II Équations linéaires à deux inconnues (rappels)

Chapitre 2 : les systèmes
I Équations de droites
Propriété 1 (rappels)
Dans un repère, toute droite a une équation de la forme :
y =mx +p, si la droite n’est pas parallèle à l’axe des ordonnées ;
x = c, si la droite est parallèle à l’axe des ordonnées.
Cette équation est appelée équation réduite de la droite, m est appelé coefficient directeur de la droite et
p : ordonnée à l’origine
Propriété 2 (rappel)
Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles entre elles
si et seulement si elles ont même coefficient directeur.
Propriété 3
Dans un repère :
• Soit D une droite du plan. Tous les points de cette droite ont des coordonnées qui vérifient une même
équation de la forme ax +by +c = 0 avec (a;b)  (0;0).
• L’ensemble des points M(x; y) du plan qui vérifient ax +by +c = 0 avec (a;b)  (0;0) est une droite D.
On dira que la droite D admet comme équation ax +by +c = 0.
Remarque. Si l’équation réduite est unique, ce n’est pas le cas d’une équation de la forme ax +by +c = 0. En
effet, il suffit de multiplier cette équation par un réel quelconque (différent de 0) pour en obtenir une autre.
Exemple : x + y + 1 = 0 et 2x + 2y + 2 = 0 sont deux équations de la même droite.
Preuve de la propriété.
 • Soit D une droite du plan et M(x; y) un point de D. D a pour équation réduite y =mx +p ou x = c.
 Dans le premier cas, tous les points M(x; y) vérifient y = mx + p ⇔ mx − y + p = 0 qui est de la forme ax +by +c = 0 avec
(a;b)  (0;0).
 Dans le second cas, tous les points M(x; y) vérifient x = c ⇔x −c = 0 qui est de la forme ax +by +c = 0 avec (a;b)  (0;0).
 • Soit E l’ensemble des points M(x; y) vérifiant ax +by +c = 0 avec (a;b)  (0;0).
Si a = 0, 0 et donc ax +by +c = 0⇔by = −c ⇔ y = − Error! (droite parallèle à l’axe des abscisses) qui est de la forme y =mx +p.
Si b = 0, a  0 et donc ax +by +c = 0⇔ax = −c ⇔x = − Error! (droite parallèle à l’axe des ordonnées) qui est de la forme x = c.
Si a 0 et b  0, ax +by +c = 0⇔by = −ax −c ⇔ y = − Error! x − Error! qui est de la forme y =mx +p.
Dans tous les cas, c’est bien une droite.
Propriété 4
Deux droites D et D′ d’équations respectives ax +by +c = 0 et a′x +b′y +c′ = 0 sont
parallèles si et seulement si ab′ −a′b = 0
Preuve.
• Supposons que D et D′ sont parallèles.
• Si elles sont parallèles à l’axe des ordonnées, on a alors b = b′ = 0 et donc ab′ −a′b = 0
• Dans tous les autres cas, elles admettent comme équations réduites, respectivement,
y = − Error!x − Error! et y = − Error! x − Error!.
Étant parallèles, −Error! = − Error! ⇔ − ab′ = − a′b ⇔ ab′ − a′b = 0.
• Supposons que ab′ −a′b = 0.
• Si b = 0, a  0 et donc b′ = 0. De même, si b′ = 0, b = 0.
Les deux droites sont alors parallèles à l’axe des ordonnées.
• Dans tous les autres cas, ab − a′b = 0 ⇔ − Error! = − Error!
, donc elles ont même coefficient directeur.
II Équations linéaires à deux inconnues (rappels)
Définition 1 Une équation de la forme ax +by +c = 0 ou ax +by = c, avec (a;b)  (0;0), est appelée équation linéaire à
deux inconnues.
Propriété 6 : Soit (S) Un système de deux équations linéaires à deux inconnues. (S). { ax +by = c;a′x +b′y = c'
(S) a autant de solutions qu’il y a d’intersections aux droites D et D′ d’équations respectives
ax +by = c et a′x +b′y = c′, c’est-à-dire :
• si ab′ −a′b  0, une unique solution (x; y)
• si ab′ −a′b = 0, aucune solution (droites parallèles non confondues) ou une infinité (droites parallèles
confondues)
La quantité ab′ −a′b est appelée déterminant du système (car elle détermine le nombre de solutions)
Un système ayant une unique solution se résout par substitution ou par combinaisons linéaires (ou par un
mélange des deux).
Exemple :
Soit (S) : { x + 5 y = 2 ( L1 ) ; 4 x – 3 y = 1 ( L2)
Ce système admet une unique solution car son déterminant 1x(-3) 4x5 = -23 est différent de 0.
- 4 x( L1 ) ; 4 x – 3 y = 1 ( L2)
Méthode mixte : on commence par la combinaison linéaire : { - 4 x - 20 y = - 8
En additionnant ces deux lignes, et en reprenant la ligne (L1), on trouve : { x + 5 y = 2 ; -23 y = - 7
D’où y = Error! . On termine par la méthode par substitution, en remplaçant y dans l’équation (L1) : x + 5 x Error! = 2
Soit x= 2 – Error! = Error! = Error!.
On écrit S = { ( Error! ; Error! )}
2.3 Équations linéaires à trois inconnues
Définition 2
Une équation de la forme ax+by+cz+d = 0 ou ax+by+cz = d, avec (a;b;c)  (0;0;0), est appelée équation
linéaire à trois inconnues.
2.4 Système d’inéquations linéaires Systèmes
Résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues c’est trouver tous les triplets (x; y; z) vérifiant
les trois équations. Il peut y avoir 0, 1 ou une infinité de solutions.
Cela se fait par substitution ou combinaison, ou mélange des deux.
2.3.1 Exemple
Soit (S) le système suivant :
(S) { x + y −z = 1 (E1) ;x +2y +z = 7 (E2) ;2x − y +2z = 4 (E3)
Par substitution
On isole une inconnue dans une des lignes, par
exemple x dans (E1) : x = −y +z +1 et on la remplace
dans les deux autres :
(S)
{ x = −y +z +1 ;−y +z +1+2y +z = 7 ;2(−y +z +1)− y +2z = 4
{ x = −y +z +1 ;y +2z = 6 ;−3y +4z = 2
⇔
Les deux dernières lignes forment un sous système
d’équations linéaires à deux inconnues qu’on peut
résoudre
comme on veut. Continuons, par exemple, par
substitution :
(S)⇔ { x = −y +z +1 ;y = 6−2z ;−3(6−2z)+4z = 2 ⇔
{x=
−y +z +1 ;y = 6−2z ;10z = 20
Donc z = 2 puis il vient y = 6−2z = 2 et x = −y+z+1 =1.
La solution du système est donc (1;2;2).
Par combinaison
Avec une des lignes, par exemple (E1), on fait disparaître
une inconnue, par exemple y dans les deux
autres : (S)
{ x + y −z = 1 (E1) ;−x +3z = 5 (E2 −2E1);3x +z = 5 (E3 +E1)
Les deux dernières lignes forment un sous système
d’équations linéaires à deux inconnues qu’on peut
résoudre
comme on veut. Continuons, par exemple, par
combinaison :
(S) { x + y −z = 1 ;−x +3z = 5 ;10z = 20 (E3 +3E2)
Donc z = 2 puis il vient −x+6 = 5⇔x = 1 et 1+y −2 =
1⇔y = 2.
La solution du système est donc (1;2;2).