Étude d'un dipôle R, L,C série
On considère le circuit suivant :
Dans ce circuit : C = 1 µF L = 40 mH R = 100 E = 6 V
On notera
et
les dérivées successives de u par rapport à t.
On notera 0 la pulsation de résonance série du dipôle R, L, C considéré, et
.
1) Réponse du dipôle R,L,C série à un échelon de tension
À la date t = 0, le condensateur portant une charge nulle, on fait passer le commutateur de la position
0 à la position 1.
a) Donner les relations entre q et u, entre q et i et entre i et u.
b) Établir l'équation différentielle vérifiée par u(t) avec les paramètres E, R, L et C, puis avec E, 0 et
m.
c) Calculer 0, m et la valeur RC de R qui correspondrait au régime transitoire critique pour les valeurs
de L et de C données. Le régime transitoire du circuit considéré est-il apériodique ou pseudopériodique ?
d) Donner l'allure du graphe de u(t).
2) Régime propre du dipôle R,L,C série
Au bout d'un temps suffisamment long pour que le régime transitoire puisse être considéré comme
terminé, à un instant que l'on prendra comme nouvelle origine des dates t, on fait passer le commutateur de
la position 1 à la position 2.
a) Quelles sont les valeurs de u et de i à la date t = 0 ?
b) Quelle est l'équation différentielle dont u(t) est solution ?
c) Montrer que la solution réelle générale de cette équation différentielle s'écrit :
u e A t B t
t
[ cos( ) sin( )]
Exprimer , , A et B avec m et 0 et calculer ces valeurs numériquement pour le circuit considéré.
d) Montrer que l'on peut aussi mettre u(t) sous la forme :
Exprimer K avec E et , et tan avec m, et 0.
e) En déduire une expression de i(t) sous une forme semblable à celle de u(t) établie au d).
f) Donner sur un même diagramme l'allure des graphes de
et de u(t).
3) Bilan énergétique
a) Quelle énergie électrocinétique U0 a été engendrée dans la source de tension E pendant que le
commutateur était fermé en position 1 ? On exprimera le résultat avec C et E.
b) Quelle énergie électromagnétique totale U1 (électrostatique et magnétostatique) est accumulée dans
L et C au moment où l'on bascule le commutateur sur la position 2 ? Qu'est devenue la différence U0 - U1 ?