sujet 39

Étude d'un dipôle R, L,C série
On considère le circuit suivant :


R
1
i

0
E
L

u
2
q
C
Dans ce circuit : C = 1 µF

L = 40 mH
R = 100 
E=6V

On notera u et u les dérivées successives de u par rapport à t.
On notera 0 la pulsation de résonance série du dipôle R, L, C considéré, et m 
R
.
2 L 0
1) Réponse du dipôle R,L,C série à un échelon de tension
À la date t = 0, le condensateur portant une charge nulle, on fait passer le commutateur de la position
0 à la position 1.
a)
Donner les relations entre q et u, entre q et i et entre i et u.
b)
Établir l'équation différentielle vérifiée par u(t) avec les paramètres E, R, L et C, puis avec E, 0 et
m.
c)
Calculer 0, m et la valeur RC de R qui correspondrait au régime transitoire critique pour les valeurs
de L et de C données. Le régime transitoire du circuit considéré est-il apériodique ou pseudopériodique ?
d)
Donner l'allure du graphe de u(t).
2) Régime propre du dipôle R,L,C série
Au bout d'un temps suffisamment long pour que le régime transitoire puisse être considéré comme
terminé, à un instant que l'on prendra comme nouvelle origine des dates t, on fait passer le commutateur de
la position 1 à la position 2.
a)
Quelles sont les valeurs de u et de i à la date t = 0 ?
b)
Quelle est l'équation différentielle dont u(t) est solution ?
c)
Montrer que la solution réelle générale de cette équation différentielle s'écrit :
u  e t [A cos(t )  B sin(t )]
Exprimer , , A et B avec m et 0 et calculer ces valeurs numériquement pour le circuit considéré.
d)
Montrer que l'on peut aussi mettre u(t) sous la forme :
u  Ke t cos(t  )
Exprimer K avec E et , et tan avec m,  et 0.
e)
En déduire une expression de i(t) sous une forme semblable à celle de u(t) établie au d).
f)
Donner sur un même diagramme l'allure des graphes de Ke t et de u(t).
3) Bilan énergétique
a)
Quelle énergie électrocinétique U0 a été engendrée dans la source de tension E pendant que le
commutateur était fermé en position 1 ? On exprimera le résultat avec C et E.
b)
Quelle énergie électromagnétique totale U1 (électrostatique et magnétostatique) est accumulée dans
L et C au moment où l'on bascule le commutateur sur la position 2 ? Qu'est devenue la différence U0 - U1 ?

c)
Exprimer, avec u, u , L et C, l'énergie électromagnétique totale U accumulée dans le condensateur et

dans la bobine et sa dérivée U par rapport à t.
d)
À partir de l'instant où l'on a basculé le commutateur sur la position 2, démontrer, en utilisant

l'équation différentielle du circuit, que U s'écrit aussi, plus simplement, avec R et i. Quelle est la
signification de la relation obtenue ? Que devient finalement l'énergie U1 ?
4) Simulation d'une résistance négative
Le montage suivant comporte un amplificateur opérationnel dont le gain différentiel est infini en
régime linéaire. Sa tension de sortie maximale est VM = 13,75 V. On a donc :
 = 0 à condition que vS  ]- VM ; + VM[ (fonctionnement linéaire),
sinon, vS = + VM pour  > 0 et vS = - VM pour  < 0 (saturation en tension).
Les intensités des courants entrant dans l'amplificateur opérationnel par les entrées inverseuse et non
inverseuse sont nulles.
Les valeurs des résistances du montage sont : R0 = 100  et R1 = 1 k.
L'alimentation de l'amplificateur opérationnel est représentée sur le schéma par deux sources de
tension de même f.é.m. U = 15 V.
i
A

R1
-

is

v
+
R1
vs
i1
U
i
U
R0

B
vS
avec les résistances R0 et R1, puis appliquer la loi d'Ohm
v
pour obtenir la relation entre i, R1, v et vS. En déduire la relation entre v et i qui montre que le dipôle AB se
comporte comme une résistance négative dont on exprimera la valeur avec les résistances du montage.
b)
Exprimer avec i les intensités i1 et iS ainsi que l'intensité totale qui entre dans l'amplificateur
opérationnel par les bornes d'alimentation.
c)
Pour quelles valeurs absolues de v et de i atteint-on la saturation de l'amplificateur opérationnel ? On
donnera les résultats littéralement avec VM et les résistances R0 et R1, puis numériquement.
d)
Établir les équations donnant v en fonction de i, avec les paramètres R0, R1 et VM permettant de
tracer le graphe de v en fonction de i sur tout l'intervalle [–18 mA ; + 18 mA ]. Tracer ce graphe et celui de
vS sur un même diagramme, avec pour échelles : 1cm pour 1 mA et 1 cm pour 1 V.
e)
Le dipôle AB est inséré dans le circuit du 1) comme il est indiqué sur le schéma ci-dessous :
a)
En régime linéaire, exprimer le rapport


1
L
i

E
R

0
u
2

B
C

A
Le régime permanent étant atteint, avec le commutateur en position 1, on met celui-ci en position 2 à
la date t = 0. Quel type de régime propre obtient-on ?
Exprimer u en fonction de t avec E et 0 et donner l'allure du graphe correspondant.
D'où provient l'énergie électrocinétique dissipée dans la résistance R ?
5) Filtre passe-bande
On revient au circuit initial dans lequel la source de tension fournit maintenant une f.é.m. alternative

sinusoïdale e, de pulsation . On pose x 
0
Le commutateur est en position 1 depuis un temps suffisamment long pour qu'un régime permanent
se soit établi. On note respectivement E et U les amplitudes complexes de e et de u.
U
a)
Établir l'expression de la fonction de transfert H ( j ) 
avec les paramètres R, L et C.
E
En déduire les expressions de H(jx), de son module H(x), de son argument (x) et du gain en
R
décibels G avec m 
comme seul paramètre.
2 L 0
b)
Montrer que, suivant les valeurs de m, H(x) est monotone ou admet un maximum.
On note HM la valeur maximale, GM le gain en décibels correspondant et xM la valeur de x
correspondante. Exprimer HM, puis GM, en fonction de xM.
c)
À quel type de filtre correspond le cas où m a la valeur calculée au 1)c) ? Étudier complètement et
tracer le diagramme de Bode représentant G en fonction de log(x) pour cette valeur de m. (On donnera en
particulier les coordonnées du maximum et des points correspondant aux coupures).
d)
Tracer sur le même diagramme le graphe de GM en fonction de log(xM).
e)
Calculer numériquement la largeur de la bande passante en hertz pour la valeur de m considérée.
f)
Étudier complètement et tracer le diagramme de Bode représentant  en fonction de log(x) pour
cette même valeur de m.
g)
Démontrer que ce diagramme possède une symétrie pour toute valeur de m.