisé quand la recette marginale est égale au coût marginal.
En effet, si Rm>Cm le producteur produit une unité en plus car le profit marginal est positif :
l’unité supplémentaire rapporte plus que ce qu’elle ne coûte. Quand Rm<Cm, le producteur
1
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
subit une perte marginal (profit marginal négatif). Le producteur produit donc jusqu’au point
où : Rm(Q)= Cm(Q).
En monopole, le monopoleur est price-maker : il fixe la quantité, ce qui détermine le prix
sur la courbe de demande. La recette totale est donc donné par : RT= Q*P(Q)
La demande inverse est : P= - 0.5Q + 8
RT =Q*P(Q)= Q* (- 0.5Q + 8) = - 0.5Q2 + 8Q
Rm = Cm
-Q + 8 = 2
QM=6
PM= -0.5Q + 8 = 5
Profit = RT – CT = P(Q)*Q – Cm*Q = 5*6 – 2*6 = 18
b) Imaginez maintenant que le marché des ordinateurs soit parfaitement concurrentiel et que
le prix sur le marché soit de 2 euros. La fonction de demande d’ordinateurs reste inchangée.
Définissez en français le concept de surplus du consommateur. Calculez le surplus du
consommateur en a) et en concurrence parfaite. Détaillez votre calcul. Comparez les deux
situations en termes de quantité, prix et surplus du consommateur. (2 points)
Surplus du consommateur : se définit comme la différence entre sa disposition à payer pour
chaque unité successive du bien séparément, et le prix par unité qu’il paye effectivement.
Le surplus en monopole :
(8 − 5) ∗ 6
=9
2
Si on substitue le prix dans la fonction de demande, nous trouvons la quantité des biens
produite en concurrence parfaite :
QC= -2P + 16 = -4+16= 12
Surplus en concurrence parfaite :
(8 − 2) ∗ 12
= 36
2
En concurrence parfaite, on produit plus qu’en monopole et à un prix inférieur. Le surplus du
consommateur est donc plus élevé en concurrence parfaite qu’en monopole.
Question 2 (6 points)
Les plages privées de la ville de Nice sont bondées de touristes en été. Cela fait le bonheur des
tenanciers de ces plages qui rentabilisent leur investissement dans l’achat de transats.
Malheureusement, la présence des touristes donne beaucoup de mal au SPPPN (Service
Propreté des plages privées de Nice) qui a calculé que la pollution moyenne horaire engendrée
par transat à un coût de 3 euros pour la société.
La disposition à payer pour un transat par heure et le coût marginal privé pour un tenancier de
mise à disposition d’un transat par heure sont les suivants (Q= nombre de transats par heure) :
D ≡ P = 15 – 2*Q
O ≡ Cm = 3 + Q
2
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
a) Dans le graphique ci-dessous, tracez les courbes d’offre et de demande privées. Déterminez
algébriquement l’équilibre E0 (P0, Q0) et représentez ensuite le prix et la quantité d’équilibre.
(1 point)
Prix (€)
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
Quantité
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
D = O => 15-2*Q = 3 + Q. La quantité d’équilibre est de 4 transats par heure et le prix
d’équilibre est dès lors de 7 € par transat par heure.
3
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
b) Imaginons désormais que les tenanciers décident, dans un esprit de développement durable,
de faire payer aux clients le coût social de la pollution engendrée par la location des transats.
Représentez graphiquement le nouvel équilibre E1 (P1, Q1) et expliquez, étape par étape, le
passage de l’équilibre E0 (P0, Q0) et ce nouvel équilibre. (3 points)
Si les tenanciers décident de prendre en compte le coût externe, ils considèrent que ses coûts
marginaux sont de 3 € plus élevés pour chaque quantité. Le prix minimum requis pour
chacune des quantités données est donc augmenté de ce même montant. La nouvelle quantité
d’équilibre est de 3 transats par heure et nouveau le prix d’équilibre est de 9 € par transat par
heure.
Règle des étapes :
1 : à l’équilibre initial, l’équilibre se situe au point E0 où les quantités offertes (transats) sont
exactement égales aux quantités demandées. La quantité d’équilibre est de 4 transats par
heure et le prix d’équilibre est de 7 € par transat par heure
2 : suite à l’internalisation de coût externe (coût marginal social de la pollution engendrée par
la location de transat), il y a un choc d’offre négatif. La courbe d’offre se déplace le haut de 3
unités. En effet, pour n’importe quelle quantité (nb de transats loués), le prix va augmenter
pour que les tenanciers acceptent de louer le même nombre de transats qu’avant.
3 : au prix initial, il y a un déséquilibre, la demande est excédentaire. On peut donc s’attendre
à une pression à la hausse des prix.
4 : les agents réagissent face à ce déséquilibre : d’une part, au prix initial, certains touristes
ne trouvent pas de transat et ils vont donc signifier aux offreurs qu’ils sont prêts à payer plus
cher pour pouvoir louer un transat. Ce faisant, les offreurs intègrent le signal et augmentent
leur prix. Certains touristes n’accepteront pas de payer plus cher et sortiront du marché
(déplacement le long de la courbe de demande vers la gauche en application de la loi de la
demande). D’autre part, les tenanciers seront ravis de louer les transats et ce prix plus élevé va
attirer d’autres tenanciers sur le marché (déplacement le long de la courbe d’offre vers la
droite en application de la loi de l’offre).
5 : le retour à l’équilibre s’opère, l’augmentation des prix persiste tant que la demande est
excédentaire. Elle s’arrête lorsque l’on atteint le nouvel équilibre au point E1 (P1, Q1), soit
lorsque l’offre égalise à nouveau la demande.
6 : au nouvel équilibre E1 (P1, Q1), la quantité offerte égalise de nouveau la quantité
demandée.
7 : effets prix-quantités : suite à l’internalisation du coût externe, le nouveau prix d’équilibre
est supérieur au prix initial et la quantité échangée a diminué.
c) Expliquez la différence entre les quantités de transats d’équilibre avant et après la hausse de
prix. Calculez également le coût total (pour la société dans son ensemble) estimé en euros de
la pollution avant et après la hausse de prix. (1 point)
On remarque graphiquement que le nouvel équilibre, soit l’optimum social, est à gauche de
l’équilibre de marché. En effet, l’effet externe est négatif et il y a donc surproduction à
l’équilibre initial : la quantité voulue par l’optimum social est celle pour laquelle le coût
marginal privé + coût marginal externe = avantage marginal privé (disposition à payer), elle
est inférieure à la quantité d’équilibre de marché puisqu’il faut ajouter le coût marginal
4
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
externe au coût marginal privé. La différence de quantité produite entre ces équilibres fait
apparaitre une inefficacité de marché.
Le coût total de la pollution totale est 3€ x 4 transats = 12 € à l’équilibre de marché et 3€ x 3
transats = 9€ à l’optimum social.
d) Imaginez que la hausse de prix permette en fait aux loueurs de transats de mettre en place
un système de sacs à déchets à côté de chaque transat. Expliquez l’effet sur le nombre de
transats loués, sur leur prix et sur la pollution totale. Expliquez à quelles conditions ce
système sera mis en place et citez la théorie que cela illustre. (1 point)
Le sac peut ramener la pollution à 0 tout en maintenant le nombre de transats à 3 et le prix du
transat à 9€ pour autant qu’il ne coûte pas plus de 3€ (par heure, par transat). Les quantités et
prix de transats correspondent à l’optimum social à coûts donnés, mais la pollution est
inférieure, ce qui est encore préférable. Le théorème de Coase dit que la solution la plus
efficace sera choisie si les coût de négociation sont faibles mais qu’elle se fera aux frais de
celui que le droit indique. Ici, il faudrait que la ville de Nice impose une taxe aux tenanciers
pour qu’ils installent les sacs. A défaut, c’est le pollué (la ville ?) qui paiera les sacs ou le
consommateur qui préférera les plages propres et chères aux plages sales et bon marché. (on
ne demande pas tout le détail des possibilités de Coase, mais on bonifie les bonnes réponses.
L’essentiel est de faire disparaitre la pollution).
Question 3 (3 points)
a) Définissez la loi de la demande. Quel est l’effet d’une diminution du revenu disponible des
consommateurs sur le prix et la quantité demandée (sous l’hypothèse que l’offre ne change
pas) ? La loi de demande est-elle remise en cause ? Expliquez. (1,5 points)
TACEPA et EG, plus le prix d’un bien est élevé, plus la quantité demandée du bien est faible,
et inversement.
Plus le revenu d’un consommateur diminue, moins il demandera d’un bien à prix donné (où
pour la même quantité il sera prêt à payer un prix inférieur).
Une diminution du revenu disponible du consommateur est un choc négatif de la demande
qui fait déplacer la demande vers la gauche et cause une diminution conjointe du prix et de
la quantité demandée. Il ne remet pas en cause la loi de la demande, car ici nous avons un
facteur diffèrent du prix (exogène) qui fait déplacer la demande : en effet, la condition
TACEPA, toute autre chose égale par ailleurs, n’est plus satisfaite, un des déterminants de la
demande qui diffère du prix vient de changer.
b) La fonction de demande d’un bien X est Q= 12-2P. Définissez en français et
algébriquement le concept d’élasticité de la demande par rapport au prix d’un bien X en un
point. Calculez et interprétez l’élasticité (en valeur absolu) de la demande au prix quand P =
2. (1,5 points)
5
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
L’élasticité de la demande par rapport au prix du bien X en un point (Q, P) est la variation en
pourcentage de la quantité demandée de X si le prix du bien X varie de 1%.
EOP= (∆Q/Q)/ (∆P/P), qu’on peut écrire comme :
EOP= (∆Q/∆P) *(P/Q), où (∆Q/∆P) est la peinte de la droite de demande (ou son inverse, vu
la convention des axes).
Quand P=2 Q 8
2
Elasticité en (8,2) = |2 ∗ − 8| = |− 0,5| = 0.5
Interprétation : si le prix augmente (diminue) de 1%, la quantité demandée de X diminue (
augmente) de 0,5%.
Question 4 (6 points)
Joe a acheté une concession (licence) pour récolter de l’or dans la rivière Goldcreek. Joe peut
vendre son or au prix donné par le marché mondial sur lequel lui n’a aucune influence.
Prudent, il décide de vendre sa récolte au jour le jour et il n’accumule pas de stock.
La licence coûte 320 dollars et permet 20 jours de récolte de pépites pendant un mois.
Pour se rendre à la rivière, Joe doit prendre un véhicule qui lui coûte 9 dollars par jour.
Chaque gramme d’or récolté rend la récolte du gramme suivant plus difficile, car Joe doit
aller plus loin ou plus profondément dans la rivière pour trouver la pépite suivante. Joe estime
que le coût marginal du gramme est de 8Q, et le coût de la récolte proprement dite, s’élève à
4Q², où Q est le nombre de grammes récoltés dans la journée.
Ceci donne la fonction de coût total CT(Q), de coût total variable CTV(Q), de coût marginal
Cm(Q), de coût moyen CM(Q) et de coût moyen variable CMV(Q) par jour de récolte :
CT(Q) = 16+9+4Q² = 25+4Q² , et CTV(Q) = 9+4Q²
Cm(Q) = 8Q
CM(Q) = 25/Q + 4Q , et CMV(Q) = 9/Q + 4Q
a) Expliquez pourquoi le coût marginal égale le coût moyen au minimum du coût moyen et
donnez-en une démonstration mathématique (en approximation discrète ou par dérivation
continue). (2 points)
Explication :
Le « marginal tire le moyen » : le coût marginal est la variation de coût total engendrée par
la production d’une unité supplémentaire, le coût moyen est la répartition du coût total sur
l’ensemble des unités produites : pour un nombre d’unités données, la variation du coût
moyen dépendra du coût marginal de l’unité qu’on veut ajouter : si ce coût est supérieur, il
entraine le coût moyen à la hausse, s’il est égal, le coût moyen reste constant et s’il est
inférieur, le coût moyen baisse. Sachant que le coût moyen est en forme de U puisque qu’il
débute avec un coût fixe important et fait face à un coût marginal croissant, la fonction aura
un minimum au point où Cm(Q)=CM(Q) , (la dérivé du Cm est positive).
Math :
Discrète :
CT(Q) = CM(Q)Q
CT(Q+1)= CT(Q) + Cm(Q)
CT(Q+1) = CM(Q)Q + Cm(Q) = CM(Q)(Q+1) – CM(Q) + Cm(Q)
CM(Q+1)(Q+1)=CM(Q)(Q+1) si CM(Q)=Cm(Q) : Coût moyen constant entre Q et Q+1
6
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
(on accepte aussi le raisonnement avec Q-1 au lieu de Q+1).
Dérivée1, continue : Mimimum quand
CM(Q)/Q = 0 donc 0 = (CT(Q)/Q)/Q = (1/Q²)(Cm(Q)Q-CT(Q)=(1/Q)(Cm(Q)-CM(Q)
Avec (1/Q)(Cm(Q)-CM(Q)=0 si Cm(Q) = CM(Q).
C’est un minimum si la dérivée seconde est positive.
b) Calculez le prix seuil du gramme d’or (et la quantité (en grammes) correspondante) auquel
Joe entre dans cette activité (astuce : gardez la quantité sous forme d’une fraction). (1 point)
La condition d’entrée est que le prix (concurrentiel) du gramme d’or soit au moins égal au
minimum de coût moyen total de l’activité 2 :
CM(Q) = 25/Q+4Q
Le minimum est trouvé quand CM(Q)=Cm(Q) donc 25/Q+4Q = 8Q ou 25=4Q² ou
Q=5/2=2,5.
CM(25/2,5)+4*2,5 = 10+10 = 20 : donc le prix3 du gramme d’or doit être 20 USD au moins.
c) Imaginons que le prix du gramme d’or chute de façon inattendue pendant la période de
validité de la licence. Calculez le prix sous lequel Joe renonce à une journée de récolte d’or.
Expliquez pourquoi ce prix est différent de celui qui était requis pour entrer dans l’activité (et
se procurer une licence). Expliquez pourquoi Joe pourra très difficilement revendre sa licence
en cas de chute du prix mondial de l’or. (2 points)
La condition de sortie est que le prix soit si bas qu’il ne couvre même plus le minimum de
coût moyen variable de l’activité :
CMV(Q)= 9/Q + 4Q
Le minimum est trouvé quand CMV(Q)=Cm(Q) donc 9/Q+4Q = 8Q ou 9=4Q² ou Q=3/2
CMV(3/2) = 6+6 = 12 : donc le prix4 du gramme d’or doit être 12USD.
Tout prix supérieur à 12 USD couvre les frais de déplacement et de travail et une partie des
frais fixes irrécupérable (ici frais de licence). C’est mieux que ne pas couvrir du tout les frais
de licence. La licence coute 16 USD par jour, mais c’est un coût fixe irréversible : il
détermine le seuil d’entrée (et la décision de le payer), mais quand il est payé, il n’affecte pas
le seuil de sortie.
1
Des réponses chiffrées ont également été admises. Dérivée de CM par rapport à Q, calcul de la valeur de Q* et
de CM(Q*) à la racine de la dérivée (CM(Q)/Q = 0), égalité entre CM(Q) et Cm(Q) pour Q*, tableau
d’analyse de la fonction pour Q<Q* et Q>Q*.
Le calcul de l’élasticité unitaire du coût total à la quantité produite a aussi été admis. A l’élasticité unitaire, 1%
d’augmentation de la quantité augmente le coût total d’1%, donc proportionnellement, donc le coût moyen est
constant. En effet CT(1+x)/Q(1+x) = CT/Q avec x = pourcentage d’augmentation. Or l’élasticité du coût total
est (CT(Q)/Q)(Q/CT(Q)) = Cm(Q)/CM(Q)=1  CM=Cm (CQFD).
2
On a aussi admis la condition que CT(Q) = RT(Q), avec RT(Q) = PQ et P=Cm=8Q en concurrence parfaite.
3
On vérifie qu’on obtient le même prix pour cette quantité par le coût marginal Cm(Q)=8Q = 8*5/2 = 20.
On vérifie qu’on obtient le même prix pour cette quantité par le coût marginal Cm(Q)=8Q = 8*3/2 = 12.
4
7
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
Prix de la licence est bien un coût irréversible : Il est plus que probable que le minimum de
coût moyen des autres producteurs soit proche de celui de Joe et qu’eux non plus n’aient pas
intérêt à entrer dans l’activité, et ne désirent donc pas acheter de licence.
d) Nommez les courbes et les droites sur le graphique ci-dessous et notez les prix et les
quantités trouvés aux sous-questions. (1 point)
P
CM = 25/Q + 4Q
Cm=8Q
CMV = 9/Q + 4Q
Seuil d’ENTREE
PA=20
A
PF=12
0
Seuil de SORTIE
F
QF=3/2
Q
QA=5/2
P
.
.
.
.
PA=
A
P F=
.
F
0
Q F=
Q
QA =
8
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
9
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
FEUILLE DE BROUILLON
10
NOM :
PRENOM:
ORIENTATION :
FEUILLE DE BROUILLON
11