PUISSANCES ET RACINES CARREES Objectifs : ● ● ● ● maîtriser les puissances de 10 écrire un nombre en notation scientifique évaluer un ordre de grandeur connaître la racine carrée d’un nombre ACTIVITE 1 : Puissance d’un nombre Dans un jeu radiophonique (ou l’on ne compte pas les réponses fausses) chaque bonne réponse double le gain du concurrent. La cagnotte de départ se monte à 1 euro. Quel est le gain après trois bonnes réponses ? Six bonnes réponses ? Après trois bonnes réponses, le gain est de 8 euros. Le nombre 8 peut s’écrire 8 = 23 (on lit 2 puissance 3). Après six bonnes réponses, le gain est de 6 euros Le nombre 64 peut s’écrire 64 = 26 (on lit 2 puissance 6). Remarque : Dans l’écriture 26, le nombre 6 est l’exposant : il indique qu’il faut effectuer la multiplication de 6 facteurs tous égaux à 2. Ce qu’il faut retenir : Pour tout nombre a non nul et n entier positif, on a : an = a x a x a… x a ; a1 = a ; a-n = Error! ; a0 = 1 La puissance d’exposant 2 est le carré : a2 = a x a (2 facteurs) La puissance d’exposant 3 est le cube : a3 = a x a x a (3 facteurs) Exemples : a 3 1/2 2,6 a-2 1/9 4 0,14 a-1 1/3 2 0,38 a0 1 1 1 a2 9 ¼ 6,76 a3 27 1/8 17,57 a5 243 1/32 118,8 a10 59049 1/1024 ACTIVITE 2 : Règles de calcul sur les exposants Considérons les égalités suivantes : ● 23 x 24 = 27 ● (2 x 5)2 = 22 x 52 ● ()2 = 23 x2 = 26 ● Error! = 25-3 = 22 ● Error!3 = Error! Vérifier à l’aide de la calculatrice que ces égalités sont vraies. Ce qu’il faut retenir : Soit deux nombres a0, b0 et deux entiers naturels m et n. On a : 1) an x am = an+m 2) (a x b)n = an x bn 3) (am)n = am x n 4) Error!n = Error! , b0 5) Error! = am-n , a0 ACTIVITE 3 : Puissances de dix Considérons les écritures suivantes : 102 ; 103 ; 105 1) Les écrire sous forme de nombres décimaux. 2) Quelle remarque peut-on faire sur le nombre de zéros du résultat ? 3) Ecrire sous forme d’un nombre décimal : 10-2 ; 10-3 ; 10-5. 4) Quelle remarque peut-on faire sur le nombre de zéros du résultat. Remarque : On dira que ces nombres sont des puissances de dix. Le nombre n étant un entier naturel, on a : 10n = 10..00 ; 10-n = 0,0..01 ; 10-n = Error! ; 101 = 10 ; 100 = 1 n zéros n zéros Exemple : Ecriture décimale 1000 Puissance de dix 103 104 En toute lettre Mille Un million 10 000 000 109 ACTIVITE 4 : Ecriture scientifique On considère les nombres suivants : 0,0468 x 104 ; 4,68 x 102 ; 4680 x 10-1. Les écrire sous forme de décimaux. Que constate-t-on ? Proposer deux autres écritures du même nombre utilisant d’autres puissances de dix. Remarque : Une seule des écritures précédentes est le produit d’un nombre décimal à un seul chiffre non nul avant la virgule et d’une puissance de dix : c’est l’écriture scientifique du décimal 468. Ce qu’il faut retenir : Tout décimal peut s’écrire sous la forme a x 10n, avec a décimal tel que 1 a < 10 et n entier positif ou négatif. L’écriture scientifique d’un nombre décimal est utilisée pour les nombres très grands ou très petits. Exemples : La distance de la terre au soleil est égale à cent cinquante millions de kilomètres. La vitesse de propagation de la lumière est égale à trois cent mille kilomètres par seconde. Exprimer les deux nombres en écriture scientifique. Cent cinquante millions s’écrit 150 000 000 soit 1,5 x 108. Trois cent mille s’écrit 300 000 soit 3 x 105. ACTIVITE 5 : Racine carrée d’un nombre Un bureau carré a une aire de 9m2. Quelle est la longueur c d’un coté ? Pour calculer l’aire d’un carré, on utilise la formule : A = c2. Le nombre cherché, qui a pour carré 9, est 3. Remarque : On dit que racine carrée de 9 est égale à 3 et on écrit : = 3. L’écriture désigne le nombre positif dont le carré est 9 : ( )2 = 9. Ce qu’il faut retenir : a désigne le nombre positif dont le carré est égal à a. Le nombre n’existe que si a est positif et dans ce cas, on a : a ( a)2 = a. Exemple : existe n’existe pas est positif est négatif - ² - ( )2 Régles de calcul Comparer les nombres : 16 9 et 16 x 9 Error! et Error! x Ce qu’il faut retenir : Soit deux nombres a 0, b 0. On a : a x b = a x b. Soit deux nombres a 0 et b > 0. On a : Error! = Error!. FIN