Partie n°3 : évolution temporelles des systèmes mécaniques

PARTIE N°3 : EVOLUTION TEMPORELLES DES SYSTEMES
MECANIQUES
CHAPITRE N°7 : LA MECANIQUE DE NEWTON
I LES SYSTEMES MECANIQUES. FORCES. MOUVEMENTS
1) qu’est-ce qu’un système mécanique ?
C’est un objet ou un ensemble d’objets considérés du point de vue du mouvement et des
forces qu’ils subissent.
Ex : cas d’un parachutiste :
- système parachutiste seul
- système parachutiste + parachute.
2) Le bilan des forces.
On appelle force extérieure une force exercée sur le système étudié par un objet
n’appartenant pas au système.
On appelle force intérieure une force s’exerçant entre deux parties d’un même système.
Application :
Une cage contenant une perruche est posée sur un pèse-personne. La perruche reste sur son
perchoir et bat des ailes de temps en temps (fig. 3 a).
1. Quel est le système le mieux adapté pour étudier la force supposée verticale, exercée par
l'air, sur les ailes de la perruche d'après les indications du pèse-personne?
2. Faire le bilan des forces extérieures exercées sur ce système.
Solution
1. Il faut étudier le système {oiseau + cage} car il fait intervenir l'action de l'air et l'action du
pèse-personne.
2. Forces extérieures (fig. 3b) : poids de la cage et de l'oiseau; action de l'air sur les ailes de
l'oiseau; réaction du pèse-personne.
Ex 14 p201
3) décrire les mouvements :
a) référentiels :
La description d’un mouvement dépend du référentiel d’étude. Nous utiliserons le plus
souvent le référentiel terrestre.
b) repère d’espace et de temps :
Pour le temps il suffit de choisir un instant origine
et l’unité de temps.
Pour repérer la position d’un point G dans l’espace,
il faut choisir un repère.
Dans un repère orthonormé (O,i,j,k) G est repéré
par ses coordonnées cartésiennes (x,y,z)
OG= xi+yj+zk
x,y,z sont des fonctions du temps.
L’ensemble des positions successives de M
constitue sa trajectoire.
c) vecteur vitesse d’un point mobile
Le vecteur vitesse v d’un point G à une date t a les caractéristiques suivantes :
- direction : tangente à la trajectoire en G
- sens : celui du mouvement
- valeur : en désignant par l la distance parcourue par G pendant la durée t,
v= l/t pour t très petit entourant la date t.
Mathématiquement cela s’écrit : v=lim l/t=dOG/dt
t-> 0
vG(t)=vx(t).i + vy(t).j + vz(t).k
vx(t)=dx/dt = x’ de même pour y et z
4) centre d’inertie d’un système
Il est noté G et à le plus souvent un mouvement plus simple que les autres.
II PREMIERE ET TROISIEME LOIS DE NEWTON :
1) première loi : le principe d’inertie :
Dans un référentiel galiléen, si la somme des forces extérieures qui s’exercent sur un
système est nulle, son centre d’inertie a un mouvement rectiligne uniforme.
Réciproquement, dans un référentiel galiléen, si le centre d’inertie d’un système a un
mouvement rectiligne uniforme, la somme des forces extérieures qui s’exercent sur le
système est nulle :
Fext=0  vG=cste
(en vecteur)
2) Importance du référentiel :
Cette loi n’est valable que dans un référentiel galiléen.
Ex : voir livre p 191 fig7 et 8.
3) Troisième loi de Newton : principe des actions réciproques
A et B étant deux corps en interaction, la force FA/B exercée par A sur B et la force FB/A
exercée par B sur A ont même direction, même valeur et des sens opposés :
FA/B = - FB/A en vecteur.
Ce principe est vrai dans tout référentiel et quelque soit l’état de mouvement des corps A
et B.
III RELATION ENTRE FEXT ET VG
Nous avons appris en classe de première que, lorsqu’un système est soumis à un ensemble
de force extérieures de somme non nulle, le vecteur vG de son centre d’inertie varie en
direction, en sens ou en valeur.
Le vecteur vG, variation du vecteur vG entre deux dates voisines, a même direction et
même sens que le vecteur Fext.
Donc pour prévoir les mouvements produits par des forces, il faut connaître une relation
entre vG et Fext.
Nous verrons en TP que vG/t et F sont proportionnels.
IV LE VECTEUR ACCELERATION
1) définition
Le résultat précédent montre l’importance du vecteur vG/t.
Ce vecteur est le taux de variation du vecteur vG
On appelle vecteur accélération de G, à la date t, le vecteur aG=vG/t lorsque t
tend vers 0.
Mathématiquement on obtient :
aG = lim vG/t ou aG=dvG/dt
t -> 0
L’unité de l’accélération est en m.s-2
2) expression en coordonnées cartésiennes.
aG(t) = dvx/dt.i + dvy/dt.j + dvz/dt.k
= ax(t).i + ay(t).j + az(t).k
Donc ax(t) = dvx/dt = d²x/dt²
De même pour ay et az.
3) le vecteur accélération et l’évolution du vecteur vitesse :
Il est toujours dirigé vers l’intérieur de la courbure de la trajectoire.
Si v augmente v et a sont dans le même sens
Si v diminue, v et a sont dans des sens opposés.
Si le mouvement est rectiligne uniforme aG est nul.
Si le mouvement est rectiligne aG est normal à la trajectoire.
Ex 15 p201
V DEUXIEME LOI DE NEWTON
En généralisant les résultats précédents on obtient l’énoncé de la deuxième loi de Newton :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces extérieures appliquées à un
système mécanique est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération de
son centre d’inertie :
F=m . aG en vect
F en N
aG en m.s-2
m en kg
On peut donc remarquer que plus m est importante et + aG sera petit pour une même force.
C’est ce que l’on appelle l’inertie, c'est-à-dire la résistance du système à la variation de
vitesse.
Ex : résolu p198 et 200
20-24-25