Démarche de construction de concept : des lignes au carré
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DEMARCHE DE CONSTRUCTION DE CONCEPT Démarche adaptable à tout concept et à tous niveaux, de la maternelle au secondaire. UN EXEMPLE : des lignes au carré Osons perdre du temps pour en gagner ! Séquence proposée par Christiane Léopold lors d’une réflexion autour de « comment enseigner les mathématiques autrement » et revisitée par les MAF lors du regroupement d’août 2007 à l’ENEP (groupe de travail : Marie-Paule, Elsa, Sylvie, Pascale, Julie) Objectif général : Identifier (repérer, décrire, définir, justifier, donner des exemples) des polygones CONCEPT Partons du concept de ligne= tracé sans lever le crayon. Exemples : Peut être ouverte et/ou fermée et/ou brisée et/ou courbée et/ou droite. Déroulement 1. Emergence des représentations : à partir de la consigne fermée « trace une ligne ». 2. Confrontation : début de la construction du concept de ligne. Premières descriptions, analogies et différences. 3. Recherche : En fonction des productions, orienter la consigne pour amener les élèves à varier leurs tracés. Exemple : tracer des lignes différentes. Recommencer la phase 2 et 3 jusqu’à obtenir des tracés variés (cf exemples). Au fur et à mesure, on élimine les tracés qui ne correspondent pas à la consigne (ex : lignes discontinues) 4. définition du concept ligne : synthèse des observations, définition formulée par les enfants puis définition mathématique apportée par le M. 5. Vérification : le maître propose de nouveaux exemples et les enfants valident ou non si c’est une ligne en justifiant leur choix. Du concept de ligne à celui de polygone = ligne 6. Evaluation, production : A partir des exemples précédents, les enfants sont sollicités pour en produire de nouvelles jusqu’à arriver à toutes les représentations possibles. niveau de maîtrise : ils reproduisent des lignes conformes aux modèles précédents niveau de transfert : ils produisent des exemples différents niveau d’expression (réinvestissement) : leurs productions sont plus complexes, plus originales, décontextualisées de la situation d’origine 7. recherches /confrontation: solliciter les E pour qu’ils classent leurs productions de lignes en fonction de leurs représentations puis critérier les ensembles produits en justifiant (ex : ensemble des lignes ouvertes ou fermées, ensemble des lignes brisées ou courbes ou droites, intersections de Organisation humaine et matérielle Organisation en ronde et en groupe restreint est plus efficace pour les échanges. Matériel : multitude de papiers petit format (¼ de A4) si possible cartonné. + scripteurs (variés ou non) Prévoir un arsenal d’exemples +, - et + - Prolongement possible en art visuel, manuels « le ligniisme » (blague !) Dessiner les ensembles au fur et à mesure pour aider à la visualisation de fermée ET brisée En allant vers les Polygones concaves = avec des angles rentrants et les polygones convexes = avec tous ses angles saillants plusieurs ensembles…) 8. nouvelle recherche/ confrontation : à partir de la consigne fermée « classer les lignes selon l’ensemble «lignes fermée » ou «lignes brisées » classement jusqu’à arriver à l’intersection « brisée + fermée » (qui deviendra l’ensemble des polygones) et éliminer les « ni brisées / ni fermées » toujours en justifiant 9. dénomination / définition : synthèse des observations, étiqueter le nouvel ensemble « lignes fermées et brisées », puis le nommer par le nom mathématique « polygone », définition reformulée par les enfants puis définition mathématique apportées par le M. 10. vérification : le maître propose des nouveaux exemples et les enfants valident ou non si c’est un polygone en justifiant. 11. évaluation, production : les enfants sont sollicités pour produire des polygones jusqu’à arriver à toutes les représentations possibles. l’intersection (craie-papier kraft) Proposer des règles plates 12. recherches /confrontation: solliciter les E pour classer les polygones produits en fonction de leurs représentations et critérier les ensembles en justifiant 13. nouvelle recherche/confrontation puis leur demander de limiter leur classement à deux ensembles doivent apparaître sans les nommer pour l’instant les ensembles « polygones concaves » et « polygones convexes ». Pour les différencier laisser les enfants chercher des moyens de vérification et les valider sur plusieurs figures. Exemples : lorsqu’on superpose le bord d’une feuille de papier sur n’importe quel côté du polygone et qu’elle cache à tous les coups le reste de la figure, alors c’est un polygone convexe. Au contraire, si on voit apparaître un morceau de la figure c’est un polygone concave. lorsqu’on prolonge tous les côtés du polygone et qu’un seul tracé traverse la figure, alors c’est un polygone concave. Au contraire s’ils ne coupent pas la figure, c’est un polygone convexe. lorsqu’on place deux points distants n’importe où dans la figure et que le tracé qui les relie passe endehors de la figure alors c’est un polygone concave. Au contraire si le tracé entre les deux points ne dépasse jamais l’intérieur de la figure alors c’est un polygone convexe. lorsqu’un polygone découpé est placé debout sur la table et qu’il s’appuie sur deux points au lieu de s’appuyer sur un côté, alors c’est un polygone concave. au contraire, s’il s’appuie toujours sur un côté, c’est un polygone convexe. 14. dénomination / définition : synthèse des observations, étiqueter les nouveaux ensembles « polygones rentrants» ou « polygones sortant », définition reformulée par les enfants, apport du nom mathématique « concave»/ « convexe », puis définition mathématique apportée par le M. 15. vérification : le maître propose des nouveaux exemples et les enfants valident ou non si c’est un polygone concave ou convexe en justifiant. Avec règle plate 16. évaluation, production : les enfants sont sollicités pour produire des polygones concaves et convexes jusqu’à arriver à toutes les représentations possibles. Solliciter en particulier la production de polygones convexes variés pour la séance suivante. Des polygones convexes aux quadrilatères, triangles, héxagones… Du concept de quadrilatère à ceux de parallélogramme, rectangle, losange, carré… en passant par ceux de perpendiculaire et de parallèle et angle droit 17. recherches /confrontation: solliciter les E pour classer les polygones convexes produits en fonction de leurs représentations et critérier les ensembles en justifiant on arrive vite au critères « nombre de côtés » avec l’ensemble des polygones convexes à 3 côtés, 4, 5,… 18. dénomination / définition : synthèse des observations, étiqueter les nouveaux ensembles, définition reformulée par les enfants, apport du nom mathématique « quadrilatères»/ « trilatères, ou triangles… », puis définition mathématique apportée par le M 19. 20 Vérification / évaluation / production 19, 20, ….. Avant d’étudier plus particulièrement l’ensemble des quadrilatères, enclencher une recherche-action sur les concepts de parallèles et perpendiculaires en se basant sur les mêmes principes de la démarche décrite précédement. (tracer ou faire tracer deux lignes par feuille de papier (varier les possibilités, classer, définir, trouver des moyens de vérification, valider, produire…) Lorsque les E savent identifier en le justifiant deux droites perpendiculaires ou parallèles, on peut à nouveau reprendre l’étude de l’ensemble des quadrilatères afin de les classer, de les définir, de les nommer Côtés opposés Côtés consécutifs 4 côtés égaux parallèles perpendiculaires Parallélogramme Losange est un parallélogramme à 4 côtés égaux Rectangle est un parallélogramme à angles droits Carré est un parallélogramme losange rectangle Avant de vérifier la présence d’angles droits avec l’utilisation de l’équerre, préférer la construction d’un gabarit d’angle à partir d’une feuille de papier pliée : plier une première fois dans n’importe quel sens puis plier à nouveaux en superposant exactement les deux côtés de la première pliure (les deux pliures doivent être perpendiculaires)
