Fiches méthodes de mathématiques pour le brevet des

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MA AT TH HE EM MA AT TI IQ QU UE ES S P PO OU UR R L LE E B BR RE EV VE ET T
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Chapitre 1
ARITHMETIQUE
I. Multiples et diviseurs
Quels que soient les entiers –a- et –b-  0 :
On dit :
Quel que soit l’entier –a-, a=1xa
II. Plus Grand Diviseur Commun de 2 entiers
Le PGDC de 2 entiers –a- et –b- non nuls est l’entier le plus grand qui divise à la
fois –a- et –b-.
Il est noté PGDC (a ; b). Un PGDC est toujours supérieur ou égal à 1.
PGDC (a ;b)=1 équivaut à –a- et –b- sont premiers entre eux.
Le PGDC de 2 entiers –a- et –b- divise aussi leur différence
* Pour calculer le PGDC ont utilise l’ algorithme d’Euclide : on divise l’entier le
plus grand par l’entier le plus petit puis l’entier le plus petit par le reste de la
précédente division jusqu'à obtenir 0. Le PGDC est alors le diviseur de la division
dont le résultat est 0. On peut le vérifier en divisant les entiers par le PGDC
trouvé. Les résultats doivent être des entiers premiers entre eux. *
III. Fractions irréductibles
Une fraction irréductible ne peut pas être réduite :
Pour rendre une fraction irréductible on divise numérateur et dénominateur par
leur PGDC.
-b- est diviseur de -a-
équivaut à a/b est entier
 -b- divise –a-
 -a- est multiple de –b-
 -a- est divisible par –b-
irréductible équivaut à –a-
et –b- premiers entre eux
a
b

Chapitre 2
RACINES CARREES
I. Définition : racine carrée d’un positif
La racine carrée d’un nombre positif –a- est le nombre positif noté a tel que :
a x a = a = (a)2
Liste des carrés :
0=0 ; 1=1 ; 4=2 ; 9=3 ; 16=4 ; 25=5 ; 36=6 ; 49=7 ; 64=8 ;
81=9 ; 100=10 ; 121=11 ; 144=12 ; 169=13 ; 196=14 ; 225=15 .
II. Calculs
 Racine d’un carré : Pour –a- supérieur ou égal à 0 , a2 = a
 Produit de 2 racines carrées :
 Simplification :
 Quotient : Quels que soient les positifs –a- et –b- : =  .
III. Avec la distributivité
Ex 1 : 4+9 = 2+3 = 5 et 4+9 = 13  3,6  25
a+b  a+b Conséquence : 2+5 n’est pas simplifiable
Ex 2 : 23+53 = 2x3 + 5x3 = (2+5) x 3 = 7x3 = 73
Ex 3 : 32 + 8 = 3x2 + 4x2 = 3x2 + 2x2 = 52
Quels que soient les positifs –a- et –b- :
a x b = a x b
Ex : 300 = 100x3 = 100x3 = 10x3 = 103
300 à été simplifiée : on a extrait de sous la racine
le plus grand carré possible qui divise 300
a
b
a
b

Chapitre 3
THEOREME DE THALES
I. Rappel : Dans un triangle
Hypothèse :
Conclusion : Les côtés de AMN sont proportionnels aux côtés de ABC :
II. Enoncé définitif
Si
Ex : Calcul de AC avec : AM=1,4 ; AB=2,7 ; AN=2,9 .
= = = . AC=  5,6
III. Réciproque du théorème de Thalès
Si
Alors (MN) //(BC)
Ex : Hypothèse :
Donc d’après la réciproque du théorème de Thalès, on a : (MN)//(IJ).
ABC triangle quelconque
M sur AB
N sur AB
 tel que (MN)//(BC)
 A,M,B alignés
 A,N,C alignés
 (MN) //(BC)
Alors = = .
= = .
AM
AB
AN
AC
MN
BC
AM
AB
AN
AC
MN
BC
AM AN 1,4 2,9
AB AC 2,7 AC
2,9 x 2,7
1,4
 A,M,B alignés
 A,N,C alignés dans le même ordre
 = .
AM AN
AB AC
 O,M,J alignés
 O,N,I alignés dans le même ordre
 OM/OJ = ON/OI = 7/11

Chapitre 4
EGALITES REMARQUABLES
I. Carré d’une somme, d’une différence
 Carré d’une somme: Quels que soient les entiers –a- et –b- :
 Carré d’une différence : Quels que soient les entiers –a- et –b- :
II. Différence de deux carrés
Quels que soient –a-et –b- : ( a + b )( a – b) = a2 – b2
III. Factorisation
Factoriser, c’est transformer une somme en un produit qui lui est égal.
 a2-b2 = (a+b)(a-b)
 a2-2ab+b2 =(a-b)2
 a2+2ab-b2 =(a-b)2
 Avec un facteur commun : Quels que soient –a-, -b- et –c- :
( a + b )2 = a2 + 2ab +b2
carré du
1erterme
carré du
2emeterme
double
produit
( a - b )2 = a2 - 2ab +b2
Carrés précédés de + , double produit
précédé de -.
a2-2ab+b2 =(a-b)2 = (b-a)2
axb + axc = ax(b+c)
Facteur commun