OSCILLATIONS LIBRES DE

"Electrocinétique 2 PC"
Module HLPH612
Année 2014-2015
Licence de Physique – Chimie
L3 – S6
Responsable : Yves LACHAUD
ETUDE D’UN CABLE COAXIAL
Durée de l’épreuve : 2h00
Calculette et documents interdits.
Dans tout le problème, les grandeurs vectorielles sont notées en caractères gras, vous les
surlignerez systématiquement d’une flèche sur votre copie.
Il sera tenu compte dans la correction, du respect des notations proposées dans l’énoncé, de la
clarté des explications fournies et de la correction de l’expression écrite.
Ce problème étudie le fonctionnement d’un câble coaxial en régime continu (partie A) puis en
régime sinusoïdal établi (partie B).
Un câble est constitué de deux armatures métalliques coaxiales (axe Ox commun de vecteur
unitaire ux), séparés par un matériau isolant imparfait (Figure I) :
- l’armature interne (A1), ou âme, est un conducteur cylindrique plein, de conductivité 
et de rayon R1.
- l’armature externe (A2) est une enveloppe cylindrique pleine, conductrice, de
conductivité  et comprise entre les deux surfaces cylindriques coaxiales de rayons R2
et R3 (avec R2 < R3).
- La gaine d’isolant imparfait (G), de conductivité G, comprise entre les surfaces
cylindriques de rayons R1 et R2 (avec R1 < R2) sépare l’âme de l’armature externe.
Figure I
…/…
PARTIE A
I. Résistance d’un conducteur cylindrique d’axe Ox
Un conducteur cylindrique d’axe Ox, de section constante S, est le siège d’une densité de
courant j dirigée suivant ux (écoulement suivant Ox). En régime permanent d’écoulement des
charges électriques, le vecteur densité de courant j est supposé uniforme dans tout le volume
du conducteur. On note par ailleurs I le courant qui traverse une section droite du conducteur.
I.1. Donner l’expression de la densité de courant j en fonction du courant I et des
caractéristiques géométriques du conducteur.
Figure II
L’écoulement des charges électriques dans le conducteur est provoqué par l’application d’une
différence de potentiels : la section d’abscisse x = 0 du conducteur est maintenue au potentiel
V0 constant et on note V(x) le potentiel de la section d’abscisse x (voir Figure II).
I.2. Rappeler la relation qui existe entre le champ électrique E et le potentiel V(x).
On rappelle la relation qui existe entre la densité de courant j et le champ électrique E au sein
d’un conducteur de conductivité (loi d’Ohm locale) :
j =  E.
I.3. Déduire de ce qui précède que le potentiel V(x) obéit à l’équation différentielle
suivante :
dV(x)
I
.

dx
σ S
I.4. Exprimer le potentiel V(x) en fonction des grandeurs V0, I, , S et x.
I.5. En déduire la résistance R(x) du conducteur cylindrique compris entre les sections
d’abscisses x = 0 et x.
On suppose que les propriétés et résultats précédents sont directement applicables aux
armatures (A1) et (A2) du câble coaxial.
I.6. Exprimer, en fonction de  et R1, la résistance linéique 1 de l’âme (A1) du câble
coaxial (résistance par unité de longueur).
I.7. Déterminer, en fonction de , R2 et R3, la résistance linéique 2 de l’armature (A2) du
câble coaxial.
…/…
II. Résistance de la gaine d’isolant imparfait
Les armatures (A1) et (A2) sont considérées, uniquement dans ce paragraphe (§ A.II),
comme des conducteurs parfaits portés aux potentiels respectifs V1 et V2 (avec V1 > V2)
uniformes et constants.
La gaine d’isolant imparfait (G) comprise entre les deux armatures se comporte comme un
mauvais conducteur ohmique de faible conductivité G. La gaine « isolante » est donc
parcourue par un courant électrique de fuite IF. Le phénomène est à symétrie cylindrique et les
lignes de courant dans le matériau « isolant » sont radiales (donc orthogonales au vecteur ux).
Figure III
II.1. En supposant que l’intensité j(r) de la densité de courant dans le matériau « isolant »
ne dépend que de la distance r à l’axe Ox, déduire de la loi d’Ohm locale une relation
différentielle entre j(r) et V(r).
II.2. En choisissant une surface cylindrique d’axe Ox, de longueur ℓ et de rayon r
compris entre R1 et R2, relier l’intensité IF du courant de fuite à la densité de courant j(r).
II.3. En écrivant la différence de potentiels entre l’âme et l’armature du câble sous la
forme suivante :
(V1 – V2) = R IF,
déterminer en fonction des grandeurs G, ℓ, R1 et R2 la résistance R de la gaine d’isolant de
longueur ℓ.
II.4. Montrer que la résistance R d’une longueur ℓ de gaine « isolante » peut s’écrire sous
la forme suivante :
λ
R= G ,

Où G est une constante caractéristique du câble qui ne dépend que des propriétés électriques
G et géométriques (R1 et R2) de la gaine « isolante ».
…/…
III. Étude du câble coaxial
Les armatures conductrices ont à nouveau une conductivité  finie comme décrit au § A.I.
Dans le plan d’abscisse x = 0, la section de l’armature interne (A1) (disque de rayon R1) est
maintenue au potentiel V1(0) = V1 constant et la section de l’armature externe (A2) (couronne
circulaire) est maintenue au potentiel V2(0) = V2 constant, avec V1 > V2. Dans le plan
d’abscisse x, la section de l’armature (A1) se trouve au potentiel V1(x), et la section de
l’armature (A2) présente le potentiel V2(x). Par ailleurs, toujours dans le plan d’abscisse x, ces
sections sont traversées par des courants (lignes de courants parallèles à ux), de même
intensité i(x), mais de sens opposés (voir Figure IV). On note i(0) = i0, l’intensité constante
du courant dans (A1) et (A2), à l’abscisse x = 0.
Figure IV
III.1. En appliquant la loi des nœuds, exprimer en fonction de i(x) et i(x + dx) le courant
de fuite diF(x), dans la tranche de matériau « isolant » d’épaisseur dx. En déduire une relation
entre di(x) et diF(x).
III.2. En appliquant la loi d’Ohm, dans la tranche d’épaisseur dx de l’armature interne
(A1) de résistance linéique 1, établir l’équation différentielle E.1 liant V1(x) et i(x).
III.3. En appliquant la loi d’Ohm, dans la tranche élémentaire d’épaisseur dx de matériau
« isolant » (G), établir (en utilisant la relation obtenue en III.1) l’équation différentielle E.2
liant V1(x), V2(x), i(x) et la constante G.
III.4. En appliquant la loi d’Ohm, dans la tranche d’épaisseur dx de l’armature externe
(A2) de résistance linéique 2, établir l’équation différentielle E.3 liant V2(x) et i(x).
III.5. Montrer qu’en combinant les trois équations différentielles précédentes, on obtient
une équation différentielle du second ordre pour i(x) de la forme suivante :
d 2 i(x)
  2 i(x)  0.
2
dx
On exprimera  en fonction de 1, 2 et G.
…/…
Le câble est supposé de longueur infinie. L’intégration de l’équation différentielle précédente
conduit à l’expression suivante du courant i(x) :
i(x) = I1 exp(x) + I2 exp(+x),
où I1 et I2 sont deux constantes d’intégration.
III.6..Déterminer les constantes I1 et I2 en tenant compte des réalités physiques de
l’expérience. En déduire l’expression de i(x) en fonction de i0,  et x.
III.7. Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonction i(x).
On définit la différence de potentiels v(x) = V1(x) – V2(x).
III.8. Etablir l’expression de v(x) en utilisant l’équation E.2.
III.9. Dessiner l’allure de la courbe représentative de la fonction v(x).
La résistance caractéristique RC du câble coaxial de longueur infinie, est définie par le
rapport :
V1  V2
RC =
.
i0
III.10. Déterminer en fonction de 1, 2 et G la résistance caractéristique du câble RC.
IV. Modélisation simple du câble
Le câble peut être modélisé (à l’ordre n) par un dipôle A1A2. Le dipôle A1A2 est constitué par
une chaîne de n modules identiques comportant chacun trois résistors (de résistances
respectives R/2, 2R et R/2) branchée à son extrémité sur le dipôle X1X2, de résistance 2R
(voir respectivement les Figures V & VI ci-dessous pour les dipôles A1A2 d’ordre 1 et 2).
IV.1. Exprimer en, fonction de R, la résistance équivalente R1, dans le cas d’une chaîne
ne comportant qu’un seul module (Figure V).
Figure V
…/…
IV.2. Même question pour la résistance équivalente R2, dans le cas d’une chaîne à n = 2
modules (Figure VI).
Figure VI
IV.3. En déduire, sur le même principe, la résistance Rn d’une chaîne à n modules.
Le dipôle A1A2 est alimenté par une source idéale de tension constante V0 = (VA1 – VA2).
IV.4. Déterminer en fonction de V0 et R, la tension V1 = (VX1 – VX2), aux bornes du
résistor X1X2, dans le cas d’une chaîne ne comportant qu’un seul module (Figure V).
IV.5. Même question pour la tension V2, dans le cas d’une chaîne à n = 2 modules
(Figure VI).
IV.6. En déduire, sur le même principe, la tension Vn dans la cas d’une chaîne à n
modules.
IV.7. En déduire la valeur V∞ de la tension en bout de câble pour une chaîne de longueur
infinie (n → ∞).
…/…
PARTIE B
V. Câble coaxial en régime sinusoïdal établi
On se place dans l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS). Le câble est
alimenté par une source idéale de tension sinusoïdale de f.e.m. v(0,t) branchée en x = 0 entre
l’armature externe et l’âme du câble.
L’âme (A1) et l’armature externe (A2), qui présentent les résistances linéiques respectives 1
et 2 (.m-1) et les inductances propres linéiques respectives 1 et 2 (H.m-1), constituent un
condensateur de capacité linéique  (F.m-1). L’isolant imparfait (G) présente la conductivité
radiale linéique 1/G (-1.m-1).
A un instant t et à une abscisse x quelconques, i(x,t) est le courant qui circule dans les
armatures (A1) et (A2) et v(x,t) est la différence de potentiel entre ces deux armatures. Le
schéma électrique équivalent à une tranche élémentaire de ligne coaxiale, d’épaisseur dx, et
les conventions de mesure adoptées sont précisées sur la Figure VII ci-dessous :
V.1. Recopier la Figure VII sur votre copie. Compléter cette figure en attribuant à
chacun des dipôles la valeur de sa grandeur caractéristique, en fonction des données de
l’énoncé (1, 2, 1, 2, , G et dx).
Figure VII
V.2. Soient x et x+dx, les abscisses respectives des points M et P de l’armature (A1).
Relier la différence de potentiels u1(x,t) = VP – VM aux grandeurs i(x,t) et ∂i(x,t)/∂t.
V.3. Même question pour la différence de potentiels u2(x,t) = VQ – VN, les points N et Q
de l’armature (A2) ayant pour abscisses respectives x et x+dx.
V.4. Expliciter la différence des tensions v(x+dx,t) – v(x,t) en appliquant la loi des
mailles. En déduire une relation, notée (1), entre les grandeurs ∂v(x,t)/∂x , ∂i(x,t)/∂t et i(x,t).
…/…
Dans cette tranche élémentaire, la gaine (G) est caractérisée par une résistance de fuite
parcourue par le courant diR (Figure VII).
V.5. En écrivant la relation courant-tension pour cette résistance et en ne retenant que les
termes d’ordre supérieur, relier le courant élémentaire diR à la différence de potentiels v(x,t).
Cette tranche élémentaire de câble coaxial, est également caractérisée par une capacité
équivalente parcourue par le courant diC (Figure VII).
V.6. En écrivant de même la relation courant-tension pour cette capacité et en ne retenant
que les termes d’ordre supérieur, relier le courant élémentaire diC à ∂v(x,t)/∂t.
V.7. Expliciter la différence des courants i(x+dx,t) – i(x,t) en appliquant la loi des nœuds.
En déduire une relation, notée (2), entre les grandeurs ∂i(x,t)/∂x , ∂v(x,t)/∂t et v(x,t).
V.8. Dériver l’équation (1) par rapport à l’abscisse x, et l’équation (2) par rapport au
temps t. En déduire, après combinaison des relations obtenues, une équation différentielle (3)
du second ordre pour v(x,t). Cette équation traduit la propagation d’une onde de tension dans
le câble coaxial, c’est l’équation des télégraphistes.
A l’entrée de la ligne supposée relativement longue, en x = 0, est appliquée, entre l’âme et
l’armature externe, une tension sinusoïdale dont l’expression complexe est :
v(0,t) = V0 exp(jt).
En régime permanent établi, la tension complexe v(x,t) entre les armatures conductrices à
l’abscisse x, est de la forme générale suivante :
v(x,t) = V1 exp(x) exp[j(t  x)] + V2 exp(+x) exp[j(t  x)],
où  et  sont des constantes réelles positives et V1 et V2 des constantes d’intégration
dépendantes des conditions aux limites.
V.9. Déterminer les constantes V1 et V2 en tenant compte des réalités physiques de
l’expérience. En déduire l’expression de v(x,t) en fonction de V0, , , , x et t.
V.10. Donner l’expression réelle de la tension v(x,t). Quelles sont les principales
caractéristiques de cette onde de tension ?
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