TD09 Impedance caracteristique d un cable coaxial-corrige.

MP – Physique-chimie. Travaux dirigés
Jean Le Hir, 21 octobre 2007 Page 1 sur 3
Électromagnétisme : Impédance caractéristique d’un câble coaxial - corrigé
1. Montrer que ce câble présente une capacité linéique de valeur
( )
0 r
2 1
2
ln
C
R R
πε ε
=
En coordonnées cylindriques
(
)
, ,
r z
θ ayant pour axe O
z l’axe du câble, nous démontrerions simplement
que le champ électrique est radial et, par application du théorème de Gauss, nous trouverions l’expression
du champ électrique radial :
( )
1 1
0r
R
E e
r
σ
= θ
ε
où
1
σ
est la densité surfacique de charge portée par le cylindre intérieur.
Notons que la densité surfacique
2
σ
portée par la surface cylindrique opposée a une valeur différente de
1
σ
de telle sorte que la charge totale
2
Q
portée par la surface intérieure du conducteur extérieur soit,
conformément au théorème des éléments de surface correspondants, opposée à
1
Q
:
2 2 2 1 1 1
2 2 Q R Q R
= π σ = − = − π σ
soit
2 2 1 1
2
Q
R Rσ = − σ = −
π
Nous déterminons l’expression de la capacité linéique d’un tel condensateur en calculant l’opposé de la
circulation du champ électrique entre les deux armatures sur un parcours radial :
( )
1 1
2 2
1 1 1 2 2
1
0 0 1 0 1
ln ln
2
R R
r
R R
R R R
Q
U E r dr dr R
r R R
σ σ
= − = − = =
ε ε πε
∫ ∫
Soit
Q C
U
= avec
( )
0
2 1
2
ln
C
R R
πε
=
c.q.f.d
2. Déterminer l’énergie magnétique linéique d’un tel câble et en déduire que ce câble présente une
inductance linéique de valeur
0
2
1
1ln
2 4
R
L
R
µ
= +
π
Dans un tel environnement de courant, nous démontrerions1 simplement que le champ magnétique est
orthoradial et, par application du théorème d’Ampère, nous démontrerions l’expression du champ
magnétique orthoradial :
( )
( )
01
2
1
0
1 2
2
pour
2
pour
2
0 pour
Ir
B e r R
R
I
B e R r R
r
B r R
θ
θ
µ
= θ <
π
µ
= θ < <
π
= >
La densité volumique d’énergie magnétique a pour expression
2
m
0
2
=
µ
B
u et, dans un environnement de
symétrie cylindrique de révolution, l’intégrale de volume s’écrit :
( )
3
2
m0
0
12
2
R
B r r dr
θ
= × π
µ
∫
E
1 Ces démonstrations sont faites en cours et doivent être connues…

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Nous décomposons ce calcul en deux contributions :
1
1
22 2
4
0 0 0
m1 2 4
0
0 1 1 0
1 1 1
2
2 2 4 4 4 4
R
R
I I I
r r
r dr
R R
µ µ µ
= × π = = ×
µ π π π
∫
E
2
1
22
0 0
2
m2
0 1
1
2 ln
2 2 4
R
R
I I
R
r dr
r R
µ µ
= × π =
µ π π
∫
 E
Soit finalement :
2
0
2
m m1 m2
1
1ln
4 4
I
R
R
µ
= + = +
π
E E E
Par ce calcul, nous avons déterminé l’inductance par unité de longueur du câble coaxial :
20
2
m
1
1 1 ln
2 2 4
R
L
LI
R
µ
=⇒= +
π
E c.q.f.d.
3. Vérifier l’homogénéité de la formule physique
R L C
=, puis déterminer l’impédance du dipôle
électrique ci-dessous pour des fréquences très inférieures à la fréquence propre du circuit LC, définie
par la relation
2
0
1
LC
ω =
.
jL
ω
et
1
jC
ω
sont des impédances, chacune homogène à une résistance.
L
C
est la racine carrée de
leur produit, homogène par conséquent à une résistance.
Il est recommandé également de mémoriser le fait que le produit RC (constante de temps du circuit
RC) et le rapport
L
R
(constante de temps du circuit RL) sont homogènes à des temps. Le rapport RC
divisé par
L R
est donc sans dimension, ce qui nous conduit à la même conclusion :
[ ] [ ] [ ]
1 1
2 2
L C R
−
=
2
0 0
0
0
11
1
1
C
jL jC j
L
L
Z jL
C
C C C
jC jC j
L L L
ω ω
ω ω+ + − + +
ω ω
= ω+ = =  
ωω ω
ω+ ω+ +
ω
∼
4. En déduire l’impédance du dipôle constitué d’un grand nombre de cellules LC toutes identiques et
connectées en cascade, la ligne étant fermée par une résistance électrique de valeur
R L C
= :
Nous constatons que si la proposition est vraie pour
1
n
−
cellules ajoutées en cascade, elle est
également vraie pour
n cellules ajoutées. Par récurrence nous concluons que la proposition est vraie.
L
R
C
=
C
L

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5. Application numérique : Déterminer la capacité linéique, l’inductance linéique et l’impédance
caractéristique du câble coaxial suivant sachant que la permittivité relative du diélectrique a pour
valeur
r
2,3
ε =
. Cette impédance dépend-elle de la longueur du câble ?
Le câble coaxial peut être modélisé comme un montage « en cascade » de multiples cellules LC.
La perméabilité du vide a pour valeur numérique
7 2
0
4 10 N A
− −
µ = π× ⋅
, la vitesse de la lumière dans
le vide a pour valeur numérique
8 1
3,00 10 m s
c
−
= × ⋅
. La permittivité du vide
0
ε
, la perméabilité du
vide
0
µ
et la vitesse de la lumière dans le vide sont liés par la relation :
2
0 0
1
c
ε µ =
. Nous en
déduisons :
( )
11 1
0 r r
2
7 8
2
2 2
0
1 1
222 2,26
7,0 10 70 pF m
3,6
4 10 3 10 lnln ln 0,6
CR R
c
R R
− −
−
πε ε
πε
π×
= = = = × = ⋅
π× × ×µ
7
7 1
02
1
1 4 10 1 3,6
ln ln 4,1 10 0,41 H m
2 4 2 4 0,6
RL R
−
− −
µπ×  
= + = + = × = µ ⋅
π π  
et enfin :
7
11
4,1 10
76
7,1 10
L
RC
−
−
×
= = = Ω
×
Cette valeur est bien sûr indépendante de la longueur du câble. Toutefois, cela ne sera pas vrai pour un
câble réel pour lequel nous devrions tenir compte de l’existence de pertes par effet Joule dans le
cuivre et aussi dans le diélectrique qui n’est pas parfaitement isolant.
Note : La valeur de
75
Ω
est une valeur normalisée pour la transmission vidéo.
1
2 0,60 mm
R
=
2
2 3,6 mm
R
=