Démarche de construction de concept : des lignes au carré

DEMARCHE DE CONSTRUCTION DE CONCEPT
Démarche adaptable à tout concept et à tous niveaux, de la maternelle au secondaire.
UN EXEMPLE : des lignes au carré
Osons perdre du temps pour en gagner !
Séquence proposée par Christiane Léopold lors d’une réflexion autour de « comment enseigner les mathématiques autrement » et revisitée
par les MAF lors du regroupement d’août 2007 à l’ENEP
(groupe de travail : Marie-Paule, Elsa, Sylvie, Pascale, Julie)
Objectif général : Identifier (repérer, décrire, définir, justifier, donner des exemples) des polygones
CONCEPT
Déroulement
Organisation humaine et
matérielle
Partons du
concept de ligne=
tracé sans lever le
crayon.
Exemples : Peut
être ouverte et/ou
fermée et/ou
brisée et/ou
courbée et/ou
droite.
1. Emergence des représentations : à partir de la consigne fermée « trace une ligne ».
2. Confrontation : début de la construction du concept de ligne. Premières descriptions, analogies et
différences.
3. Recherche : En fonction des productions, orienter la consigne pour amener les élèves à varier leurs
tracés. Exemple : tracer des lignes différentes. Recommencer la phase 2 et 3 jusqu’à obtenir des
tracés variés (cf exemples). Au fur et à mesure, on élimine les tracés qui ne correspondent pas à la
consigne (ex : lignes discontinues)
4. définition du concept ligne : synthèse des observations, définition formulée par les enfants puis
définition mathématique apportée par le M.
5. Vérification : le maître propose de nouveaux exemples et les enfants valident ou non si c’est une
ligne en justifiant leur choix.
6. Evaluation, production : A partir des exemples précédents, les enfants sont sollicités pour en
produire de nouvelles jusqu’à arriver à toutes les représentations possibles.
niveau de maîtrise : ils reproduisent des lignes conformes aux modèles précédents
 niveau de transfert : ils produisent des exemples différents
 niveau d’expression (réinvestissement) : leurs productions sont plus complexes, plus originales,
décontextualisées de la situation d’origine
Organisation en ronde et en
groupe restreint est plus
efficace pour les échanges.
Matériel : multitude de
papiers petit format (¼ de
A4) si possible cartonné.
+ scripteurs (variés ou non)
Prévoir un arsenal
d’exemples +, - et + -
Prolongement possible en
art visuel, manuels « le
ligniisme » (blague !)
Du concept de
ligne à celui de
polygone = ligne
7. recherches /confrontation: solliciter les E pour qu’ils classent leurs productions de lignes en
fonction de leurs représentations puis critérier les ensembles produits en justifiant (ex : ensemble des
lignes ouvertes ou fermées, ensemble des lignes brisées ou courbes ou droites, intersections de
Dessiner les ensembles au
fur et à mesure pour aider à
la visualisation de

fermée ET brisée
plusieurs ensembles…)
8. nouvelle recherche/ confrontation : à partir de la consigne fermée « classer les lignes selon
l’ensemble «lignes fermée » ou «lignes brisées »  classement jusqu’à arriver à l’intersection
« brisée + fermée » (qui deviendra l’ensemble des polygones) et éliminer les « ni brisées / ni
fermées » toujours en justifiant
9. dénomination / définition : synthèse des observations, étiqueter le nouvel ensemble « lignes
fermées et brisées », puis le nommer par le nom mathématique « polygone », définition reformulée
par les enfants puis définition mathématique apportées par le M.
10. vérification : le maître propose des nouveaux exemples et les enfants valident ou non si c’est un
polygone en justifiant.
11. évaluation, production : les enfants sont sollicités pour produire des polygones jusqu’à arriver à
toutes les représentations possibles.
l’intersection (craie-papier
kraft)
Proposer des règles plates
En allant vers les
Polygones
concaves = avec
des angles
rentrants
et les polygones
convexes = avec
tous ses angles
saillants
12. recherches /confrontation: solliciter les E pour classer les polygones produits en fonction de leurs
représentations et critérier les ensembles en justifiant
13. nouvelle recherche/confrontation puis leur demander de limiter leur classement à deux ensembles
 doivent apparaître sans les nommer pour l’instant les
ensembles « polygones concaves » et « polygones convexes ». Pour les différencier laisser les enfants
chercher des moyens de vérification et les valider sur plusieurs figures. Exemples :
 lorsqu’on superpose le bord d’une feuille de papier sur n’importe quel côté du polygone et qu’elle
cache à tous les coups le reste de la figure, alors c’est un polygone convexe. Au contraire, si on voit
apparaître un morceau de la figure c’est un polygone concave.
 lorsqu’on prolonge tous les côtés du polygone et qu’un seul tracé traverse la figure, alors c’est un
polygone concave. Au contraire s’ils ne coupent pas la figure, c’est un polygone convexe.
 lorsqu’on place deux points distants n’importe où dans la figure et que le tracé qui les relie passe en-
dehors de la figure alors c’est un polygone concave. Au contraire si le tracé entre les deux points ne
dépasse jamais l’intérieur de la figure alors c’est un polygone convexe.
 lorsqu’un polygone découpé est placé debout sur la table et qu’il s’appuie sur deux points au lieu de
s’appuyer sur un côté, alors c’est un polygone concave. au contraire, s’il s’appuie toujours sur un côté,
c’est un polygone convexe.
14. dénomination / définition : synthèse des observations, étiqueter les nouveaux ensembles
« polygones rentrants» ou « polygones sortant », définition reformulée par les enfants, apport du
nom mathématique « concave»/ « convexe », puis définition mathématique apportée par le M.
15. vérification : le maître propose des nouveaux exemples et les enfants valident ou non si c’est un
polygone concave ou convexe en justifiant.
Avec règle plate

16. évaluation, production : les enfants sont sollicités pour produire des polygones concaves et
convexes jusqu’à arriver à toutes les représentations possibles. Solliciter en particulier la production
de polygones convexes variés pour la séance suivante.
Des polygones
convexes aux
quadrilatères,
triangles,
héxagones…
17. recherches /confrontation: solliciter les E pour classer les polygones convexes produits en fonction
de leurs représentations et critérier les ensembles en justifiant
 on arrive vite au critères « nombre de côtés » avec l’ensemble des polygones convexes à 3 côtés, 4,
5,…
18. dénomination / définition : synthèse des observations, étiqueter les nouveaux ensembles, définition
reformulée par les enfants, apport du nom mathématique « quadrilatères»/ « trilatères, ou
triangles… », puis définition mathématique apportée par le M
19. 20 Vérification / évaluation / production
Du concept de
quadrilatère à
ceux de
parallélogramme,
rectangle,
losange, carré…
en passant par
ceux de
perpendiculaire
et de parallèle et
angle droit
19, 20, …..
Avant d’étudier plus particulièrement l’ensemble des quadrilatères, enclencher une recherche-action sur
les concepts de parallèles et perpendiculaires en se basant sur les mêmes principes de la démarche
décrite précédement. (tracer ou faire tracer deux lignes par feuille de papier (varier les possibilités,
classer, définir, trouver des moyens de vérification, valider, produire…)
Lorsque les E savent identifier en le justifiant deux droites perpendiculaires ou parallèles, on peut à
nouveau reprendre l’étude de l’ensemble des quadrilatères afin de les classer, de les définir, de les
nommer
Côtés opposés
parallèles
Côtés consécutifs
perpendiculaires
4 côtés égaux
Parallélogramme
Losange  est un
parallélogramme à 4 côtés
égaux
Rectangle  est un
parallélogramme à angles
droits
Carré est un
parallélogramme losange
rectangle
Avant de vérifier la
présence d’angles droits
avec l’utilisation de
l’équerre, préférer la
construction d’un gabarit
d’angle à partir d’une
feuille de papier pliée :
plier une première fois
dans n’importe quel sens
puis plier à nouveaux en
superposant exactement les
deux côtés de la première
pliure (les deux pliures
doivent être
perpendiculaires)