Correction : TERMINALES S – DS n°4 Exercice 1 : Etude expérimentale d’une bobine ( 10 points ) ( 55 minutes ) 1 - Détermination expérimentale de l'inductance L de la bobine On réalise le circuit électrique représenté ci-dessous (figure 1) comprenant un GBF, une bobine de résistance r et d'inductance L et une résistance R = 1,0104 montés en série. voie 1 i L, r u1 R u2 système d'acquisition GBF voie 2 Figure 1 Le GBF délivre une tension alternative triangulaire (tension en dents de scie) de fréquence f = 1,0 kHz . Un système d'acquisition de données relié à un ordinateur permet d'afficher à l'écran les variations en fonction du temps de la tension uL(t) aux bornes de la bobine et de l'intensité i(t) du courant qui circule dans le circuit (figure 2). Figure 2 1.1. Vérifier à l'aide de la figure 2 que la fréquence du GBF est effectivement réglée sur 1,0 kHz. Le GBF délivre une tension alternative triangulaire: le courant i(t) qui circule dans le circuit est triangulaire. Entre les points C et B du graphe i(t) on a une période de i(t) telle que : T = 1,6 – 0,60 = 1,0 ms =1,010–3 s. 1 Or la fréquence f est reliée à T par: f = T 1 = 1,0103 Hz = 1,0 kHz. 1, 0 10 3 ( 1 : 0,5 pour T puis 0,5 pour f ) donc: f = 1.2. Quelle est l'expression de la tension mesurée sur la voie 2 du système d'acquisition ? En déduire les opérations que devra effectuer le logiciel de traitement des données pour afficher l'intensité à l'écran. Compte tenu du sens du courant choisi, la loi d'Ohm donne : u2 = – R.i Pour afficher l'intensité i à l'écran, il faut créer une nouvelle variable définie par i = – u2 / R. On indiquera au logiciel de traitement des données i = – (u2 / 1,0104 ) . ( 0,5 ) 1.3. Exprimer la tension uL aux bornes de la bobine en fonction des caractéristiques de la bobine, de di l'intensité i du courant et de sa dérivée . dt La tension uL aux bornes de la bobine est égale à la tension u1. Compte tenu du sens du courant on a: di uL = r.i + L. dt ( 0,5 ) 1.4.1. Sur la figure 2, la représentation graphique de la fonction i(t) montre qu'en réalité, les crêtes de l'intensité sont arrondies. Dans ces conditions, la tangente au sommet est horizontale. En déduire une expression simplifiée de uL quand l'intensité dans le circuit est extrémale. di Quand l'intensité dans le circuit est extrémale le terme est nul et donc: uL = r.i. dt ( 0,5 ) A la lecture de i(t) pour t = 1,6 ms, que peut-on dire de r ? Par lecture, on observe que uL 0 V pour t=1,6 ms donc r est très faible. ( 0,5 ) 1.5. On néglige dans la suite le terme faisant intervenir r dans l'expression de uL ainsi que les arrondis des crêtes de l'intensité. di À partir de la demi-période comprise entre les points C et D de la figure 2, mesurer uL , calculer et en dt déduire la valeur de L. Entre les points C et D, on mesure: uL = 0,200 V . (attention échelle à droite) di i i D iC D'autre part: dt t t D t C di [400 _ ( _ 400)] 10 _ dt (1,1_ 0, 6) 10 3 _6 8, 00 10 0,5 10 _4 _3 = 1,6 A.s–1 (avec 2 chiffres significatifs.) ( 1 valeur et unité ) On néglige le terme faisant intervenir r dans l'expression de uL donc: uL = L. On en déduit donc la valeur de L, di dt 0, 200 L= = 0,125 H = 0,13 H 1, 6 L = uL / ( 0,5 ) 2 - Constante de temps d'un circuit RL di dt En réalité, la valeur de r est de 12 . La bobine est maintenant montée en série avec une résistance R' = 100 aux bornes d'un générateur idéal de tension de f.e.m. E = 6,5 V (figure 3). Le système d'acquisition permet de suivre l'évolution de l'intensité du courant dans le circuit en fonction du temps. La fermeture de l'interrupteur à l'instant t = 0 déclenche l'acquisition. L'enregistrement obtenu est représenté sur la figure 4. K i L, r système d'acquisition de données E R' u Figure 3 i(t)(mA) I en régime permanent 60 50 40 30 20 10 0 1 2 3 4 Figure 4 5 6 7 t (ms) 2.1. Établir l'expression donnant l'intensité du courant en régime permanent en fonction des caractéristiques du circuit. La loi d'additivité des tensions donne: E = uL + u E = r.i + L. di + R'.i dt En régime permanent, l'intensité du courant est constante (donc di = 0 ) et égale à sa valeur maximale notée dt I. ( 0,5 ) L'expression précédente devient E = r.I + R'.I E = (r + R').I E Donc: I = (r + R ' ) (1) 2.2. Vérifier que la valeur de l'intensité du courant en régime permanent obtenue sur le graphe de la figure 4 est en accord avec les données de l'énoncé. Graphiquement, sur la figure 4, pour le régime permanent, on lit I légèrement inférieure à 60 mA. 6,5 Par le calcul on a: I = = 5,8.10-2 A = 58 mA (12 100) Les deux valeurs sont donc en accord. (1) 2.3.1. Rappeler l'expression de la constante de temps d'un dipôle RL. La constante de temps du circuit RL est : = L R Totale = L R' r ( 0,5 ) 2.3.2. Déterminer graphiquement sa valeur en faisant figurer la méthode utilisée sur la figure 5 en annexe à rendre avec la copie. On peut déterminer graphiquement la valeur de en utilisant la méthode de la tangente à l'origine: la tangente à l'origine coupe l'asymptote horizontale I = 58 mA en un point d'abscisse t = . On lit: = 1,1 ms. ( 0,5 ) i(t) (mA) 60 50 40 30 20 10 I en régime permanent remarque: En utilisant la constante de temps du circuit RL : = L / (r + R') = 0,125 / 112 = 1,116.10-3 s 1,1 ms (avec valeur de L calculée au 1.5. non arrondie) On vérifie donc bien que les deux valeurs de sont en accord. 2.4. La résistance R' est en réalité une résistance réglable. On lui donne maintenant la valeur 150 . 2.4.1. Calculer la nouvelle intensité du courant en régime permanent. I'= E (r + R ' ) Avec R' = 150 : I' = 6,5 = 4,010–2 A = 40 mA. 162 ( 0,5 ) 2.4.2. Calculer la constante de temps du nouveau dipôle RL. L r 0,125 ' = = 7,710–4 s = 0,77 ms 162 ( 0,5 ) ' = R' 2.4.3. Représenter avec soin la courbe représentant l'évolution de l'intensité du courant en fonction du temps i = f(t) sur la figure 5 en annexe, à rendre avec la copie. Vous utiliserez une couleur différente pour cette nouvelle courbe et prendrez soin d’utiliser les calculs des questions 2.4.1 et 2.4.2 . ( 1 : et ou ) Afin de tracer la nouvelle courbe représentative de i=f(t), nous allons procéder ainsi: Tracer l'asymptote horizontale I ' = 40 mA, Placer le point de coordonnées (t = 5' = 3,9ms ; i = I' = 40 mA), Placer le point de coordonnées ( t = ' = 0,8 ms ; i = 0,63I' = 25 mA) Utiliser la tangente à l'origine déjà représentée sur la figure 5. E E E En effet l'expression théorique de i(t) est : i(t) = . (1 – e–t/) ou i(t) = – .e–t/ (R r) (R r) (R r) E di 1 La dérivée a pour expression =– – .e–t/ (R r) dt L avec = Rr E di R+r –t/ alors = .e dt ( R r ) L di E –t/ = .e dt L Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de i=f(t) à la date t = 0 s a pour expression E di : = donc ce coefficient n'est pas modifié si seule la valeur de R change. dt t 0 L i(t) (mA) I en régime permanent 60 50 I ' en régime permanent 40 30 i = 0,63.I' 20 10 0 1 2 3 t = ' 4 t =5 ' 5 6 7 t (ms) Figure 5 Exercice 2 : Dipôles RC et RLC ( 5,5 points ) ( 35 minutes ) On considère le circuit électrique comportant un générateur de tension continue de f.é.m E = 6 V, un condensateur de capacité C, une bobine d'inductance L et de résistance négligeable, deux conducteurs ohmiques de résistance R et deux interrupteurs K et K’(voir figure 1). On utilise un dispositif informatisé d'acquisition de données qui permet de visualiser sur la voie 1 la tension u1 aux bornes du condensateur en fonction du temps. A – Première expérience Dans cette expérience, on ferme K (en maintenant K’ ouvert). Le dipôle (R,C) est alors soumis à un échelon de tension de valeur E. 1. Quel est le nom du phénomène observé sur la voie 1 à la fermeture de K ? A la fermeture de l’interrupteur, le condensateur se charge. On observe un régime transitoire (u1 ne passe pas immédiatement de 0 à 6V). ( 0,5 ) 2. Reproduire sur la copie la partie de circuit concernée et indiquer sur ce schéma, juste après la fermeture de l’interrupteur K, le sens du courant, le signe des charges de chacune des armatures du condensateur. Indiquer la flèche-tension u1 aux bornes du condensateur. +q uR u1 i + E Voir figure ci-dessus : ( 0,5 ) +q ( 0,5 ) i et u1 3. Sur la voie 1, on obtient la courbe de la figure 2 ci-dessous Déterminer graphiquement, la constante de temps du dipôle (R,C) en expliquant la méthode utilisée. Sachant que R = 20 , en déduire la valeur de la capacité C. Pour u1 = 0,63E = 3,8 V, on a t = Soit = 0,4 ms On peut tracer la tangente à la courbe en t =0s, elle coupe l'asymptote horizontale en t = . ( 0,5 ) C= R 0,4.10 3 20F 20 ( 0,5 ) 4. L'étude théorique du dipôle(R,C) conduit à l’équation différentielle Error!+ u1 = E . a) Retrouver cette équation différentielle en appliquant la loi d'additivité des tensions D’après la loi d’additivité des tensions: on a E = u1 + uR dq Soit E = u1 + R×i or i = et q = C×u1 dt du Il vient E = u1 + R×C 1 on retrouve l’équation différentielle proposée avec = R×C dt (1) b) Compte tenu des conditions initiales, la solution de cette équation est de la forme t u1 = E . 1 e . Calculer la valeur de u1 pour t = 5. Conclure. 5 u1 = E . 1 e = E (1 – e–5) = 0,99×E = 5,96 V On peut considérer que pour une durée égale à 5, le condensateur est chargé. Pour t = 5, on a : ( 0,5 ) B – Deuxième expérience Une fois la première expérience réalisée, on ouvre K puis on ferme K’. Le circuit est alors le siège d'oscillations électriques. On utilise le mène dispositif informatisé d'acquisition de données pour visualiser, sur la voie 1, la tension u1 aux bornes du condensateur et sur la voie 2, la tension u2 aux bornes du conducteur ohmique R. L'acquisition est synchronisée avec la fermeture de l'interrupteur. On obtient les courbes de la figure 3 : 1. Attribuer à chaque courbe de la figure 3 la tension correspondante en justifiant brièvement pour une courbe seulement. A t = 0 s, quand on ferme l’interrupteur K', le condensateur est chargé donc u1 = E = 6 V ; la courbe 1 représente u1 et la courbe 2 u2. (à t = 0s, i =0 donc u2 = 0 V) ( 0,5 ) 2. Mesurer la pseudo-période T des oscillations. Calculer la période propre correspondant au cas où les résistances R sont négligeables. Conclure. Sur la courbe trois pseudo-périodes correspondent à (80–5) = 75 ms, donc T = 25 ms ( 0,5 ) T0 = 2 LC 2 0,8 20.10 6 =25 ms La pseudo-période et la période propre sont égales, l’effet des résistances est donc négligeable sur la valeur de T. ( 0,5 ) Exercice 3 : Dosage pH-métrique de l'acide ascorbique contenu dans un comprimé de vitamine C ( 4,5 points ) ( 25 minutes ) Un comprimé de vitamine C non tamponnée contient de l'acide ascorbique C6H806 que l'on se propose de doser. l'acide ascorbique, dont la masse molaire est 176 g.mol-1, a pour base conjuguée l'ion ascorbate. À 25° C, le pKa du couple acide ascorbique/ion ascorbate est 4,2. On note ce couple AH/A- par commodité… On rappelle aussi la valeur du pKe qui est de 14. On dissout le comprimé de vitamine C dans de l'eau distillée de manière à obtenir 200 mL de solution S. On prélève 50,0 ml de solution S et on procède au dosage pH-métrique par une solution de soude ( contenant les ions hydroxydes HO- ) de concentration molaire apportée cB = 2,00 . 10-2 mol·L-1. On trace la courbe pH = f(vB) , reproduite document 1, où vB désigne le volume de soude versé. Partie A A.1. Écrire l'équation chimique associée à la transformation du système chimique . Les deux couples considérés lors de ce dosage sont : AH/A- : AH = H+ + AH2O/HO- : HO- + H+ = H2O La réaction est donc : AH + HO- = H2O + A( 0,5 ) A.2. À quelles conditions - supposées réalisées par la suite - cette transformation peut-elle permettre le dosage? La réaction doit être totale, rapide et unique pour permettre le dosage. ( 0,5 ; 0,25 si seulement 2 ) A.3. Exprimer le quotient de réaction Qr correspondant à la transformation servant de dosage. Qr = [A-]/[ AH].[ HO-] ( 0,5 ) A.4. Comment note-t-on la valeur de Qr à l'équilibre ? La calculer. Qr,eq = K = [A-]eq/[ AH]eq.[ HO-]eq ( 0,5 ) Or, en multipliant en haut et en bas par [ H3O+], on obtient : Qr,eq = K = [A-]eq[ H3O ] eq [ AH]eq.[ HO-] eq .[ H3O ]eq D’où K = Ka / Ke K =109,8 ( 0,5 ) Partie B B.1. Exploiter l'équivalence pour déterminer la quantité de matière apportée d'acide ascorbique dans 50,0 ml de solution S. Par la méthode des tagentes, on peut déterminer Veq = 36 mL. ( 0,5 ) L’équivalence est le moment où l’avancement xequiv est tel que les deux réactifs sont limitants en même temps : Ici : nacide initial - xequiv = 0 et nsoude versé - xequiv = 0 D’où : xequiv = nsoude versé = nacide initial Soit nacide dans 50mL = CB . Veq D’où nacide dans 50mL = 0,036 x 0,02 A.N. : nacide dans 50mL = 0,00072 mol ( 0,5 ) B.2. En déduire la masse m d'acide ascorbique contenue dans un comprimé de vitamine C. Justifier l'appellation « Vitamine 500 ». nacide dans 50mL = 0,00072 mol donc nacide dans 200mL = 0,00072 x 4 = 0,00288 mol ( 0,5 ) donc macide dans un comprimé = n . M A.N. : macide dans un comprimé = 0,00288 x 176 = 0,506 g = 506 mg Il y a 506 mg de vitamine C dans un comprimé d’où son nom. ( 0,5 ) Veq