Modèle mathématique.

- Application des nombres complexes en géométrie - 1 / 2 -
APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES EN GEOMETRIE
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormal direct (O;
Error!
,
Error!
)
1 ) UTILISATION DE L'AFFIXE D'UN VECTEUR : DISTANCES ET ANGLES
Rappel : La notion de distance correspond au module, la notion d'angle à l'argument.
Propriétés
Soit ;Vet ;V 'deux vecteurs non nuls d'affixes respectives z et z' .
Si z et z' ont pour formes trigonométriques z = r (cos  + i sin ) et z' = r' (cos ' + i sin ') alors :
(
Error!
,
Error!
) =  = arg z [ 2 ] (
Error!
,
Error!
) = ' –  = arg z' – arg z [ 2 ]
Preuve :
Si ;V a pour affixe z, on sait que ;V = ;OM avec M le point d'affixe z.
D'autre part on a par définition arg z =  = (
Error!
,
Error!
) [ 2 ]
Donc (
Error!
,
Error!
) =  = arg z [ 2 ]
Et (;V,;V ') = (;V,
Error!
) + (
Error!
,
Error!
) = (
Error!
,
Error!
) - (
Error!
,
Error!
) = ' -  = arg z' - arg z [
2 ]
Propriétés
Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A  B et C  D.
 le vecteur ;AB a pour affixe zB - zA , et on a : AB = zB - zA et (Error!,Error!) = arg (zB - zA) [ 2 ]
 Error! = Error! et (Error!,Error!) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg Error! [ 2 ]
Preuve :
 On a vu précédemment que (
Error!
,
Error!
) = arg z [ 2 ] , z étant l'affixe de
Error!
.
On en déduit donc : (
Error!
,
Error!
) = arg (zB - zA) [ 2 ]
Error!
=
Error!
=
Error!
 On a vu précédemment que (;V,;V ') = arg z' - arg z [ 2 ], z étant l'affixe de ;V et z' l'affixe de ;V '.
On en déduit que (;AB,;CD) = arg (zD - zC) - arg (zB - zA) = arg
Error!
[ 2 ] .
Propriétés
Soit A, B, C et D des points d'affixes respectives zA, zB, zC et zD tels que A  B et C  D.
Les propriétés ci-dessous sont équivalentes :
- ;AB
;CD
- ;AB.;CD = 0
- (;AB,;CD) =
Error!
[  ]
- arg Error! = Error! [  ]
-
Error!
est imaginaire pur
Preuve :
 L'équivalence des quatre premières propriétés est immédiate.
 Les nombres complexes imaginaires purs (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument
Error!
ou
Error!
(modulo 2 ), c'est-à-dire
Error!
(modulo )
Propriétés
Soit A, B et C des points distincts d'affixes respectives zA, zB, et zC.
Les propriétés ci-dessous sont équivalentes :
- A, B et C sont alignés
- ;AB et ;AC sont colinéaires
- ;AC = k;AB , k  IR
-
Error!
 IR
- arg
Error!
= 0 [  ]
Preuve :
 L'équivalence des trois premières propriétés est immédiate.
 Le vecteur ;AC ayant pour affixe zC - zA et le vecteur ;ABayant pour affixe zB - zA , on obtient :
;AC = k;AB , k  IR  zC - zA = k (zB - zA) , k  IR 
Error!
 IR
 Les nombres réels (non nuls) sont les nombres complexes ayant pour argument 0 ou  (modulo 2  ), c'est-à-dire 0 (modulo ).
;V(
z )
;V' ( z
)
y
C
M
y

- Application des nombres complexes en géométrie - 2 / 2 -
2 ) CARACTERISATION D'ENSEMBLES DE POINTS
Propriété
Soit C le cercle de rayon r et de centre  d'affixe z = x + i y où x et y sont
des réels . Soit M un point d'affixe z = x + i y où x et y sont des réels.
M
C  | z - z | = r
 z = z + r e i ( où 
IR )
 { x = x + r cos ;y = y + r sin  ( où 
IR )
Preuve :
Par définition M C  M = r  | z - z | = r
On sait qu'un nombre complexe de module r (r 0) s'écrit sous la forme exponentielle r e i  ( où  IR )
On peut donc écrire :
| z - z | = r  z - z = r e i ( où  IR )  z = z + r e i ( où  IR )
En passant aux coordonnées, on obtient :
M C  | z - z | = r z = z + r e i ( où  IR )  { x = x + r cos ;y = y + r sin  ( où  IR )
Propriété
Soit A et B les points d'affixes z et z .
L'ensemble  des points M d'affixes z tels que | z – z | = | z – z | est la médiatrice du segment [AB].
Preuve :
| z – z | = MA et | z – z | = MB ...
3 ) ECRITURE COMPLEXE D'UNE TRANSFORMATION
Propriétés
 L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' = z + b où b est un nombre complexe fixé, est la
translation de vecteur ;V d'affixe b.
 L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' –  = k (z - ) où k est un nombre réel non nul
fixé et  un nombre complexe fixé, est l'homothétie de centre  d'affixe  et de rapport k.
 L'application qui au point M d'affixe z associe le point M' d'affixe z' avec z' - = e i  (z - ) où  est un nombre réel fixé et
 un nombre complexe fixé, est la rotation de centre  d'affixe  et d'angle .
Preuve :
 Si le point M' a pour affixe z' = z + b , alors z' - z = b , donc ;MM' = ;V
 Si le point M' a pour affixe z' avec z' –  = k (z - ) , alors ;M' = k ;M
 Soit M' le point d’affixe z' tel que z' - = e i  (z - )
- si z  on a bien sûr z' . On a alors
Error!
= e i  .
D’où
Error!
= 1 et arg
Error!
=  [ 2 ]
On en déduit que
Error!
= 1 et (
Error!
,
Error!
) =  [ 2 ] , c'est-à-dire M' = M et (
Error!
,
Error!
) =  [ 2 ].
- si z =  alors z' = .  est donc invariant par cette application.
L'application est donc la rotation de centre  et d'angle .
Remarque :
 L'expression de z' en fonction de z est appelée écriture complexe de l'application.