Devoir surveillé N°9.

PCSI. 05/06. Calculatrice autorisée. Durée 4 heures.
Devoir surveillé N°9.
Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs raisonnements avec clarté et précision, rédiger avec soin dans
un français correct, et reporter les numéros des paragraphes et sous-paragraphes dans la marge pour
chaque question.
Il est demandé de justifier clairement les relations utilisées et les réponses. Toute réponse non justifiée ne
sera pas prise en considération.
Tous les résultats littéraux ou numériques devront être encadrés.
Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du problème (ou des
paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême.
Problème 1. Etude du fonctionnement d’une machine ditherme de réfrigération.
(Extrait Concours commun polytechniques 2005)
Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1 constitue un modèle de
fonctionnement d'une machine de réfrigération dans laquelle une masse m de fluide frigorigène subit les
transformations suivantes :
• A B : compression adiabatique dans le compresseur.
• B D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur.
• D E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur.
• E A : vaporisation isobare dans l'évaporateur.
Les sources froide F (intérieur de l'enceinte à réfrigérer) et chaude C (milieu ambiant) sont assimilées à
des thermostats de températures, respectives, TF et TC constantes.
Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide sont négligeables.
Données :
m = 1 kg
TF = 278 K ; TC = 293 K
Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les points A, B et D :
hA = 390,2 kJ.kg–1 ; hB = 448,6 kJ.kg–1 ; hD = 286,4 kJ.kg–1

A- Performances de l'installation
A-l Un système fermé subit une transformation isobare qui le fait évoluer de l'état initial i à l'état final f.
Au cours de cette transformation le système reçoit les quantités d'énergie
Qif
par transfert
thermique et
Wif
par transfert mécanique (travail).
A-1-1 Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation.
A-1-2 Etablir la relation entre la variation d'enthalpie
Hif
du système et
Qif
.
A-2 On désigne par QF et QC les quantités d'énergie reçues par le fluide, par transfert thermique,
respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle
défini ci-dessus.
A-2-1 Donner le schéma de principe de la machine frigorifique. Indiquer le signe des différents
transferts énergétiques.
A-2-2 Exprimer QF et QC en fonction des données.
A-2-3 Calculer QF et QC.
A-3 On désigne par W l'énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d'un cycle.
A-3-1 Exprimer W en fonction des données.
A-3-2 Calculer W.
A-4 On désigne par SF et SC les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement,
avec la source froide et la source chaude au cours du cycle.
A-4-1 Exprimer SF et SC en fonction des données.
A-4-2 Calculer SF et SC.
A-4-3 Calculer l’entropie Sp créée au cours du cycle. Conclusion.
A-5 Calculer l'efficacité de cette installation.
A-6 Sachant que la puissance PF à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est
de 500 W, calculer le débit massique qm que l'on doit imposer au fluide frigorigène.
B - Etude de la compression de la vapeur
La vapeur issue de l'évaporateur est comprimée de la pression pl = 2,008 bar (état A) à la pression
p2 = 16,8l0 bar (état B).
Dans cette partie du problème on admettra que l'on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le
rapport  des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié.
B-1 On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible.
B-1-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression p.
B-1-2 Sachant que TA =263 K, calculer la température T' que l'on atteindrait en fin de compression.
B-2 En réalité la compression A B subie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n'est pas
réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l'intérieur du
compresseur ; de ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée
précédemment. La transformation polytropique A B est la transformation réversible qui
permettrait au fluide d'évoluer de l'état A à l'état B en recevant, par transfert thermique, une quantité
d'énergie Qf équivalente à celle générée par les frottements internes au cours de la transformation
irréversible A B.
Pour établir la loi d'évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réversible
caractérisée par les variations d'énergie interne dU, d'entropie dS et de volume dV. La quantité
d'énergie Qf reçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette transformation, s'écrit
Qf = adU. Dans cette expression a désigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine
étudié.

B-2-1 Exprimer dU en fonction de dS et dV.
B-2-2 Montrer qu'au cours de l'évolution polytropique A B les variables pression p et volume V
vérifient la relation pVk = constante dans laquelle k désigne une constante appelée facteur
polytropique.
Exprimer k en fonction de a et de .
C – Détermination des conditions de fonctionnement permettant d’obtenir l’efficacité maximale.
C-l Préciser la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l'efficacité
maximale
max de la machine de réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des
différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle.
C-2 Sachant qu'au cours de ce cycle la variation d'entropie massique SC du fluide au cours de la
transformation qu'il subit au contact de la source chaude est de – 0,416 kJ.kg–1.K–1, calculer les
quantités d'énergie Q'F, et Q'C reçues, par transfert thermique, par 1 kg de fluide frigorigène, au cours
d'un cycle, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude.
C-3 Exprimer l'efficacité
max en fonction des températures TF et TC et calculer max.
Problème 2. Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène.
(Extrait Concours commun polytechniques 2005)
On donne :
9 31 19
1/4 9,0.10 SI, 9,31.10 kg, 1,6.10 C.
oe
mq
Dans un modèle classique de l’atome d’hydrogène, dû à J.J. Thomson (1895), le noyau positif de charge
totale
e
q
, est modélisé par une sphère uniformément chargée de rayon
12
50.10 m 50 pm.
o
a
1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression littérale et valeur
numérique) ?
2. Expliciter, en fonction de
o
a
, r,
e
q
,
o
en tout point de l’espace le champ
at
E
électrostatique
créé par cette distribution de charge.
Un électron de masse m et de charge -
e
q
, supposé ponctuel, est placé au centre de cette distribution.
3. Montrer que, si l’on écarte l’électron de cette position d’une quantité
o
ra
, il est soumis à
une force de rappel
at e
F
que l’on explicitera.
4. Quelle est l’intensité de cette force pour
r
= 25pm ?
5. Quel sera le mouvement ultérieur de l’électron s’il est lâché, sans vitesse initiale, à partir d’un
point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par
( ,0,0) ; 0
oo o o
r x x a
?
On superpose au champ créé par le noyau, un champ uniforme
ax
a
E E u
.
6. Déterminer l’expression de la valeur maximum de
a
E
pour que l’électron prenne une nouvelle
position d’équilibre
'
o
r
à l’intérieur de la distribution de charge constitué par le noyau.
Quelle est la valeur numérique maximum de
a
E
?
7. Quel est, pour cette valeur maximale, le moment dipolaire
p
de la distribution de charge ?
8. On pose
a
o
pE
où est la polarisabilité électronique. Quelle est l’unité de ? A quelle
caractéristique physique de l’atome peut-on la comparer ? Déterminer son expression.
Quelle est sa valeur numérique pour le modèle de Thomson ?

Problème 3. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique
uniforme.
Charge de l’électron (module) e =
19
1,6.10
C ;
Masse d’un proton : mp = 1,67.10-27 kg ;
Masse d’un électron : me = 9,1.10-31 kg ;
1 eV =
19
1,6.10
J ;
On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que la force
magnétique.
Une particule, de masse m et de charge q, est soumise à l’action d’un champ magnétique
B
uniforme et
permanent (indépendant du temps) dans le référentiel R(Oxyz) supposé galiléen. On appelle
respectivement
,,
x y z
u u u
les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz. Le champ magnétique
B
est
colinéaire à Oz :
B
=B
z
u
(B>0). On note
qB
m
.
La vitesse
v
de la particule a pour composantes
, et
x y L
v v v
:
x y z
x y L
v v u v u v u  
; on pose
xy
xy
v v u v u
et
Lz
L
v v u
;
et L vv
désignent ainsi les composantes de la vitesse
v
respectivement
perpendiculaire et parallèle au champ
B
. La norme du vecteur
v
est notée
v
. À l’instant initial, la
particule se trouve en O avec la vitesse :
0, 0
o x z
o Lo o Lo
v v u v u v v
1. Montrer que l’énergie cinétique Ec de la particule est une constante du mouvement.
2. Montrer que
L
v
est une constante du mouvement. En déduire que
v
est également constant au
cours du mouvement. On pose
2
1
2
c
E mv
.
On étudie la projection du mouvement de la particule dans le plan
P
perpendiculaire à
B
.
3. Déterminer les composantes
et
xy
vv
de la vitesse de la particule en fonction de
,
o
v
et du
temps t.
4. En déduire les coordonnées x et y de la particule à l’instant t.
5. Montrer que la projection de la trajectoire de la particule dans le plan
P
est un cercle de
centre C (centre guide) et de rayon a (rayon de giration). Déterminer les coordonnées xC et yC
de C, le rayon a et la période de révolution T1 de la particule sur ce cercle en fonction
de
et
o
v
.
6. Tracer, avec soin, le cercle dans le plan
P
, dans le cas d’un proton, puis dans le cas d’un
électron. Préciser en particulier les sens de parcours de chaque particule sur .
7. Application numérique B = 0,5 T. On suppose
10
2
2o
Lo v
v
. Calculer, pour un électron d’énergie
cinétique Ec = 55 keV le module v de sa vitesse, le rayon a et la période T1 ; que pensez-vous
de la valeur de v ? Mêmes questions pour un proton d’énergie cinétique Ec = 0, 55 MeV.
8. L’orbite circulaire peut être assimilée à une petite spire de courant. Déterminer l’intensité i de
ce courant associé au mouvement de la particule sur .
9. Quelle est la trajectoire de la particule chargée? Expliquer pourquoi elle s’enroule sur un tube
de champ du champ B.
10. On peut décomposer le mouvement de la particule en un mouvement sur un cercle dont le
centre C se déplace à la vitesse
L
v
le long de Oz. Quelle distance b parcourt le centre C sur Oz
durant la période T1. Exprimer b en fonction de vL et . Comparer b et a dans le cas où
10
2
2o
Lo v
v
.