Problèmes 2° degré

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date :
Problèmes du second degré à une inconnue
I- Les mesures du rectangle sont exprimées en mètres.
1. Exprimer l’aire A de ce rectangle en fonction de x.
x
2. Déterminer la longueur et la largeur du rectangle d’aire 1,8 m 2,
x
0,3
II- Le coût de fabrication d’un produit dépend de la matière première (MP), des frais généraux (FG) et
des charges.
Les frais généraux représentent x % du coût de la matière première.
Les charges correspondent à (x + 8) % de la somme de la matière première et des frais généraux.
On considère que le coût de la matière première est de 500 €.
1. Déterminer l’expression du coût de fabrication C(x).
2. Le coût de fabrication s’élève à 695,40 €. Calculer le taux x des frais généraux.
3. Calculer le montant des frais généraux et des charges pour cette fabrication.
III- Plusieurs personnes se réunissent pour fêter Noël. Chacune apporte trois cadeaux pour les autres
convives. Au pied de l’arbre de noël, on dénombre 468 cadeaux.
Combien y a-t-il de participant à cette joyeuse soirée ?
IV- Déterminer les dimensions du champ rectangulaire d'aire maximale que l'on peut clôturer avec 200 m
de grillage (portail compris).
V- La puissance utile délivré par un générateur de f.é.m E = 24 V et de résistance interne r = 0,9 
dans un circuit où l'intensité du courant est I, est donnée par la relation : P = – 0,9 I2 + 24 I.
Pour quelle valeur de I la puissance est-elle inférieure à 120 W ?
VI- Déterminer la résistance x pour que les montages soient équivalents.


x
x
Rappel: Deux résistors de
résistance respective R1 et R2
montées en dérivation ont pour
résistance équivalente R = Error! .
VII- Deux résistors de résistance R1 et R2 sont telles que :
- montés en série leur résistance équivalente est égale à 245  ;
- montés en dérivation leur résistance équivalente est égale à 50  .
Calculer les résistances R1 et R2.
VIII- La caractéristique d'une diode a pour équation :
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date :
I = 0,225 U – 0,125
avec
I en A et U en V.
Déterminer le point de fonctionnement M( UM, IM ) pour que la puissance dissipée par la diode soit
de 0,2 W.
Rappel :
P=UI
IX- Deux véhicules A et B se déplacent sur une route rectiligne d'axe 0x.
Leur loi horaire respective est :
xA = – t 2 + 10t
xB = – 1,2t 2 + 7t + 20
(t 0)
Ils partent à l'instant t = 0.
Déterminer la date de leur rencontre et la position du lieu de rencontre.
X- Une mini fusée est lancée du sol avec une vitesse verticale vers le haut v0.
L'instant du départ est choisi comme origine du temps (t = 0).
La distance d entre la fusée et le sol, pris comme origine des espaces, est donnée par la relation :
d = – Error! g t2 + v0 t avec g = 9,8 m/s (accélération de la pesanteur).
1. Au premier lancement, la vitesse est v0 = 30 m/s.
Combien de temps faudra-t-il à la fusée pour atteindre une hauteur de 20 m ?
2. Pour le second lancement la vitesse n'est plus que de 19 mètre par seconde.
Au bout de combien de temps la fusée atteindra-t-elle la hauteur de 20 m ?
3. Un troisième lancement à la vitesse v0 = 30 m/s est effectué.
Quelle sera la hauteur maximale atteinte par la mini fusée ?
XI- La puissance P d'un moteur atmosphérique à explosion dépend de la richesse r du mélange
air/essence à la sortie du carburateur.
L'expression de la puissance est :
P = – 30 000 r2 + 4 830 r – 135
(P en kW)
1. Calculer la puissance P pour r = 0,05, puis pour r = 0,1.
2. Montrer que pour r = 0,036 la puissance est nulle.
3. Montrer qu'il existe une autre valeur r' pour laquelle la puissance est nulle.
4. Peut-on trouver une valeur de r telle que P = 60 ?
5. Pour quelle valeur de r a-t-on P = 59,4075 ?
Que peut-on supposer pour cette valeur de P ?
XII- La distance de freinage d d'un camion roulant à la vitesse v sur une chaussée de coefficient de
frottement f s'obtient par la formule : d = Error! + Error!.
Calculer la vitesse du véhicule en m/s, puis en km/h pour une distance de freinage de 50 m sur une
route dont le coefficient de frottement est 0,5.
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date :
XIII- L'essai de dureté Brinell d'un métal s'obtient en appliquant sur une bille une charge P, exprimée
en décanewtons. L'aire de l'empreinte laissée par la bille est S exprimée en mm2.
La dureté Brinell est par définition : H = Error!.
1. Démontrer que le diamètre D de la bille, le diamètre d de l'empreinte et la profondeur h de
l'empreinte sont liés par la relation : d 2 = 4 h (D – h).
2. Avec une bille de 10 mm et pour une charge de 30 000 N, le diamètre de l'empreinte est 4,4 mm.
2.1. Déterminer la profondeur de l'empreinte.
2.2. Calculer l'aire de l'empreinte (s = 2  R h)
2.3. En déduire la dureté Brinell du métal soumis à l'essai.
XIV- Une société de location fluviale loue une embarcation motorisée 20 euros l'heure.
A vitesse constante v, exprimée en km/h, la consommation horaire H(v), exprimée en litres, est
donnée par la relation :
H(v) = 0,258 + 0,05 v 2.
1. Calculer la consommation horaire du moteur pour des vitesses de 1, 5, 10 et 15 km/h.
A quelle vitesse correspond une consommation de 2 litres par heure ?
Pour la suite du problème, on considère la location pour un parcours de 30 km.
2. On suppose que le trajet de 30 km s'effectue à une vitesse constante.
2.1. Combien de temps faut-il pour parcourir ce trajet à 5 km/h ? 15 km/h ? 20 km/h ?
2.2. Combien de temps faut-il pour parcourir ce trajet à une vitesse v ?
3. Montrer que, à la vitesse constante v, la consommation totale du trajet peut s'écrire :
f(v) = 1,5 v +
7
.
74;v
4. L'essence est vendue 1,20 euros le litre.
Montrer que le coût total du trajet est :
C(v) = 20 (Error!) + 1,20 f(v).
5. Étudier les variations de la fonction C(v) pour v  ] 0 ; 50 ].
5.1. En déduire que le coût total est minimal pour une vitesse v0 que l'on déterminera.
5.2. Déterminer le coût minimal.
5.3. Combien de litres d'essence faut-il embarquer pour ce trajet ?
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Correction
date :
Problèmes du second degré à une inconnue
I- Rectangle
1. A = L  l = (x + 0,3)x = x2 + 0,3x
2. Résolution de x2 + 0,3x – 1,80 = 0
 = (0,3)2 + 4  1,8 = 7,29 ;
 = 2,7
x1 = – 1,5 ; x2 = 1,2
Interprétation : la longueur prend des valeurs positives. Seule la solution x2 convient.
d = – Error! g t 2 + v0 t avec g = 9,8 m.s – 2
Mini-fusée
1- v0 = 30 m.s – 1
Combien de temps pour atteindre une hauteur de 20 m ?
Quelle est la grandeur dont on cherche la valeur ? Le temps.
20 = – Error! 9,8 t 2 + 30 t
Mise en équation :
On a à résoudre une équation du second degré.
La mettre sous la forme standard ax 2 + bx + c = 0 :
– Error! 9,8 t 2 + 30 t – 20 = 0 soit
– 4,9 t 2 + 30 t – 20 = 0
 = 30 2 – 4 ( – 4,9) ( – 20)
Méthode du discriminant :
 = 508
L'équation admet 2 solutions réelles distinctes :
t1  0,76 s (montée)
2- L'équation est :
et
t2  5,36 s (descente)
– 4,9 t + 19 t – 20 = 0.
2
– 31. L'équation n'admet pas de solution dans I; R.
La fusée n'atteint pas la hauteur de 20 m.
3- Quelle hauteur maximale peut atteindre la mini-fusée pour une vitesse de lancement de 30 m.s – 1
?
L'expression de la distance parcourue est : d = – Error! 9,8 t 2 + 30 t
Cette expression est de la forme f(x) = ax 2 + bx + c, ou encore f(x) = – 4,9 x 2 + 30 x.
La courbe représentative est une parabole dont la concavité est tournée vers le bas
(coefficient de x 2 négatif). Pour le maximum de cette fonction, le nombre dérivé est nul.
Fonction dérivée
f '(x) = – 9,8 x + 30
Nombre dérivé nul
f '(x) = 0
ce qui donne
x=
30;9
8
soit
=
– 9,8 x + 30 = 0
15;4
soit
9
x  3,06
Interprétation : la hauteur maximum sera atteinte au bout de 3,06 s.
Hauteur maximum :
15;4 2
15;4
d = – 4,9  (
) + 30 
d  45,9 m
9
9
La hauteur maximum atteinte par la mini-fusée est de 45,9 m.
II- Puissance P (en kW) d'un moteur atmosphérique en fonction de la richesse r du mélange
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P = – 30 000 r2 + 4 830 r – 135.
1- P(0,05) = 31,5
P(0,1) = 48
2- P(0,036) = – 30 000 . 0,0362 + 4 830 . 0,036 – 135
P(0,036) = 0.
3- La puissance est nulle pour une autre valeur r'.
P(r) = 0
– 30 000 r2 + 4 830 r – 135 = 0
soit
ion admet 2 solutions réelles.
Il existe une r'  r telle que P = 0. r . r' = Error!
r . r' = Error!
d'où
r' =
0,125
ou, r + r' = – Error!
r + r' = – Error!
4- Peut-on trouver une valeur de r telle que P = 60 ?
Il nous faut résoudre – 30 000 r2 + 4 830 r – 135 = 60
– 71 100. Il n'y a donc pas de solution.
La puissance ne peut être égale à 60 kW.
5- Puissance de 59,4075 kW.
– 30 000 r2 + 4 830 r – 135 = 59,4075
soit
– 30 000 r2 + 4 830 r – 194,4075 = 0
équation une solution.
r = Error!
r = 0,0805
On peut supposer qu'il s'agit de la valeur de la richesse pour obtenir la puissance
maximum.
V- On désigne par L et l la longueur et le largeur du champ.
Par hypothèse : 2(L + l) = 200, soit L + l = 100 (1).
L'aire du champ est A = Ll (2).
de (1) on déduit que L = 100 – l et, en substituant dans (2), il vient : A = (100 – l)l = 100 l – l2.
On obtient l'équation du second degré l2 – 100 l + A = 0.
Cette équation du second degré doit admettr
10 000 – 4 A  0, c'est-à-dire A  2 500.
La plus grande aire possible est donc 2 500 m2.
En remplaçant A par 2 500 dans (3) il vient : l2 – 100 l + 2 500 = 0.
On obtient : l = 50 m et par suite L = 50 m.
On démontre que l'on obtient ce quelle que soit la longueur de grillage un champ carré.
VI- Il nous faut résoudre P < 120, c'est-à-dire – 0,9 I2 + 24 I < 120 ou – 0,9 I2 + 24 I – 120 < 0.
L'équation – 0,9 I2 + 24 I – 120 = 0 à pour discriminant
Elle admet deux solutions : I1  6,667
et
I2 = 20.
L'équation est factorisable sous la forme : – 0,9 (I – I1) (I – I2) = 0
Nous pouvons donc écrire l'inéquation sous la forme : – 0,9 (I – 6,667) (I – 20) < 0.
Les valeurs de I rendant vraie cette inégalité seront déterminées à l'aide d'un tableau de signes.
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La puissance utile est inférieure à 120 W pour I < 6,667 A et pour I > 20 A.
Vérification : P(5) = 97,5
P(10) = 150 W
P(25) = 37,5 W
VII-
y
C(v) = 600/v + 1,2 f(v)
80
60
40
h(v) = 0,258 + 0,05 v 2
20
0
0
Ph. Georges
x
5
10
15
20
25
Maths
30
35
6/6