Leçons d`Algèbre (session 2004)

Leçons d'Algèbre (session 2004)
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Groupe opérant sur un ensemble. Exemples et applications.
Dans la leçon "Groupes opérant sur un ensemble, orbites. Exemples et applications", les illustrations
géométriques font défaut.
 L'action de G sur G/H par translation est mal comprise. Le noyau du morphisme correspondant est
très rarement explicité.
(Soit H un sous groupe d’un groupe G. Alors G agit sur (G/H)g par translation à gauche : g.(xH) = gxH. Cette action est
transitive ; http://www.les-mathematiques.net/d/c/a/node11.php3)
 Les classes de conjugaison de Sn devraient être connues. (cf Delcourt p 47)
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Sous-groupes discrets de Rn. Réseaux.
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Exemples de sous-groupes distingués et de groupes quotients. Applications.
 Dans la leçon sur les groupes, plusieurs candidats mentionnent la notion de produit semi-direct,
sans en maîtriser les définitions équivalentes et sans être capables de regarder si Z/4Z est
produit semi-direct de 2 sous-groupes stricts.
 Le jury s'attend à trouver chez les candidats la connaissance des groupes finis d'ordre inférieur à
10 et de leur version géométrique. Il en va de même pour A4 et S4.
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Groupes finis. Exemples et applications.
1. Si on parle "du" groupe diédral, il faut être capable d'en proposer une caractérisation.
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Groupe des permutations d'un ensemble fini. Applications.
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Groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie E, sous-groupes de GL(E). Applications.
Les propriétés algébriques du groupe linéaire d'un espace vectoriel de dimension finie sont la plupart du
temps absentes de la leçon correspondante (théorème de simplicité en particulier).
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Sous-groupes finis de O(2,R), de O(3,R). Applications.
108
Exemples de parties génératrices d'un groupe.
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Anneaux Z/nZ. Applications.
2. Un homomorphisme d'anneaux envoie, par définition, l'élément unité de A sur
celui de B. On peut alors trouver sans difficulté tous les homomorphismes d'anneaux de Z/mnZ
dans .
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Nombres premiers. Applications.
3. Pour la leçon "Nombres premiers" il faut prendre garde aux prérequis et à l'ordre d'introduction
des notions et résultat.
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Exemples d'application des idéaux d'un anneau commutatif unitaire.
il conviendrait que les liens entre idéaux et divisibilité ne soient pas ignorés.
polynomes : la division euclidienne n'est pas maîtrisée. L'indépendance du PGCD par rapport au corps

de base n'est pas connue.
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Anneaux principaux
 Dans les leçons sur les matrices ou les polynômes, il est inutile de tout faire sur un anneau
principal (et non un corps) si on ne connaît pas d'applications du cas général.
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Corps finis. Applications.
4. Dans la leçon sur les corps finis, les candidats confondent parfois Fq et Fp avec p premier et q =
pn . Certains résultats relatifs à Fp (comme la description des carrés) sont adaptés
imprudemment à Fq. Il serait bon de préciser dans quel circonstances on peut assimiler Fq à un
sous-corps de Fq' .
5. Si l'on termine la leçon "Corps finis" par l'énoncé du théorème de Wedderburn, il faut s'assurer
qu'on ne l'a pas utilisé avant. Il est fréquent qu'un énoncé précédent décrive "tous" les corps
finis.
6. Si l'on a décrit tous les corps finis, il faut être capable de présenter explicitement un corps à 9
éléments, ainsi que de décrire F4 et F8.
7. La construction explicite des tables additives et multiplicatives des corps F4, F8,... n'est pas sans
intérêt, notamment en vue des applications en codage et cryptographie.
8. Pour traiter des corps finis, il est inutile de plonger d'emblée un tel corps dans une extension
algébriquement close. Si on le fait, il faut donner quelques arguments pour l'existence d'une telle
extension. Il faut pouvoir énoncer un résultat d'unicité "du" corps de décomposition d'un
polynôme.
Le théorème de Wedderburn est souvent cité, parfois sans hypothèse de finitude, mais la moitié des
candidats ne connaît pas d'exemple de corps non commutatif.
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Groupe des nombres complexes de module 1. Applications.
nombres complexes : la construction par couples de réels, le plus souvent présentée, est peu
satisfaisante. Les applications proposées sont pauvres, on ne dit rien de l'indice d'un point par rapport à
une courbe, rien de la topologie plane, rien sur les extensions cyclotomiques et leurs liens avec les
constructions à la règle et au compas d'un polygone régulier.
Il faut savoir que exp : C -> C* est un homomorphisme surjectif de groupes, et connaître au moins les
grandes lignes d'une démonstration.
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Équations diophantiennes du premier degré ax +by = c. Autres exemples d'équations diophantiennes.
Dans la leçon sur les équations diophantiennes, les candidats pourraient considérer des systèmes
d'équations du premier degré, leur lien avec les groupes abéliens de type fini, avec des manipulations
sur les lignes et les colonnes, l'équivalence des matrices...
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Corps des fractions rationnelles à une indéterminée sur un corps commutatif. Applications.
il est bon de connaître des algorithmes de décomposition en éléments simples sur R et C, de savoir
trouver la primitive d'une fraction rationnelle réelle,...
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Polynômes irréductibles à une indéterminée. Corps de rupture. Exemples et applications.
9. Le candidat doit connaître les polynômes irréductibles sur R et savoir exprimer Im(z) en termes

de z et de son conjugué.
Très peu de candidats ont compris la différence entre irréductibilité sur Z[X] et Q[X].
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Algèbre des polynômes à n indéterminées (n >= 2). Polynômes symétriques. Applications.
10. La leçon sur k[X1, ...., Xn] est très mal traitée: le théorème de structure sur les polynômes
symétriques est souvent énoncé de manière imprécise et sans aucune application. Quand sa
preuve est proposée, elle est presque toujours entachée d'erreurs. Les sommes de Newton sont
rarement connues, tout comme les propriétés arithmétiques de k[X1, ...., Xn] par rapport à k[X].
les candidats devraient décomposer un polynôme symétrique en polynômes symétriques
élémentaires et ce de manière algorithmique ....
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Racines des polynômes à une indéterminée. Relations entre les coefficients et les racines d'un
polynôme. Exemples et applications.
Les problèmes de localisation dans R ou C sont trop rarement évoqués. Il en va de même de la
dépendance continue des racines par rapport aux coefficients.
polynomes : la division euclidienne n'est pas maîtrisée. L'indépendance du PGCD par rapport au corps
de base n'est pas connue.
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Polynômes orthogonaux. Exemples et applications
121
Dimension d'un espace vectoriel (on se limitera au cas de la dimension finie). Rang. Exemples et
applications.
les candidats devraient savoir trouver un système d'équations linéaires décrivant un sous-espace
vectoriel de Rn engendré par un nombre fini de vecteurs donnés explicitement et ce de manière
algorithmique ....
La leçon "Dimension d'un espace vectoriel. Exemples et applications" est rarement bien traitée. On
observe un manque de logique dans l'ordre des notions introduites.
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Matrices équivalentes. Matrices semblables. Applications.
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Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice. Résolution d'un système
d'équations linéaires. Exemples et applications.
La leçon sur les opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes d'une matrice est mieux traitée
que les années précédentes, mais rarement bien abordée. Une fois définies ces opérations et leur
interprétation matricielle, il convient d'exhiber divers algorithmes utilisant les opérations élémentaires
appropriées qui aboutissent à des résultats variés: génération de GLn(k) et de SLn(k), décompositions
LU et de Bruhat, théorème des diviseurs élémentaires sur un anneau euclidien, résolution d'un système
linéaire, calcul du rang.
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Déterminant. Exemples et applications.
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Réduction d'un endomorphisme en dimension finie. Applications.
1. Les exposés sur la réduction des endomorphismes gagneraient à être illustrés par des exemples
matriciels judicieusement choisis, c'est-à-dire d'une taille suffisante pour être révélateurs.

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Sous-espaces stables d'un endomorphisme d'un espace vectoriel de dimension finie. Applications.
127
Endomorphismes diagonalisables.
2. Les candidats butent très souvent sur la diagonalisabilité éventuelle des rotations planes.
128
Exponentielle de matrices. Applications.
3. Une matrice diagonalisable n'est pas forcément une matrice diagonale. Le jury n'a pas de
difficulté pour montrer que le théorème de Dunford ne facilite pas le calcul de l'exponentielle
d'une matrice.
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Endomorphismes nilpotents.
4. Si A dans Mn(R ) est une matrice nilpotente, on peut justifier l'égalité exp (ln(In + A)) = In +A
sans passer par une équation différentielle. Les candidats ne pensent pas à exploiter la théorie
des développements limités. Beaucoup de candidats ne parviennent pas au résultat.
5. A propos de la leçon "Endomorphismes nilpotents", de nombreux candidats exposent une
version incomplète de la réduction de Jordan tirée d'un ouvrage de grande diffusion. Ceci
provoque des catastrophes lorsqu'on leur demande de dire si les matrices
et sont semblables.
6. A propos d'endomorphismes nilpotents, les candidats devraient être capables de faire le lien
entre la forme de Jordan et les noyaux emboités.
7. L'énoncé du théorème de Jordan ne devrait jamais être omis des leçons sur les endomorphismes
nilpotents. Dans cet énoncé, il faut préciser la structure en terme de blocs de Jordan
et non en se contentant d'indiquer que la première diagonale supérieure est remplie de 0 et de 1
sans autre précision.
Diverses leçons permettent aux candidats d'introduire des formes réduites de matrices: mise sous forme
triangulaire, décompositions de Dunford, Jordan, et Frobénius. Les liens entre les divers énoncés
correspondants, par exemple qu'une fois obtenue la forme de Jordan pour les nilpotents Dunford
entraîne Jordan, ne sont pas bien compris des candidats. Il en est ainsi du lien, certes assez compliqué,
entre décompositions de Jordan et Frobénius.
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Polynômes d'endomorphismes. Applications.
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Exemples de décompositions remarquables dans le groupe linéaire. Applications.
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Formes quadratiques sur un espace vectoriel de dimension finie. Applications.

8. Trop de candidats confondent encore la réduction de Gauss de formes quadratiques avec la
diagonalisation de la matrice associée à la forme.
9. A propos de la leçon sur les formes quadratiques, le jury regrette que les candidats se limitent le
plus souvent au cas ou R est le corps sous-jacent ou aux espaces euclidiens. Le contexte plus
général des corps commutatifs de caractéristique distincte de 2 devrait être traité.
les candidats devraient calculer la signature d'une forme quadratique, et ce de manière
algorithmique ....
Le sujet est souvent mal assimilé. Les sources de difficultés les plus fréquentes sont:
 L'articulation entre les résultats généraux et ceux spécifiques à R et C,
 Le lien entre formes quadratiques et homomorphismes symétriques sur R.
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Formes linéaires et hyperplans en dimension finie. Exemples et applications.
La leçon sur la dualité peut traiter des hyperplans affines, des inéquations linéaires, des polyèdres.
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Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel euclidien de dimension finie.
135
Endomorphismes remarquables d'un espace vectoriel hermitien de dimension finie.
136
Isométries d'un espace affine euclidien de dimension finie. Formes réduites. Applications.
137
Coniques.
Un sujet aussi vaste que les coniques nécessite que l'on restreigne son propos. Il n'est pas possible de
faire le tour de la question en trois pages.
dans la leçon sur les coniques, on peut citer des motivations liées par exemple à la mécanique du point,
le mouvement des planètes...
138
Barycentres dans un espace affine réel de dimension finie ; convexité. Applications.
139
Homographies de la droite complexe. Applications.
140
Applications des nombres complexes à la géométrie.
141
Utilisation des angles en géométrie.
142
Utilisation des groupes en géométrie.
143
Exemples de propriétés projectives et d'utilisation d'éléments à l'infini.
144
Constructions à la règle et au compas.
145
Applications affines
146
Problèmes d'angles et de distances en dimension 2 et 3.
147
Méthodes combinatoires, problèmes de dénombrement.
L'intitulé de la leçon est parfois mal cerné par le candidat. En particulier, les leçons «méthodes»
(combinatoires, hilbertiennes...) doivent mettre en avant des méthodes. Il ne faut pas donner seulement
une suite de théorèmes; il ne faut pas non plus donner un catalogue d'exemples sans dégager la ou les
méthodes qui les gouvernent.
11. D'une manière générale, les leçons sur les groupes sont plutôt bien traitées. Par contre,
les plans d'algèbre linéaire sont souvent recopiés et mal maîtrisés; ceux sur les
polynômes manquent de substance.