Fiches méthodes de mathématiques pour le brevet des
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FICHES METHODES DE MATHEMATIQUES POUR LE BREVET DES COLLEGES Chapitre 1 ARITHMETIQUE I. Multiples et diviseurs Quels que soient les entiers –a- et –b- 0 : -b- est diviseur de -aéquivaut à a/b est entier On dit : -b- divise –a-a- est multiple de –b-a- est divisible par –b- Quel que soit l’entier –a-, a=1xa II. Plus Grand Diviseur Commun de 2 entiers Le PGDC de 2 entiers –a- et –b- non nuls est l’entier le plus grand qui divise à la fois –a- et –b-. Il est noté PGDC (a ; b). Un PGDC est toujours supérieur ou égal à 1. PGDC (a ;b)=1 équivaut à –a- et –b- sont premiers entre eux. Le PGDC de 2 entiers –a- et –b- divise aussi leur différence * Pour calculer le PGDC ont utilise l’ algorithme d’Euclide : on divise l’entier le plus grand par l’entier le plus petit puis l’entier le plus petit par le reste de la précédente division jusqu'à obtenir 0. Le PGDC est alors le diviseur de la division dont le résultat est 0. On peut le vérifier en divisant les entiers par le PGDC trouvé. Les résultats doivent être des entiers premiers entre eux. * III. Fractions irréductibles Une fraction irréductible ne peut pas être réduite : a irréductible équivaut à –ab et –b- premiers entre eux Pour rendre une fraction irréductible on divise numérateur et dénominateur par leur PGDC. Chapitre 2 RACINES CARREES I. Définition : racine carrée d’un positif La racine carrée d’un nombre positif –a- est le nombre positif noté a tel que : a x a = a = (a)2 Liste des carrés : 0=0 ; 1=1 ; 4=2 ; 9=3 ; 16=4 ; 25=5 ; 36=6 ; 49=7 ; 64=8 ; 81=9 ; 100=10 ; 121=11 ; 144=12 ; 169=13 ; 196=14 ; 225=15 . II. Calculs Pour –a- supérieur ou égal à 0 , a2 = a Racine d’un carré : Produit de 2 racines carrées : Simplification : Quotient : Quels que soient les positifs –a- et –b- : a b Quels que soient les positifs –a- et –b- : a x b = a x b Ex : 300 = 100x3 = 100x3 = 10x3 = 103 300 à été simplifiée : on a extrait de sous la racine le plus grand carré possible qui divise 300 = a . b III. Avec la distributivité Ex 1 : 4+9 = 2+3 = 5 a+b a+b et 4+9 = 13 3,6 25 Conséquence : 2+5 n’est pas simplifiable Ex 2 : 23+53 = 2x3 + 5x3 = (2+5) x 3 = 7x3 = 73 Ex 3 : 32 + 8 = 3x2 + 4x2 = 3x2 + 2x2 = 52 Chapitre 3 THEOREME DE THALES I. Rappel : Dans un triangle Hypothèse : ABC triangle quelconque M sur AB tel que (MN)//(BC) N sur AB Conclusion : Les côtés de AMN sont proportionnels aux côtés de ABC : AM AB = AN AC =MN . BC II. Enoncé définitif Si A,M,B alignés A,N,C alignés (MN) //(BC) Alors AM = AN = MN . AB AC BC Ex : Calcul de AC avec : AM=1,4 ; AB=2,7 ; AN=2,9 . AM = AN = 1,4 = 2,9. AC= 2,9 x 2,7 5,6 AB AC 2,7 AC 1,4 III. Réciproque du théorème de Thalès Si Alors Ex : A,M,B alignés A,N,C alignés dans le même ordre AM = AN . AB AC (MN) //(BC) Hypothèse : O,M,J alignés O,N,I alignés dans le même ordre OM/OJ = ON/OI = 7/11 Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, on a : (MN)//(IJ). Chapitre 4 EGALITES REMARQUABLES I. Carré d’une somme, d’une différence Carré d’une somme: Quels que soient les entiers –a- et –b- : ( a + b )2 = a2 + 2ab +b2 carré du 1erterme double produit carré du 2emeterme Carré d’une différence : Quels que soient les entiers –a- et –b- : ( a - b )2 = a2 - 2ab +b2 Carrés précédés de + , double produit précédé de -. II. Différence de deux carrés Quels que soient –a-et –b- : ( a + b )( a – b) = a2 – b2 III. Factorisation Factoriser, c’est transformer une somme en un produit qui lui est égal. a2-b2 = (a+b)(a-b) a2-2ab+b2 =(a-b)2 a2+2ab-b2 =(a-b)2 Avec un facteur commun : Quels que soient –a-, -b- et –c- : a2-2ab+b2 =(a-b)2 = (b-a)2 axb + axc = ax(b+c) Facteur commun Chapitre 5 TRIGONOMETRIE I. Les 3 relations trigonométriques Quel que soit l’angle aigu - Cos. - Sin. : = Côté adjacent à . Hypoténuse = Côté opposé à . Hypoténuse - Tan. Les 3 relations trigonométriques = Côté opposé à . Côté adjacent à II. Relations entre ces fonctions Quel que soit l’angle aigu (Cos. : Quel que soit l’angle aigu )2 + (Sin. )2 = 1 Cos.2 + Sin.2 = 1 Sin. Cos. . = Tan. III. Valeurs particulières Angle 0° 30° 45° 60° 90° Sin. 0 1 Cos. 1 0 Tan. 0 1 Tr. isocèle 1/2 tr. équilatéral / : Chapitre 6 SYSTEMES De 2 équations à 2 inconnues I. Vocabulaire Dans un système, l’accolade indique que x et y désignent les mêmes valeurs. Pour conclure un système on dit que : Le couple ( ? ; ?) est solution du système. Enfin, pour la résolution, isoler une des inconnues et la substituer, c’est à dire, remplacer la valeur inconnue par le résultat trouvé précédemment II. Mise en équation 1) Choix des inconnues : x et y par exemple 2) Mise en système de 2 équations : 1°équilibre et 2° équilibre = Système: 3) Résolution : résolution puis conclusion (le couple (? ; ?) est solution) 4) Retour à l’énoncé : x= ? et y= ? puis vérification du système en remplaçant x et y par leur valeur respectives dans le premier système. Rappel PUISSANCES (mode Sci = 3xmode+2+9) a1=a ; ex: 101 = 10 a0 = 1 ; ex:100 = 1 am x an = am x n ; ex: 10-2 x 107 = 10-2+7 = 105 am/an = am-n ; ex: 103 /105 = 103-5 = 102 (am)n = am x n ; ex: (103)2 = 103 x2 = 106 am x bm = (ab)m am / bm = (a/b)m Chapitre 7 EQUATIONS du 2° degrés INEQUATIONS et I. Equations du 2° degrés Type AxB = O : Si AxB =O , alors A=0 ou B=0 Type x2= a , a donné admet : Si a>0 , 2 solutions : a et -a. Si a=0 , 1 solution : x=0. Si a<0 , PAS de solution II. Inéquations Si a>b, alors a+c > b+c a-c > b-c Si a>b et c>0, alors axc > bxc et c<0, alors axc < bxc Quand on multiplie (ou divise) les 2 membres d’une inégalité par un négatif, l’inégalité change de sens. L’ensemble des solutions est représenté par une demi-droite : 0 1 2 x>2 : x<2 : x2 : x2 : 0 1 0 1 0 1 ] 2 [ 2 [ ] 2 Rappels DROITES REMARQUABLES Médiatrice : La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu. C’est un axe de symétrie du segment. Les 3 médiatrices d’un triangles sont concourantes en un point qui est le centre du cercle circonscrit à ce triangle. Hauteur : Dans un triangle on appelle hauteur une droite qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé. Les 3 hauteurs d’un triangle sont concourantes en un point appelé l’orthocentre. Médiane : Dans un triangle on appelle médiane un segment qui joint un sommet au milieu du côté opposé. Les 3 médianes d’un triangle son concourantes en un point appelé centre de gravité de ce triangle. Bissectrice : La bissectrice d’un angle est la droite qui le partage en deux angles de même mesure. C’est l’axe de symétrie de l’angle. Les 3 bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point qui est le centre du cercle inscrit de ce triangle. PERIMETRES / AIRES Triangle : P=C1+C2+C3 A=base x hauteur 2 Rectangle : P=(L x l) x 2 A=L x l Disque : P=2πR (ou π x R x 2) A=π R2 (ou π x R x R) Carré : P=C x 4 A= C2 THEOREME DE PYTHAGORE THEOREME : Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l’angle droit. OU Si ABC triangle rectangle en A, alors BC2 = AB2+AC2 RECIPROQUE : Si dans un triangle, le carré d’un côté est égal à la somme des carrés des autres côtés, alors ce triangle est rectangle et son hypoténuse est le plus grand côté. Chapitre 8 Angles inscrits I. Définition Un angle inscrit à son sommet sur le cercle, ses côtés coupent le cercle. Un angle inscrit intercepte un arc de cercle. Un angle au centre à son sommet au centre du cercle. Un angle au centre intercepte un arc de cercle. II. Propriété PROPRIETE 1 : Quand un angle inscrit et un angle au centre interceptent le même arc, l’angle au centre mesure le double de l’angle inscrit. PROPRIETE 2 : Quand deux angles inscrits interceptent le même arc, ils sont égaux. III. Polygones réguliers Un polygone est régulier quand : - tous ses côtés ont la même longueur, - tous ses sommets sont sur le même cercle. Soit AOB angle au centre interceptant un côté de la figure, avec n nombre de côtés : AOB = 360° n IV. Rotations *Une - rotation est définie par : un centre O un sens ou un angle de rotation α *M’ image de M vérifie : MO=M’O et MOM’=α dans le sens indiqué. *L’image d’un cercle est un cercle de même rayon. *L’image d’une droite, d’un segment ou d’une demi-droite se fait par rapport à 2 points construits sur cette droite, segment ou demi-droite. Chapitre 9 Coordonnées et distances I. Distance de 2 points Pour calculer une distance AB on soustrait l’abscisse la plus petite à l’abscisse la plus grande (AB = Abscisse le plus grande – Abscisse la plus petite) car une distance est toujours positive. Dans un repère orthonormé on peut utiliser le théorème Pythagore : Quels que soient A(x a ; y a) et B(x b ; y b) : AB = (x a ; y a)2 + (x b ; y b) 2 II. Milieu d’un segment Pour calculer le milieu d’un segment, on divise par 2 l’addition des deux abscisses dans un premier temps, puis l’addition des deux ordonnées : Quels que soient A(x a ; y a) et B(x b ; y b), M milieu de [AB] à pour coordonnées : xM=xa+xb et yM=ya+yb 2 2 Chapitre 10 vecteurs I. Coordonnées d’un vecteurs Pour calculer les coordonnées d’un vecteur on soustrait les coordonnées de l’origine au coordonnées de l’extrémité (coord. extrémité – coord. origine) : AB (xB – xA ; yB – yA) Deux vecteurs ayant les mêmes coordonnées sont égaux. Deux vecteurs égaux forment un parallélogramme : AB = CD équivaut à : ABDC parallélogramme . II.Vecteurs sans coordonnées Un vecteur AB est défini par : * une direction (ex : une droite (AB)) * un sens (ex : de A vers B) * une longueur (ex : AB) Deux vecteurs égaux ont la même direction, le même sens et la même longueur. Milieu d’un segment : M milieu de AB équivaut à AM = MB. AB et BA ont la même direction et la même longueur. Mais ils sont de sens contraire : ce sont des vecteurs opposés : AB et BA sont opposés : BA = - AB. III. Somme de 2 vecteurs La translation de vecteur AB, suivie de la translation de vecteur BC est une translation : la translation de vecteur AB + BC. Relation de Chasles : Quels que soient A, B et C : AB + BC = AC La somme de 2 vecteurs opposée est le vecteur-nul, noté 0. Règle du parallélogramme : AB + AC = AD Tel que : D est le 4è sommet du parallélogramme ABDC. On peut changer l’ordre des termes d’une somme de vecteurs : AB + AC = AC + AB. Chapitre 11 fonctions I. Fonctions linéaires Une fonction linéaire f est de la forme : F(x) = a x, avec a donné. Une fonction linéaire est représentée par : Une droite passant par 0, avec : X en abscisse ; y = F(x) en ordonnée. F(x) est l’image de x par la fonction f. II. Fonctions affines Une fonction affine f est de la forme : F(x) = a x + b, avec a et b donnés. Une fonction affine est représentée par une droite : F(x) = a x + b (= coef. direc. de la droite + la droite coupe (OJ) au point (o ;b)) Une fonction linéaire est un cas particuliers de fonction affine : quand b = 0. Au point d’intersection : Y = f(x) = g (x) = ordonnée du point d’intersection. Equation d’inconnue x Abscisse du point d’intersection. Une fonction constante f est de la forme : f(x) = b avec b donné. Sa représentation graphique est une droite parallèle à (OI). Les parallèles à (OJ) ne représentent pas des fonctions affines. III. Applications augmenter x de 5% : x + 5% de x= x + 5/100 X x = x X 1 + 0,05 X x = (1 +0,05) X x = 1,05 x diminuer x de 5% : x –5% de x = 1 X x – 0,05 x = (1 - 0,05) x = 0,95 x Pour v constante, v = d/t ; d = v X t . La distance est une fonction linéaire du temps. Chapitre 12 : espace I. Prismes droits Un prisme droit est composé de : - 2 faces superposables (bases) : elles sont parallèles - faces rectangulaires ( faces latérales) - arêtes latérales (de la même longueur qui est la hauteur du prisme) Le volume d’un prisme droit quel qu’il soit : Vprisme droit =Aire de la base X hauteur = B X h Un cylindre de révolution est composé de : - 2 faces qui sont des disques de même rayon (bases) - une face latérale courbe, perpendiculaire aux bases Périmètre de la base = 2 r ( 1 dimension) Aire de la base = r2 ( 2 dimensions) Volume = B X h = r2 h ( 3 dimensions) II. Pyramides et cônes Vcône = r2 h 3 Vpyramide = B X h 3 Lorsque l’on coupe le haut d’une pyramide ou d’un cône, par un plan parallèle à la base, on obtient une section. La section obtenue, s’appelle une réduction de la base. Pour III. calculer l’échelle : A l’échelle k : Les longueurs sont multipliées par k Les aires sont multipliées par k2 Les volumes sont multipliés par k3 K< 1 = réduction k> 1 = agrandissement Sphère et autres sections Vsphère = 4R3 3 (Sphère = creux ; Boule = vide) Asphère = 4R2 La section d’une sphère par un plan est un cercle (Bouledisque). La terre est une boule d’environ 64000 km de rayon. On peut aussi réaliser une section de pavé ou de cube (on peut retrouver des longueurs à l’aide du théorème de Pythagore). La section d’un cylindre plein forme un disque, celle d’un cylindre vide, un cercle ; la section parallèle à l’axe du cylindre forme un rectangle.
