Etude expérimentale d`une bobine 6pts

Correction : TERMINALES S – DS n°4
Exercice 1 : Etude expérimentale d’une bobine ( 10 points ) ( 55 minutes )
1 - Détermination expérimentale de l'inductance L de la bobine
On réalise le circuit électrique représenté ci-dessous (figure 1) comprenant un GBF, une bobine de résistance
r et d'inductance L et une résistance R = 1,0104  montés en série.
voie 1
i
L, r
u1
R
u2
système
d'acquisition
GBF
voie 2
Figure 1
Le GBF délivre une tension alternative triangulaire (tension en dents de scie) de fréquence f = 1,0 kHz .
Un système d'acquisition de données relié à un ordinateur permet d'afficher à l'écran les variations en
fonction du temps de la tension uL(t) aux bornes de la bobine et de l'intensité i(t) du courant qui circule dans
le circuit (figure 2).
Figure 2
1.1. Vérifier à l'aide de la figure 2 que la fréquence du GBF est effectivement réglée sur 1,0 kHz.
Le GBF délivre une tension alternative triangulaire: le courant i(t) qui circule dans le circuit est triangulaire.
Entre les points C et B du graphe i(t) on a une période de i(t) telle que :
T = 1,6 – 0,60 = 1,0 ms =1,010–3 s.
1
Or la fréquence f est reliée à T par: f =
T
1
= 1,0103 Hz = 1,0 kHz.
1, 0 10 3
( 1 : 0,5 pour T puis 0,5 pour f )
donc: f =
1.2. Quelle est l'expression de la tension mesurée sur la voie 2 du système d'acquisition ? En déduire les
opérations que devra effectuer le logiciel de traitement des données pour afficher l'intensité à l'écran.
Compte tenu du sens du courant choisi, la loi d'Ohm donne : u2 = – R.i
Pour afficher l'intensité i à l'écran, il faut créer une nouvelle variable définie par i = – u2 / R.
On indiquera au logiciel de traitement des données i = – (u2 / 1,0104 ) .
( 0,5 )
1.3. Exprimer la tension uL aux bornes de la bobine en fonction des caractéristiques de la bobine, de
di
l'intensité i du courant et de sa dérivée
.
dt
La tension uL aux bornes de la bobine est égale à la tension u1. Compte tenu du sens du courant on a:
di
uL = r.i + L.
dt
( 0,5 )
1.4.1. Sur la figure 2, la représentation graphique de la fonction i(t) montre qu'en réalité, les crêtes de
l'intensité sont arrondies. Dans ces conditions, la tangente au sommet est horizontale.
En déduire une expression simplifiée de uL quand l'intensité dans le circuit est extrémale.
di
Quand l'intensité dans le circuit est extrémale le terme
est nul et donc: uL = r.i.
dt
( 0,5 )
A la lecture de i(t) pour t = 1,6 ms, que peut-on dire de r ?
Par lecture, on observe que uL  0 V pour t=1,6 ms donc r est très faible.
( 0,5 )
1.5. On néglige dans la suite le terme faisant intervenir r dans l'expression de uL ainsi que les arrondis des
crêtes de l'intensité.
di
À partir de la demi-période comprise entre les points C et D de la figure 2, mesurer uL , calculer
et en
dt
déduire la valeur de L.
Entre les points C et D, on mesure: uL = 0,200 V . (attention échelle à droite)
di
i i D  iC

D'autre part:

dt
t t D  t C
di [400 _ ( _ 400)] 10

_
dt
(1,1_ 0, 6) 10 3
_6

8, 00 10
0,5 10
_4
_3
= 1,6 A.s–1 (avec 2 chiffres significatifs.)
( 1 valeur et unité )
On néglige le terme faisant intervenir r dans l'expression de uL donc: uL = L.
On en déduit donc la valeur de L,
di
dt
0, 200
L=
= 0,125 H = 0,13 H
1, 6
L = uL /
( 0,5 )
2 - Constante de temps d'un circuit RL
di
dt
En réalité, la valeur de r est de 12 .
La bobine est maintenant montée en série avec une résistance R' = 100  aux bornes d'un générateur idéal de
tension de f.e.m. E = 6,5 V (figure 3).
Le système d'acquisition permet de suivre l'évolution de l'intensité du courant dans le circuit en fonction du
temps. La fermeture de l'interrupteur à l'instant t = 0 déclenche l'acquisition. L'enregistrement obtenu est
représenté sur la figure 4.
K
i
L, r
système
d'acquisition
de données
E
R'
u
Figure 3
i(t)(mA)
I en régime permanent
60
50
40
30
20
10
0
1
2
3
4
Figure 4
5
6
7
t (ms)
2.1. Établir l'expression donnant l'intensité du courant en régime permanent en fonction des caractéristiques
du circuit.
La loi d'additivité des tensions donne:
E = uL + u
E = r.i + L.
di
+ R'.i
dt
En régime permanent, l'intensité du courant est constante (donc
di
= 0 ) et égale à sa valeur maximale notée
dt
I.
( 0,5 )
L'expression précédente devient
E = r.I + R'.I
E = (r + R').I
E
Donc: I =
(r + R ' )
(1)
2.2. Vérifier que la valeur de l'intensité du courant en régime permanent obtenue sur le graphe de la
figure 4 est en accord avec les données de l'énoncé.
Graphiquement, sur la figure 4, pour le régime permanent, on lit I légèrement inférieure à 60 mA.
6,5
Par le calcul on a: I =
= 5,8.10-2 A = 58 mA
(12  100)
Les deux valeurs sont donc en accord.
(1)
2.3.1. Rappeler l'expression de la constante de temps d'un dipôle RL.
La constante de temps du circuit RL est :  =
L
R Totale
=
L
R'  r
( 0,5 )
2.3.2. Déterminer graphiquement sa valeur en faisant figurer la méthode utilisée sur la figure 5 en annexe à
rendre avec la copie.
On peut déterminer graphiquement la valeur de  en utilisant la méthode de la tangente à l'origine: la tangente
à l'origine coupe l'asymptote horizontale I = 58 mA en un point d'abscisse t = .
On lit:  = 1,1 ms.
( 0,5 )
i(t) (mA)
60
50
40
30
20
10
I en régime permanent
remarque:
En utilisant la constante de temps du circuit RL :
 = L / (r + R') = 0,125 / 112 = 1,116.10-3 s  1,1 ms (avec valeur de L calculée au 1.5. non arrondie)
On vérifie donc bien que les deux valeurs de  sont en accord.
2.4. La résistance R' est en réalité une résistance réglable. On lui donne maintenant la valeur 150 .
2.4.1. Calculer la nouvelle intensité du courant en régime permanent.
I'=
E
(r + R ' )
Avec R' = 150  : I' =
6,5
= 4,010–2 A = 40 mA.
162
( 0,5 )
2.4.2. Calculer la constante de temps du nouveau dipôle RL.
L
r
0,125
' =
= 7,710–4 s = 0,77 ms
162
( 0,5 )
' =
R'
2.4.3. Représenter avec soin la courbe représentant l'évolution de l'intensité du courant en fonction du temps
i = f(t) sur la figure 5 en annexe, à rendre avec la copie.
Vous utiliserez une couleur différente pour cette nouvelle courbe et prendrez soin d’utiliser les calculs des
questions 2.4.1 et 2.4.2 .
( 1 :  et  ou  )
Afin de tracer la nouvelle courbe représentative de i=f(t), nous allons procéder ainsi:
 Tracer l'asymptote horizontale I ' = 40 mA,
 Placer le point de coordonnées (t = 5' = 3,9ms ; i = I' = 40 mA),
 Placer le point de coordonnées ( t = ' = 0,8 ms ; i = 0,63I' = 25 mA)
 Utiliser la tangente à l'origine déjà représentée sur la figure 5.
E
E
E
En effet l'expression théorique de i(t) est : i(t) =
. (1 – e–t/) ou i(t) =
–
.e–t/
(R  r)
(R  r) (R  r)
E
di
1
La dérivée a pour expression
=–
– .e–t/
(R  r) 
dt
L
avec  =
Rr
E
di
R+r –t/
alors
=

.e
dt ( R  r )
L
di E –t/
= .e
dt
L
Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de i=f(t) à la date t = 0 s a pour expression
E
 di 
:  =
donc ce coefficient n'est pas modifié si seule la valeur de R change.
 dt t 0 L
i(t) (mA)
I en régime permanent
60
50
I ' en régime permanent
40
30
i = 0,63.I'
20
10
0
1
2
3
t = '
4
t =5 '
5
6
7
t (ms)
Figure 5
Exercice 2 : Dipôles RC et RLC ( 5,5 points ) ( 35 minutes )
On considère le circuit électrique comportant un générateur de tension continue de f.é.m E = 6 V, un
condensateur de capacité C, une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, deux conducteurs
ohmiques de résistance R et deux interrupteurs K et K’(voir figure 1).
On utilise un dispositif informatisé d'acquisition de données qui permet de visualiser sur la voie 1 la tension
u1 aux bornes du condensateur en fonction du temps.
A – Première expérience
Dans cette expérience, on ferme K (en maintenant K’ ouvert). Le dipôle (R,C) est alors soumis à un échelon
de tension de valeur E.
1. Quel est le nom du phénomène observé sur la voie 1 à la fermeture de K ?
A la fermeture de l’interrupteur, le condensateur se charge. On observe un régime transitoire (u1 ne passe
pas immédiatement de 0 à 6V).
( 0,5 )
2. Reproduire sur la copie la partie de circuit concernée et indiquer sur ce schéma, juste après la fermeture de
l’interrupteur K, le sens du courant, le signe des charges de chacune des armatures du condensateur.
Indiquer la flèche-tension u1 aux bornes du condensateur.
+q
uR
u1
i
+
E
Voir figure ci-dessus :
( 0,5 ) +q
( 0,5 ) i et u1
3. Sur la voie 1, on obtient la courbe de la figure 2 ci-dessous
Déterminer graphiquement, la constante de temps  du dipôle (R,C) en expliquant la méthode utilisée.
Sachant que R = 20 , en déduire la valeur de la capacité C.
Pour u1 = 0,63E = 3,8 V, on a t = 
Soit  = 0,4 ms
On peut tracer la tangente à la courbe en t =0s,
elle coupe l'asymptote horizontale en t = .
( 0,5 )
C=

R

0,4.10 3
 20F
20
( 0,5 )
4. L'étude théorique du dipôle(R,C) conduit à l’équation différentielle  Error!+ u1 = E .
a) Retrouver cette équation différentielle en appliquant la loi d'additivité des tensions
D’après la loi d’additivité des tensions:
on a E = u1 + uR
dq
Soit E = u1 + R×i
or i =
et q = C×u1
dt
du
Il vient E = u1 + R×C 1
on retrouve l’équation différentielle proposée avec  = R×C
dt
(1)

b) Compte tenu des conditions initiales, la solution de cette équation est de la forme
t

 
u1 = E .   1  e    . Calculer la valeur de u1 pour t = 5. Conclure.
 
 
5  


u1 = E .  1  e    = E (1 – e–5) = 0,99×E = 5,96 V

 
On peut considérer que pour une durée égale à 5, le condensateur est chargé.
Pour t = 5, on a :
( 0,5 )
B – Deuxième expérience
Une fois la première expérience réalisée, on ouvre K puis on ferme K’. Le circuit est alors le siège
d'oscillations électriques. On utilise le mène dispositif informatisé d'acquisition de données pour visualiser,
sur la voie 1, la tension u1 aux bornes du condensateur et sur la voie 2, la tension u2 aux bornes du conducteur
ohmique R. L'acquisition est synchronisée avec la fermeture de l'interrupteur. On obtient les courbes de la
figure 3 :
1. Attribuer à chaque courbe de la figure 3 la tension correspondante en justifiant brièvement pour une courbe
seulement.
A t = 0 s, quand on ferme l’interrupteur K', le condensateur est chargé donc u1 = E = 6 V ; la courbe 1
représente u1 et la courbe 2 u2. (à t = 0s, i =0 donc u2 = 0 V)
( 0,5 )
2. Mesurer la pseudo-période T des oscillations. Calculer la période propre correspondant au cas où les
résistances R sont négligeables. Conclure.
Sur la courbe trois pseudo-périodes correspondent à (80–5) = 75 ms, donc T = 25 ms
( 0,5 )
T0 = 2 LC  2 0,8  20.10 6 =25 ms
La pseudo-période et la période propre sont égales, l’effet des résistances est donc négligeable sur la valeur
de T.
( 0,5 )
Exercice 3 : Dosage pH-métrique de l'acide ascorbique contenu dans un comprimé de
vitamine C ( 4,5 points ) ( 25 minutes )
Un comprimé de vitamine C non tamponnée contient de l'acide ascorbique C6H806 que l'on se propose de
doser. l'acide ascorbique, dont la masse molaire est 176 g.mol-1, a pour base conjuguée l'ion ascorbate.
À 25° C, le pKa du couple acide ascorbique/ion ascorbate est 4,2. On note ce couple AH/A- par
commodité… On rappelle aussi la valeur du pKe qui est de 14.
On dissout le comprimé de vitamine C dans de l'eau distillée de manière à obtenir 200 mL de solution S. On
prélève 50,0 ml de solution S et on procède au dosage pH-métrique par une solution de soude ( contenant les
ions hydroxydes HO- ) de concentration molaire apportée cB = 2,00 . 10-2 mol·L-1. On trace la courbe pH =
f(vB) , reproduite document 1, où vB désigne le volume de soude versé.
Partie A
A.1. Écrire l'équation chimique associée à la transformation du système chimique .
Les deux couples considérés lors de ce dosage sont :
AH/A- : AH = H+ + AH2O/HO- : HO- + H+ = H2O
La réaction est donc : AH + HO- = H2O + A( 0,5 )
A.2. À quelles conditions - supposées réalisées par la suite - cette transformation peut-elle permettre le
dosage?
La réaction doit être totale, rapide et unique pour permettre le dosage.
( 0,5 ; 0,25 si seulement 2 )
A.3. Exprimer le quotient de réaction Qr correspondant à la transformation servant de dosage.
Qr = [A-]/[ AH].[ HO-]
( 0,5 )
A.4. Comment note-t-on la valeur de Qr à l'équilibre ? La calculer.
Qr,eq = K = [A-]eq/[ AH]eq.[ HO-]eq
( 0,5 )
Or, en multipliant en haut et en bas par [ H3O+], on obtient :
Qr,eq = K =
[A-]eq[ H3O ] eq
[ AH]eq.[ HO-] eq .[ H3O ]eq
D’où K = Ka / Ke
K =109,8
( 0,5 )
Partie B
B.1. Exploiter l'équivalence pour déterminer la quantité de matière apportée d'acide ascorbique dans 50,0 ml
de solution S.
Par la méthode des tagentes, on peut déterminer Veq = 36 mL.
( 0,5 )
L’équivalence est le moment où l’avancement xequiv est tel que les deux réactifs sont limitants en même
temps :
Ici : nacide initial - xequiv = 0 et nsoude versé - xequiv = 0
D’où : xequiv = nsoude versé = nacide initial
Soit nacide dans 50mL = CB . Veq
D’où nacide dans 50mL = 0,036 x 0,02
A.N. : nacide dans 50mL = 0,00072 mol
( 0,5 )
B.2. En déduire la masse m d'acide ascorbique contenue dans un comprimé de vitamine C. Justifier
l'appellation « Vitamine 500 ».
nacide dans 50mL = 0,00072 mol
donc nacide dans 200mL = 0,00072 x 4 = 0,00288 mol
( 0,5 )
donc macide dans un comprimé = n . M
A.N. : macide dans un comprimé = 0,00288 x 176 = 0,506 g = 506 mg
Il y a 506 mg de vitamine C dans un comprimé d’où son nom.
( 0,5 )
Veq