TD09 Impedance caracteristique d un cable coaxial-corrige.

MP – Physique-chimie. Travaux dirigés
Électromagnétisme : Impédance caractéristique d’un câble coaxial - corrigé
1. Montrer que ce câble présente une capacité linéique de valeur
2πε 0 ε r
C
=
ln ( R2 R1 )
En coordonnées cylindriques ( r , θ, z ) ayant pour axe Oz l’axe du câble, nous démontrerions simplement
que le champ électrique est radial et, par application du théorème de Gauss, nous trouverions l’expression
du champ électrique radial :
σ R E = 1 1 er ( θ )
ε0 r
où σ1 est la densité surfacique de charge portée par le cylindre intérieur.
Notons que la densité surfacique σ 2 portée par la surface cylindrique opposée a une valeur différente de
σ1 de telle sorte que la charge totale Q2 portée par la surface intérieure du conducteur extérieur soit,
conformément au théorème des éléments de surface correspondants, opposée à Q1 :
Q2 = 2πR2 σ2 = −Q1 = −2πR1 σ1
soit
R2 σ 2 = − R1 σ1 = −
Q
2π
Nous déterminons l’expression de la capacité linéique d’un tel condensateur en calculant l’opposé de la
circulation du champ électrique entre les deux armatures sur un parcours radial :
U =−
∫
R1
R2
Soit
Q C
= U
avec
Er ( r ) dr = −
∫
R1
R2
σ1 R1
σ
R
Q
R
dr = 1 R1 ln 2 =
ln 2
ε0 r
ε0
R1 2πε0 R1
2πε 0
C
c.q.f.d
=
ln ( R2 R1 )
2. Déterminer l’énergie magnétique linéique d’un tel câble et en déduire que ce câble présente une
R2 
L µ0  1
inductance linéique de valeur
=
 + ln 
2π  4
R1 
Dans un tel environnement de courant, nous démontrerions1 simplement que le champ magnétique est
orthoradial et, par application du théorème d’Ampère, nous démontrerions l’expression du champ
magnétique orthoradial :
 µ 0 I r  B = 2π R 2 eθ ( θ ) pour r < R1
1

µ0 I

eθ ( θ )
pour R1 < r < R2
B =
2π r
  B = 0
pour r > R2


2
B
La densité volumique d’énergie magnétique a pour expression um =
et, dans un environnement de
2µ 0
symétrie cylindrique de révolution, l’intégrale de volume s’écrit : Em =
1
1
2µ 0
∫
R3
0
Bθ ( r ) × 2πr dr
2
Ces démonstrations sont faites en cours et doivent être connues…
Jean Le Hir, 21 octobre 2007
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Nous décomposons ce calcul en deux contributions :
1
Em1 =
2µ 0
Em2
1
=
2µ 0
∫
R1
∫
R2
0
R1
2
R1
 µ0 I r 
µ0 I 2 1  r 4 
µ0 I 2
1
× 2πr dr =
4  =
×

2 
4π R1  4  0
4π
4
 2π R1 
2
 µ0 I 
µ0 I 2
R
ln 2

 × 2πr dr =
4π
R1
 2π r 
Soit finalement : Em = Em1 + Em2
µ0 I 2  1
R 
=
 + ln 2 
4π  4
R1 
Par ce calcul, nous avons déterminé l’inductance par unité de longueur du câble coaxial :
Em =
R2 
1 2
L µ0  1
LI ⇒
=
 + ln 
2
2π  4
R1 
c.q.f.d.
3. Vérifier l’homogénéité de la formule physique R = L C , puis déterminer l’impédance du dipôle
électrique ci-dessous pour des fréquences très inférieures à la fréquence propre du circuit LC, définie
par la relation LCω02 = 1 .
L
R=
C
L
C
1
sont des impédances, chacune homogène à une résistance.
jCω
leur produit, homogène par conséquent à une résistance.
jLω et
L
est la racine carrée de
C
Il est recommandé également de mémoriser le fait que le produit RC (constante de temps du circuit
L
RC) et le rapport
(constante de temps du circuit RL) sont homogènes à des temps. Le rapport RC
R
divisé par L R est donc sans dimension, ce qui nous conduit à la même conclusion :
1
[ L ] 2 [C ]

C
jLω  jC ω +
 +1
L
1

Z = jLω +
=
=
C
C
jC ω +
jC ω +
L
L
−
1
2
= [ R]
2
 ω
ω
−  + j
+1
ω0
 ω0 
∼
 ω
 C ω ω0
+ 1
j
 ω0  L
L
C
4. En déduire l’impédance du dipôle constitué d’un grand nombre de cellules LC toutes identiques et
connectées en cascade, la ligne étant fermée par une résistance électrique de valeur R = L C :
Nous constatons que si la proposition est vraie pour n − 1 cellules ajoutées en cascade, elle est
également vraie pour n cellules ajoutées. Par récurrence nous concluons que la proposition est vraie.
JLH 21/10/2007
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5. Application numérique : Déterminer la capacité linéique, l’inductance linéique et l’impédance
caractéristique du câble coaxial suivant sachant que la permittivité relative du diélectrique a pour
valeur ε r = 2,3 . Cette impédance dépend-elle de la longueur du câble ?
2 R2 = 3, 6 mm
2 R1 = 0, 60 mm
Le câble coaxial peut être modélisé comme un montage « en cascade » de multiples cellules LC.
La perméabilité du vide a pour valeur numérique µ 0 = 4π× 10−7 N ⋅ A −2 , la vitesse de la lumière dans
le vide a pour valeur numérique c = 3, 00 ×108 m ⋅ s −1 . La permittivité du vide ε 0 , la perméabilité du
vide µ 0 et la vitesse de la lumière dans le vide sont liés par la relation : ε 0µ 0 c 2 = 1 . Nous en
déduisons :
2π ε r
C 2πε 0 ε r
2π× 2, 26
=
=
=
= 7, 0 ×10−11 = 70 pF ⋅ m −1
2
R
R
3,
6
ln 2
µ 0 c 2 ln 2 4π× 10−7 × ( 3 ×108 ) ln
0, 6
R1
R1
L µ0  1
R2  4π× 10−7  1
3, 6 
=
+
ln
+ ln
= 4,1× 10−7 = 0, 41 µH ⋅ m −1

=

2π  4
R1 
2π  4
0, 6 
et enfin : R =
L
4,1×10−7
=
= 76 Ω
C 7,1× 10−11
Cette valeur est bien sûr indépendante de la longueur du câble. Toutefois, cela ne sera pas vrai pour un
câble réel pour lequel nous devrions tenir compte de l’existence de pertes par effet Joule dans le
cuivre et aussi dans le diélectrique qui n’est pas parfaitement isolant.
Note : La valeur de 75 Ω est une valeur normalisée pour la transmission vidéo.
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