Musique2016-07-11 05:48115 KB

Chapitre 2 : Musique
CHAPITRE 2
Musique
I. Son musical (instruments à cordes)
1) Célérité des ondes parcourant une corde tendue
La célérité d’une onde mécanique dans une corde tendue dépend de :
- sa masse linéique µ (qui dépend de la nature de la corde et de la température)
- sa tension T
Elle se calcule ainsi :
v
T

Accorder un instrument, c’est modifier la célérité des ondes parcourant la corde tendue pour
que la corde joue la note attendue. On joue sur la tension pour compenser une modification de
la masse linéique, due à une variation de la longueur de la corde, liée entre autres à la
température et à l’humidité ambiantes.
2) Longueur d’onde des ondes parcourant une corde tendue
Les seules ondes parvenant à se propager dans une corde tendue de longueur L sont les ondes
en phase avec elles-mêmes au bout d’un aller-retour, donc les ondes dont la longueur d’onde
est un sous-multiple de 2L :
2L
n 
n
Jouer d’un instrument à cordes consiste à modifier la longueur d’une corde, ce qui modifie la
note émise.
3) Fréquence des ondes parcourant une corde tendue
Les seules ondes parvenant à se propager dans une corde tendue de longueur L sont les ondes
dont les fréquences s’écrivent :
v
n T
1 T
fn 

 nf 0 avec f 0 
2L 
n 2 L 
Ce sont toutes les ondes dont la fréquence est un multiple de la fréquence fondamentale f0.
Quand on joue une note, on fait vibrer une corde avec une longueur, une tension et une masse
linéique fixée. Cette corde émet alors toutes les ondes qu’elle est capable d’émettre, soit la
fréquence fondamentale f0 (qui fixe le nom de la note) et tous ses multiples, appelés
harmoniques. Le son produit par la corde correspond à une note de musique, dont le nom est
lié exclusivement à la valeur de f0. Il est inaudible, car d’intensité trop faible.
1
Chapitre 2 : Musique
Pour rendre le son audible, la caisse de résonance de l’instrument va amplifier chacune des
fréquences émises en en privilégiant certaines au détriment d’autres. C’est ce qui détermine le
timbre de l’instrument, lié à la proportion relative de chaque harmonique.
En outre, la manière de jouer a aussi un rôle important dans la perception du son, donc du
timbre.
4) Consonance et dissonance de deux notes
Lorsque l’on joue deux fréquences f et f’ ensemble, un phénomène particulier a lieu si ces
deux fréquences sont suffisamment proches : c’est le battement. On perçoit alors à l’oreille un
son de fréquence égal à la moyenne des deux fréquences superposées et dont l’intensité
sonore évolue de manière sinusoïdale dans le temps avec une fréquence égale à l’écart entre
les deux fréquences superposées.
II. La gamme de Pythagore
1) Intervalles harmonieux
L’intervalle entre deux notes est le rapport de leurs deux fréquences fondamentales.
Les Grecs ont étudié et comparé le son émis par une corde de longueur L et ceux émis par des
cordes dont la longueur est un sous-multiple de L : L/2, L/3, L/4, L/5, L/6 …etc, toutes ces
cordes étant identiques et tendues de la même manière (ce qui permet d’avoir une célérité
identique).
Ils se sont rendu compte que seuls ces sons sonnaient plus ou moins bien ensemble. En fait,
cela est dû à ce qu’ils ont des harmoniques en commun. En effet, si une corde de longueur L
émet une note de fréquence fondamentale f0, alors une corde de longueur L/n émet une note
de fréquence fondamentale n.f0, ce qui correspond à l’harmonique de rang n émis par la corde
de longueur L. On parle de sons harmonieux.
L’association la plus harmonieuse est la note produite par la corde de longueur L et celle
produite par la corde de longueur L/2, autrement dit les notes de fréquences fondamentales f0
et 2f0. Cela s’explique très facilement : les harmoniques de la seconde note se retrouvent
intégralement dans les harmoniques de la première note ! Cette association s’appelle l’octave.
Elle correspond à un rapport 2/1 des longueurs de corde et des fréquences fondamentales. Elle
est tellement harmonieuse qu’on ne différencie plus par le nom les notes séparées d’une
octave : on les numérote (ex : Si2 est une octave au-dessus de Si1).
L’association suivante la plus harmonieuse est la note produite par la corde de longueur L/2 et
celle produite par la corde de longueur L/3, autrement dit les notes de fréquences
fondamentales 2f0 et 3f0. Cela s’explique facilement : l’harmonique de rang 3 de la première
note est l’harmonique de rang 2 de la seconde note (le 6ème harmonique de la première note est
le 4ème harmonique de la seconde note…etc). Cette association s’appelle la quinte. Elle
correspond à un rapport 3/2 des longueurs de corde et des fréquences fondamentales.
Une autre association harmonieuse est la note produite par la corde de longueur L/3 et celle
produite par la corde de longueur L/4, autrement dit les notes de fréquences fondamentales 3f0
et 4f0. Cela s’explique facilement : l’harmonique de rang 4 de la première note est
l’harmonique de rang 3 de la seconde note (le 8ème harmonique de la première note est le 6ème
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Chapitre 2 : Musique
harmonique de la seconde note…etc). Cette association s’appelle la quarte. Elle correspond à
un rapport 4/3 des longueurs de corde et des fréquences fondamentales.
Une association également harmonieuse est la note produite par la corde de longueur L/4 et
celle produite par la corde de longueur L/5, autrement dit les notes de fréquences
fondamentales 4f0 et 5f0. Cela s’explique facilement : l’harmonique de rang 5 de la première
note est l’harmonique de rang 4 de la seconde note (le 10ème harmonique de la première note
est le 8ème harmonique de la seconde note…etc). Cette association s’appelle la tierce majeure.
Elle correspond à un rapport 5/4 des longueurs de corde et des fréquences fondamentales.
Une autre association harmonieuse est la note produite par la corde de longueur L/5 et celle
produite par la corde de longueur L/6, autrement dit les notes de fréquences fondamentales 5f0
et 6f0. Cela s’explique facilement : l’harmonique de rang 6 de la première note est
l’harmonique de rang 5 de la seconde note (le 6ème harmonique de la première note est le 5ème
harmonique de la seconde note…etc). Cette association s’appelle la tierce mineure. Elle
correspond à un rapport 6/5 des longueurs de corde et des fréquences fondamentales.
Et ainsi de suite. C’est à partir de ce constat que Pythagore a construit sa gamme. L’idée était
de pouvoir jouer des mélodies à partir de quelques notes, c’est-à-dire à partir de quelques
valeurs de fréquences. Pour pouvoir jouer des notes ensemble, il fallait qu’elles soient
harmonieuses. Construire une gamme de notes toutes séparées d’une octave ne pouvait fournir
une musique riche. En effet, si on compose une mélodie avec tous les Do existants,
l’ensemble des fréquences émises correspondent à l’ensemble des harmoniques du Do le plus
grave : les autres Do n’apportent rien de plus ! Ainsi, la gamme fut construite sur la quinte,
qui laissait bien plus de possibilités de construction.
2) Echelle de Pythagore
On commence par prendre une note référence notée X0 (aujourd’hui la note référence est le
La, à 440 Hz, mais cela n’a pas toujours été le cas ; par exemple, les mélodies baroques
n’étaient pas jouées avec les mêmes fréquences qu’aujourd’hui). On appelle f0, la fréquence
de son fondamental (sa valeur réelle ne nous intéresse guère). Ainsi l’ensemble des notes que
l’on peut construire par quintes sont les notes Xn de fréquence fondamentale (1,5)n.f0, avec n
non seulement entier naturel, mais même entier relatif, puisque l’on peut procéder par quintes
ascendantes, mais aussi par quintes descendantes à partir de la note référence. Voici une partie
de ces notes, avec la fréquence f exprimée en multiple de f0 :
Note
f/f0
Note
f/f0
X-10
0,01734
X2
2,250
X-9
0,02601
X3
3.375
X-8
0,03902
X4
5.063
X-7
0,05853
X5
7,594
X-6
0,08779
X6
11,39
X-5
0,1317
X7
17,09
X-4
0,1975
X8
25,63
X-3
0,2963
X9
38,44
X-2
0,4444
X10
57,67
X-1
0,6667
X11
86,50
X0
1,000
X12
129,7
X1
1,500
X13
194,6
On souhaite une gamme définie au sein d’une seule octave, c’est-à-dire un ensemble de notes
commençant à X0 et finissant à une note de fréquence 2f0 (ex : Do, Ré, Mi, Fa, Sol, La, Si,
Do ; le second Do étant une octave au-dessus du premier). Ensuite, par passage à l’octave
supérieure de chacune de ses notes (c’est-à-dire en multipliant les fréquences par deux), on
aura les notes entre 2 f0 et 4 f0, et ainsi de suite.
Toutes les notes obtenues dans le tableau sont donc ramenées dans l’intervalle [f0, 2f0]. Pour
cela on les remonte ou les abaisse d’une ou plusieurs octaves, ce qui ne modifie pas vraiment
la nature de la note, tant cet intervalle est consonant (les harmoniques sont quasiment les
mêmes).
3
Chapitre 2 : Musique
Par exemple, X1 est déjà dans le bon intervalle, mais X2 non. On va baisser X2 d’une octave
(donc diviser sa fréquence par 2). X-3 devra être remonté de deux octaves (donc sa fréquence
fondamentale être multipliée par 22 soit 4). Voici ce que l’on obtient :
Note
f/f0
Note
f/f0
X-10
1.110
X2
1,125
X-9
1,665
X3
1,688
X-8
1,249
X4
1,266
X-7
1,873
X5
1,898
X-6
1,405
X6
1,424
X-5
1,053
X7
1,068
X-4
1,580
X8
1,602
X-3
1,185
X9
1,201
X-2
1.778
X10
1,802
X-1
1.333
X11
1,352
X0
1,000
X12
1,014
X1
1,500
X13
1.520
En fait, cette construction n’est pas cyclique, c’est-à-dire qu’en montant (ou en descendant) de
quinte en quinte à partir de la note X0, on ne parvient jamais à une note séparée d’un nombre
entier d’octaves de X0. Cela était tout à fait prévisible, parce que pour monter de n quintes, il
n
3n
3
faut multiplier la fréquence par    n . Ce nombre n’est pas entier parce qu’on divise un
2
2
nombre impair ( 3n ) par un nombre pair ( 2 n ), donc on ne peut jamais revenir sur X0 (à un
nombre entier d’octaves près), ce qui permettrait de boucler la gamme.
On va jouer alors sur l’imperfectibilité de l’oreille, qui ne peut pas distinguer deux fréquences
si elles sont trop proches et on va arrêter le cycle de construction quand on parviendra à une
note dont la fréquence fondamentale sera suffisamment proche de la note X0 à un nombre
entier d’octaves près.
Si on fait commencer notre gamme à la note référence (X0), alors on peut s’arrêter à la note
X12, proche de X0. Classons cette série de notes par ordre croissant de fréquences
fondamentales, en laissant de côté X12, qui sera assimilée à X0 :
Note
f/f0
X0
1,000
X7
1,068
X2
1,125
X9
1,201
X4
1,266
X11
1,352
X6
1,424
X1
1,500
X8
1,602
X3
1,688
X10
1,802
X5
1,898
Cependant, pour qu’une mélodie soit harmonieuse, il faut un maximum d’intervalles
consonants. La quarte en est un, donc on aimerait avoir la note située à une quarte de la note
référence X0. C’est X-1, le rapport de fréquence avec X0 faisant 4/3. En conséquence, on
supprime X11, la dernière note de la série et on la remplace par X-1. On remarque d’ailleurs
que X11 était approximativement X-1, comme X12 était approximativement X0. On a un cycle
approximatif de 12 notes. Toutes les 12 notes, on a des notes assez proches. On obtient au
final, l’échelle de notes suivantes :
Note
f/f0
Nom
X0
1,000
Do
X7
1,068
Do#
X2
1,125
Ré
X9
1,201
Ré#
X4
1,266
Mi
X-1
1,333
Fa
X6
1,424
Fa#
X1
1,500
Sol
X8
1,602
Sol#
X3
1,688
La
X10
1,802
La#
X5
1,898
Si
On appelle demi-ton, l’intervalle entre deux notes consécutives. On remarque qu’entre une
note et la même note avec un dièze (#), l’intervalle est de 1,068. Sinon, l’intervalle entre deux
notes consécutives est de 1,053. Avec une telle échelle de notes, la transposition (décalage de
chaque note jouée d’un nombre fixe de notes) n’est pas neutre, car décaler tout d’une note ne
revient pas à décaler tout d’un intervalle constant, ceci parce qu’il existe deux demi-tons
différents : 1,053 et 1,068. C’est pourquoi, la transposition dans l’échelle de Pythagore
modifie la perception de la mélodie (d’où l’existence de tonalités dites tristes, gaies…etc).
3) Gamme de Do majeur
En fait, la gamme de Pythagore utilise une série bien plus réduite de notes, afin de gagner en
harmonie. Elle est constituée de 7 notes consécutives, X-1 à X5 pour la gamme de Do majeur
4
Chapitre 2 : Musique
(soit Do, Ré, Mi, Fa Sol, La, Si), elle est donc construite en descendant d’une quinte à partir
de la note référence (appelée tonique) et en montant jusqu’à cinq quintes au-dessus :
Nom
f/f0
Do
1,000
Ré
1,125
Mi
1,266
Fa
1,333
Sol
1,500
La
1,688
Si
1,898
Do-Sol est une quinte (intervalle de 3/2) et Do-Fa une quarte (intervalle de 4/3). On remarque
un intervalle de 1,125 (soit 9/8) entre deux notes consécutives séparées d’un ton : c’est la
seconde majeure. Par contre, Mi-Fa et Si-Do ne sont séparés que d’un demi-ton, d’intervalle
1,053, ne correspondant à aucun intervalle harmonieux. Manifestement, il existe quelques
notes qui peuvent être jouées simultanément dans cette gamme (si les intervalles sont
harmonieux), mais la plupart non.
Par exemple, on ne retrouve pas la tierce majeure de manière exacte (5/4 = 1,25), mais de
manière approchée (1,266) : Do-Mi, Fa-La et Sol-Si. A cause de cet écart, trop important pour
que l’oreille ne puisse pas s’en rendre compte, la tierce pythagoricienne sonne faux, ce qui
empêche la polyphonie instrumentale de se développer.
4) Construction des autres gammes majeures.
Voici la liste des notes avec leur nom (X-10 à X13), décalées du nombre d’octaves nécessaires
pour entrer dans l’intervalle [f0, 2f0]. C’est toujours la même suite que l’on retrouve (Fa, Do,
Sol, Ré, La, Mi, Si), mais les altérations sont différentes (#, puis ## à droite de la suite
principale et b, puis bb à gauche).
Note
f/f0
Note
f/f0
Mibb
1.110
Ré
1,125
Sibb
1,665
La
1,688
Fab
1,249
Mi
1,266
Dob
1,873
Si
1,898
Solb
1,405
Fa#
1,424
Réb
1,053
Do#
1,068
Lab
1,580
Sol#
1,602
Mib
1,185
Ré#
1,201
Sib
1.778
La#
1,802
Fa
1.333
Mi#
1,352
Do
1,000
Si#
1,014
Sol
1,500
Fa##
1.520
On peut remarquer que Do# et Réb sont proches, mais distinctes. Un violoniste jouera
d’ailleurs deux notes différentes.
Toutes les gammes majeures se lisent facilement dans cette liste. Il suffit de partir de la note
précédant la tonique (note appelée sous-dominante) et d’en compter sept. Par exemple, la
gamme de Sol majeur, c’est-à-dire la gamme majeure ayant pour tonique Sol, comporte Do,
Sol, Ré, La, Mi, Si et Fa#.
Les gammes majeures sont équivalentes à l’oreille par construction. En effet, elles sont
décalées d’un nombre entiers de quintes, intervalle de valeur constante 1,5. On peut
remarquer que la quinte contient toujours 3 tons de 1,125 et un demi-ton de 1,053.
La dominante est la note suivant la tonique dans la liste. Elle joue un rôle important, parce que
c’est la note formant l’intervalle le plus harmonieux avec la tonique : la quinte. Sol est la
dominante de Do Majeur.
La sous-dominante joue aussi un rôle important, parce que c’est une note formant un
intervalle harmonieux avec la tonique : la quarte. Fa est la sous-dominante de Do Majeur. En
fait, la sous-dominante jouée une octave plus bas forme une quinte avec la tonique, accord
harmonieux par excellence. Pour Do Majeur, la sous-dominante jouée une octave plus bas a
une fréquence fondamentale valant la moitié de celle de la sous-dominante (Fa) : soit 0,667 f0.
La tonique (Do) a pour fréquence f0. L’intervalle vaut donc bien 1,5.
5) Polyphonie en échelle de Pythagore
Voici les différents harmoniques du Do précédent, que l’on va appeler Do1. L’intervalle est
celui que forme la note correspondante avec le Do1.
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Chapitre 2 : Musique
f/f0
Intervalle
avec Do1
Note
naturelle
1
Unisson
2
Octave
3
Quinte octaviée
4
Double octave
Do1
Do2
Sol2
Do3
5
Tierce majeure
doublement octaviée
Mi3 *
6
Quinte doublement
octaviée
Sol3
* Cette note est le Mi3 naturel, c’est-à-dire la note obtenue en montant d’une tierce majeure
vraie (intervalle de 5/4) et de deux octaves le Do1. Le Mi3 de Pythagore est construit de la
même manière, mais avec une tierce majeure approchée (intervalle de 1,266). Pour les autres
notes, on n’a pas ce problème, car octave et quinte ont les mêmes valeurs dans les deux
échelles.
Cette composition en harmoniques de Do1 explique que le Do, le Mi et le Sol naturels
sonnent bien ensemble, car ils partagent des harmoniques communes. Cette association est
l’accord de Do majeur.
Pour l’oreille, deux fréquences sonores très voisines semblent identiques et la perception en
est agréable (jeu juste). Cependant, si elles ne sont pas assez proches, un phénomène de
battement intervient, gênant considérablement l’audition (jeu faux). Si les deux sons sont de
fréquences bien différentes, alors, il ne se passe rien de particulier. Ce qu’il faut donc éviter à
tout prix, c’est la superposition de deux fréquences moyennement proches. Le Mi1 naturel a
une fréquence de 1,25 f0 et le Mi1 pythagoricien une fréquence de 1,266 f0. Quand on joue un
Do1, nous avons un Mi3 naturel dans ses harmoniques. Si on joue en même temps un Mi1
pythagoricien, alors nous avons un Mi3 pythagoricien en 4ème harmonique. La superposition
de ces deux Mi3, proches, explique que la tierce majeure pythagoricienne sonne faux. La
polyphonie instrumentale a tardé à évoluer en raison de cette difficulté. De nombreuses
solutions ont été apportées durant l’ère baroque, mais celle qui a perduré jusqu’à nos jours est
le tempérament égal.
III. Le tempérament égal
Le tempérament égal consiste à diviser l’octave en douze demi-tons comme pour l’échelle de
Pythagore, mais en douze demi-tons parfaitement égaux. Ainsi, le demi-ton est un intervalle
de 21/12. Dans cette échelle, il n’y a plus de problème de cycle mal fermé. Le dièze et le bémol
correspondant au même demi-ton, le Si# est un Do, le Sib un La #..., le Fa## un Sol…etc.
Voici la valeur des principaux intervalles dans les différentes échelles :
Intervalle
Echelle naturelle
Echelle pythagoricienne
Echelle au tempérament égal
Octave
2/1
2/1
(21/12)12 = 2
Quinte
3/2
3/2
(21/12)7 = 1,498
Quarte
4/3
4/3
(21/12)5 = 1,335
Tierce majeure
5/4
1,266
(21/12)4 = 1,260
A l’exception de l’octave, tous les intervalles de cette échelle (le tempérament égal) sont
approchés, mais ils sont suffisamment proches de l’intervalle naturel pour ne pas sonner faux,
en tout cas pas assez pour gêner l’auditeur. Cependant, on peut s’en rendre compte en tendant
l’oreille. Par exemple, l’accord Do-Sol (quinte) présente dans cette échelle un battement léger.
En effet, dans les harmoniques de Do, on trouve le Sol naturel, légèrement différent du Sol du
tempérament égal.
Le tempérament égal en rendant à peu près consonante la tierce majeure a rendu légèrement
fausses la quinte et la quarte. Il a l’immense avantage de permettre la transposition, parce que
tous les demi-tons sont égaux. C’est donc un très bon compromis, mais pas tout à fait la
solution idéale.
6