NUMERATION

NUMERATION
Dénombrement, combinatoire, logique :
 : « inter » = point jonction de 2 ensembles
 : « union » = total de 2 ensembles
 : « inclus dans » = un ensemble est entièrement inclus dans un autre
 : « appartient à »
 : ensemble vide
Ensemble disjoint : pas d’éléments à l’intersection de 2 ensembles => AB=
Cardinal d’un ensemble : nb d’éléments de cet ensemble => Card(A) = 6
Nombres entiers : N, entiers relatifs : Z
N = 0, 1, 2, 3, 4 … = N
Aspect ordinal/cardinal
Chiffres (utilisés pour écrire les nombres) ≠ nombres
Nombres entiers relatifs = … -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 … = Z
Critères de divisibilité : un nombre est divisible par :
- 2 si le chiffre des unités est pair
-5 si le chiffre des unités est 0 ou 5
-3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3
-9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9
-4 si nb formé par ses 2 derniers chiffres est divisible par 4
-12 si ses deux derniers chiffres sont 00, 25, 50 ou 75
Nombres premiers : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…
Décomposition d’un nb en facteurs 1er permet de trouver tous les diviseurs de ce nb
Propriétés des nb 1er :
-la somme de 2 nombres 1er multiples de a est multiple de a
-si a est multiplie de b et b multiple de c, alors a est multiple de c
-si nb 1er a divise bc et si a ne divise pas b, alors a divise c
Présentent une période constituée soit de 0 soit de 9 (12 = 12,00000…= 11,99999…)
Nombres rationnels : Q
a/b, a et b 2 nb entiers relatifs et b non nul => quotient de 2 entiers
a = numérateur, b = dénominateur
a/b = c/d si ad = bc
Nb rationnel non décimal présente une période à partir d’un certain rang (sauf période de 0 ou de 9)
Rendre a/b (positifs) irréductible : diviser a et b par leur PGCD
Ramener 2 fractions au même dénominateur, le plus petit possible = leur PPCM
Passage écriture fractionnaire à une écriture décimale :
-rationnel décimal : division euclidienne numérateur/dénominateur en allant au-delà virgule en descendant
des 0 jusqu’à ce que reste = 0
-rationnel non décimal : recherche d’une écriture illimitée et périodique : idem, mais on sait que l’on a atteint
toute la période lorsqu’un reste partiel se répète
Passage d’une écriture décimale à une écriture fractionnaire irréductible :
-rationnel décimal : écriture à virgule finie : si n chiffres après virgule => multiplication par 10n, nb obtenu
sera numérateur, 10n le dénominateur => simplification si nécessaire
-rationnel non décimal : repérer début période de n => multiplication par une puissance de 10 pour faire
passer toute période dans partie entière = N => N – n = partie entière. Partie décimale = puissance de 10
utilisée – 1 => simplification si nécessaire
Nombres décimaux : D
Fraction décimale = fraction dont dénominateur = puissance positive ou nulle de 10
Nombre décimale = nb pouvant s’écrire sous forme fraction décimale
Partie entière/partie décimale
Nombre rationnel d est décimal s’il existe un entier naturel n tel que d x 10n = nb entier relatif
Nb décimal = nb rationnel pouvant s’écrire N/2nx5p
Si dénominateur fraction irréductible a/b est divisible par un nb 1er autre que 2 ou 5 alors elle ne représente
pas un nb décimal.
Infinité de décimaux entre 2 décimaux => pas de prédécesseurs ni successeurs
Présentent une période constituée à partir d’un certain rang de 0 ou de 9
Nombres réels : R
Réels = nb rationnels + nb irrationnels
Irrationnels : ne sont pas quotients de 2 entiers => s’écrivent pas sous forme fraction
Irrationnels ne présentent pas de période après virgule
NZDQR
Systèmes de numération :
Romaine : système de numeration additif
I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500, M = 1000
IV = 4, IX = 9, XL = 40, XC = 90, CD = 400, CM = 900
Surlignement = multiplication par 1000
Numération positionnelle : base 4, 16 (informatique), 10 (la nôtre)
Numération hybride : association 2 séries de symbole (numération sino-japonaise, notre numération
parlée…)
Arithmétique :
Prouver qu’un nb est 1er :
-petit nb : essayer diviser n par nb 1er qui lui sont inférieurs, critères de divisibilité connus, calculatrice
-grd nb : n est 1er s’il n’est divisible par aucun nb 1er < √n
Recherche des diviseurs de n entier naturel : décomposition de n en facteurs 1er => ses diviseurs ne
comporteront que ces facteurs (mais pas forcément tous), exposant qui les affectent ne dépasseront pas ceux
qui affectent facteurs de la décomposition de n => réalisation d’un arbre
Nombre de diviseurs d’un entier naturel : produit des exposants des facteurs de la décomposition de n
additionné de 1 (n = 504 = 23 x 32 x 7 => (3 + 1) x (2 + 1) x (1 + 1) = 4 x 3 x 2 = 24 diviseurs)
Ensemble des diviseurs de p et q = ensemble des diviseurs de leur PGCD.
Calcul du PGCD de p et q :
- décomposition en facteurs 1er de p et q => PGCD = produit des facteurs communs à p et q élevés à la plus
faible puissance
- si p > q => PGCD(p ; q) = PGCD (q ; p-q) => calcul de la différence jusqu’à ce que q = p-q = PGCD
- algorithme d’Euclide : si p > q => division euclidienne p/q => p = q x a + r => division de q/r, puis de r par
dernier reste obtenu… jusqu’à ce que r = 0, et PGCD = dernier diviseur
Nombres 1er entre eux (étrangers) : PGCD = 1 (1 seul diviseur commun) => si p et q sont diviseurs de n et 1er
entre eux => produit p x q = diviseur de n
Calcul du PPCM de p et q : décomposition en facteurs 1er => PPCM = produit tous les facteurs rencontrés
éventuellement élevés à la plus forte des puissances rencontrées
=> tout multiple de p et q est un multiple de leur PPCM ; p x q = PPCM x PGCD