Devoir surveillé N°9.
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PCSI. 05/06. Calculatrice autorisée. Durée 4 heures. Devoir surveillé N°9. Les candidat(e)s veilleront à exposer leurs raisonnements avec clarté et précision, rédiger avec soin dans un français correct, et reporter les numéros des paragraphes et sous-paragraphes dans la marge pour chaque question. Il est demandé de justifier clairement les relations utilisées et les réponses. Toute réponse non justifiée ne sera pas prise en considération. Tous les résultats littéraux ou numériques devront être encadrés. Toutes les grandeurs physiques seront exprimées en fonction des paramètres du problème (ou des paramètres spécifiés) et simplifiées à l'extrême. Problème 1. Etude du fonctionnement d’une machine ditherme de réfrigération. (Extrait Concours commun polytechniques 2005) Le cycle représenté, dans un diagramme de Clapeyron, par la figure 1 constitue un modèle de fonctionnement d'une machine de réfrigération dans laquelle une masse m de fluide frigorigène subit les transformations suivantes : • A B : compression adiabatique dans le compresseur. • B D : refroidissement et liquéfaction isobares de la vapeur dans le condenseur. • D E : détente adiabatique et isenthalpique dans le détendeur. • E A : vaporisation isobare dans l'évaporateur. Les sources froide F (intérieur de l'enceinte à réfrigérer) et chaude C (milieu ambiant) sont assimilées à des thermostats de températures, respectives, TF et TC constantes. Les variations d'énergie cinétique et d'énergie potentielle du fluide sont négligeables. Données : m = 1 kg TF = 278 K ; TC = 293 K Enthalpies massiques du fluide frigorigène dans les états représentés par les points A, B et D : hA = 390,2 kJ.kg–1 ; hB = 448,6 kJ.kg–1 ; hD = 286,4 kJ.kg–1 A- Performances de l'installation A-l Un système fermé subit une transformation isobare qui le fait évoluer de l'état initial i à l'état final f. Au cours de cette transformation le système reçoit les quantités d'énergie Qi f par transfert thermique et Wi f par transfert mécanique (travail). A-1-1 Appliquer le premier principe de la thermodynamique à cette transformation. A-1-2 Etablir la relation entre la variation d'enthalpie Hi f du système et Qi f . A-2 On désigne par QF et QC les quantités d'énergie reçues par le fluide, par transfert thermique, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude, au cours du cycle défini ci-dessus. A-2-1 Donner le schéma de principe de la machine frigorifique. Indiquer le signe des différents transferts énergétiques. A-2-2 Exprimer QF et QC en fonction des données. A-2-3 Calculer QF et QC. A-3 On désigne par W l'énergie reçue par le fluide, par transfert mécanique (travail), au cours d'un cycle. A-3-1 Exprimer W en fonction des données. A-3-2 Calculer W. A-4 On désigne par SF et SC les valeurs algébriques des entropies échangées par le fluide, respectivement, avec la source froide et la source chaude au cours du cycle. A-4-1 Exprimer SF et SC en fonction des données. A-4-2 Calculer SF et SC. A-4-3 Calculer l’entropie Sp créée au cours du cycle. Conclusion. A-5 Calculer l'efficacité de cette installation. A-6 Sachant que la puissance PF à extraire de la source froide pour maintenir sa température constante est de 500 W, calculer le débit massique qm que l'on doit imposer au fluide frigorigène. B - Etude de la compression de la vapeur La vapeur issue de l'évaporateur est comprimée de la pression pl = 2,008 bar (état A) à la pression p2 = 16,8l0 bar (état B). Dans cette partie du problème on admettra que l'on peut assimiler la vapeur à un gaz parfait dont le rapport des capacités thermiques conserve une valeur constante égale à 1,14 dans le domaine étudié. B-1 On envisage le cas où cette compression pourrait être supposée adiabatique et réversible. B-1-1 Etablir la relation que vérifieraient les variables température T et pression p. B-1-2 Sachant que TA =263 K, calculer la température T' que l'on atteindrait en fin de compression. B-2 En réalité la compression A B subie par la vapeur peut être supposée adiabatique mais n'est pas réversible car on ne peut pas négliger les frottements fluides qui se produisent à l'intérieur du compresseur ; de ce fait la température en fin de compression est supérieure à celle calculée précédemment. La transformation polytropique A B est la transformation réversible qui permettrait au fluide d'évoluer de l'état A à l'état B en recevant, par transfert thermique, une quantité d'énergie Qf équivalente à celle générée par les frottements internes au cours de la transformation irréversible A B. Pour établir la loi d'évolution polytropique, on considère une transformation élémentaire réversible caractérisée par les variations d'énergie interne dU, d'entropie dS et de volume dV. La quantité d'énergie Qf reçue par le fluide, par transfert thermique, au cours de cette transformation, s'écrit Qf = adU. Dans cette expression a désigne un facteur qui sera supposé constant dans tout le domaine étudié. B-2-1 Exprimer dU en fonction de dS et dV. B-2-2 Montrer qu'au cours de l'évolution polytropique A B les variables pression p et volume V vérifient la relation pVk = constante dans laquelle k désigne une constante appelée facteur polytropique. Exprimer k en fonction de a et de . C – Détermination des conditions de fonctionnement permettant d’obtenir l’efficacité maximale. C-l Préciser la nature du cycle réversible que devrait décrire le fluide afin de parvenir à l'efficacité maximale max de la machine de réfrigération. On indiquera avec précision la nature et le rôle des différentes transformations subies par le fluide au cours de ce cycle. C-2 Sachant qu'au cours de ce cycle la variation d'entropie massique SC du fluide au cours de la transformation qu'il subit au contact de la source chaude est de – 0,416 kJ.kg–1.K–1, calculer les quantités d'énergie Q'F, et Q'C reçues, par transfert thermique, par 1 kg de fluide frigorigène, au cours d'un cycle, respectivement, au contact de la source froide et au contact de la source chaude. C-3 Exprimer l'efficacité max en fonction des températures TF et TC et calculer max. Problème 2. Modèle de Thomson de l’atome d’hydrogène. (Extrait Concours commun polytechniques 2005) On donne : 1/ 4 o 9, 0.109 SI, m 9,31.1031 kg, qe 1, 6.1019 C. Dans un modèle classique de l’atome d’hydrogène, dû à J.J. Thomson (1895), le noyau positif de charge totale qe , est modélisé par une sphère uniformément chargée de rayon ao 50.1012 m 50 pm. 1. Quelle est la densité volumique de charge correspondante (expression littérale et valeur numérique) ? 2. Expliciter, en fonction de ao , r, qe , o en tout point de l’espace le champ E at électrostatique créé par cette distribution de charge. Un électron de masse m et de charge - qe , supposé ponctuel, est placé au centre de cette distribution. 3. Montrer que, si l’on écarte l’électron de cette position d’une quantité r ao , il est soumis à 4. une force de rappel F at e que l’on explicitera. Quelle est l’intensité de cette force pour r = 25pm ? 5. Quel sera le mouvement ultérieur de l’électron s’il est lâché, sans vitesse initiale, à partir d’un point caractérisé, dans un repère cartésien centré sur le noyau, par r o ( xo ,0,0) ; 0 xo ao ? On superpose au champ créé par le noyau, un champ uniforme E a Ea u x . 6. Déterminer l’expression de la valeur maximum de Ea pour que l’électron prenne une nouvelle position d’équilibre r o ' à l’intérieur de la distribution de charge constitué par le noyau. Quelle est la valeur numérique maximum de Ea ? 7. Quel est, pour cette valeur maximale, le moment dipolaire p de la distribution de charge ? 8. On pose p o E a où est la polarisabilité électronique. Quelle est l’unité de ? A quelle caractéristique physique de l’atome peut-on la comparer ? Déterminer son expression. Quelle est sa valeur numérique pour le modèle de Thomson ? Problème 3. Mouvement d’une particule chargée dans un champ magnétique uniforme. Charge de l’électron (module) e = 1, 6.1019 C ; Masse d’un proton : mp = 1,67.10-27 kg ; Masse d’un électron : me = 9,1.10-31 kg ; 1 eV = 1, 6.1019 J ; On se place dans le cadre de la mécanique newtonienne et on néglige toutes les forces autres que la force magnétique. Une particule, de masse m et de charge q, est soumise à l’action d’un champ magnétique B uniforme et permanent (indépendant du temps) dans le référentiel R(Oxyz) supposé galiléen. On appelle respectivement u x , u y , u z les vecteurs unitaires des axes Ox, Oy et Oz. Le champ magnétique B est qB colinéaire à Oz : B =B u z (B>0). On note . m La vitesse v de la particule a pour composantes vx , v y et vL : v vx u x vy u y vL u z ; on pose v vx u x v y u y et v L vL u z ; v et v L désignent ainsi les composantes de la vitesse v respectivement perpendiculaire et parallèle au champ B . La norme du vecteur v est notée v . À l’instant initial, la particule se trouve en O avec la vitesse : vo vo u x vLo u z vo 0, vLo 0 Montrer que l’énergie cinétique Ec de la particule est une constante du mouvement. Montrer que v L est une constante du mouvement. En déduire que v est également constant au 1 cours du mouvement. On pose Ec mv2 . 2 On étudie la projection du mouvement de la particule dans le plan P perpendiculaire à B . 1. 2. 3. 4. 5. Déterminer les composantes vx et v y de la vitesse de la particule en fonction de vo , et du temps t. En déduire les coordonnées x et y de la particule à l’instant t. Montrer que la projection de la trajectoire de la particule dans le plan P est un cercle de centre C (centre guide) et de rayon a (rayon de giration). Déterminer les coordonnées xC et yC de C, le rayon a et la période de révolution T1 de la particule sur ce cercle en fonction de vo et . Tracer, avec soin, le cercle dans le plan P , dans le cas d’un proton, puis dans le cas d’un électron. Préciser en particulier les sens de parcours de chaque particule sur . 2 2 v o 7. Application numérique B = 0,5 T. On suppose vLo . Calculer, pour un électron d’énergie 10 cinétique Ec = 55 keV le module v de sa vitesse, le rayon a et la période T1 ; que pensez-vous de la valeur de v ? Mêmes questions pour un proton d’énergie cinétique Ec = 0, 55 MeV. 8. L’orbite circulaire peut être assimilée à une petite spire de courant. Déterminer l’intensité i de ce courant associé au mouvement de la particule sur . 9. Quelle est la trajectoire de la particule chargée? Expliquer pourquoi elle s’enroule sur un tube de champ du champ B. 10. On peut décomposer le mouvement de la particule en un mouvement sur un cercle dont le centre C se déplace à la vitesse v L le long de Oz. Quelle distance b parcourt le centre C sur Oz 2 2 v o durant la période T1. Exprimer b en fonction de vL et . Comparer b et a dans le cas où vLo . 10 6.
