Impédances complexes

IMPEDANCE COMPLEXE
I) Définitions
a) Impédance et loi d'Ohm
D
I
U
Loi d'Ohm : En convention récepteur ……………….
avec Z impédance complexe du dipôle D
.....
=> Z 
.....
Propriétés :
U
U
.....
avec | Z | en ohm (Ω)


I
I
.....
 arg( Z ) = arg( U ) - arg( I ) = θu - θi = φu/i (différence de phase de u par rapport à i)
Z 

rem : Le module permet de rendre compte de la relation d'amplitude entre courant et tension et
l'argument permet de rendre compte de la relation de différence de phase entre courant et tension.
U
φu/i
I
φu/i est l'angle qu'il faut "ajouter"
à I pour "arriver" jusqu'à U.
θu
θi
x
u(t)
Pour cet exemple :
i(t)
τ
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
t
u(t) est en
sur i(t)
i(t) est en
sur u(t)
φu/i est de signe
τ est le décalage horaire entre les deux courbes, il est proportionnel à la différence de phase φu/i.
b) Admittance
Loi d'Ohm : en convention récepteur …………… avec Y admittance et Y 
Propriétés :
....
....
I
I
I
avec | Y | en siemens (S)


U
U
U
 arg( Y ) = arg( I ) - arg( U ) = θi - θu = φi/u (différence de phase de i par rapport à u)
Y 

1

Y 
1

Remarque : Y  donc 
Z
Z
arg( Y )  arg( Z )
II) Dipôles élémentaires
Type de dipôle
Relation en
instantané
Relation en
complexe
Impédance
Résistance
R (Ω)
Inductance
L (H)
Capacité
C (F)
Exercice : Donner l'expression de YR, YL, YC admittances complexes de R, L et C.
Remarque : Z = R + j X avec R résistance et X réactance du dipôle
Si X > 0 le dipôle est inductif.
Si X < 0 le dipôle est capacitif.
III) Association de dipôles passifs
a) Association série
ZAB
A
I
Z1
U1
Z2
U2
Z3
U3
B Z AB 



 U 
U
Exercice d'application :
Donner l'expression de U2 en fonction de Z1, Z2, Z3 et U
Fresnel
b) Parallèle
I1
I
A
YAB
Y1
Y AB 



 I 
Y2
I2
B
Y3
I3
U
Rem : si on a seulement deux impédances Z1 et Z2 en parallèle alors
Z Z
Z AB  1 2
Z1  Z 2
IV) Modèles équivalents de générateurs
Déf. : Tout dipôle actif AB peut-être remplacé par un modèle équivalent de Thévenin (M.E.T.) ou u
modèle équivalent de Norton (M.E.N.)
A
I
Dipôle
actif
U
Zu
B
MET
MET
MEN
Z0
A
A
MEN
I
I
I0
U0
U
Zu
B
Y0
U
Zu
B
maille : U = ……………….
obtention de U0 et Z0
Tension à vide : U0 = UAB avec Zu déconnecté
nœud : I = ……………….
Obtention de I0 et Y0
Courant de court-circuit : I0 = IAB avec Zu
remplacé par un court-circuit
Impédance interne : Z0 = ZAB si U0 est éteint
Admittance interne : Y0 = YAB si I0 est éteint
Remarque :
On peut passer du MET au MEN en montrant que :
U0 = Z0 I0 et Y 0 
1
Z0
V) Théorème de superposition
a) sources indépendantes
Déf.1 : L'intensité du courant circulant dans une branche d'un circuit comportant plusieurs générateurs, est
la somme des courants dans cette branche lorsque chaque générateur fonctionne seul, les autres étant
éteints.
Déf.2 : La tension aux bornes d'un dipôle d'un circuit comportant plusieurs générateurs, est la somme des
tensions aux bornes de ce dipôle lorsque chaque générateur fonctionne seul, les autres étant éteints.
Exercice d'application :
A
I
E1 = [20V; 0] = 20 ; E2 = [10V; π] = -10
Z1
Z2
Z1 = j 20 ; Z2 = j 30 ; Z = - j 10
U
Z
E1
E2
B
Calculer U et I
VI) Modèle d'un dipôle passif
1) Facteur de qualité
Rappel :
Puissance active (en Watt) : PD = …………
Puissance réactive (en VAR) : QD = …………
i
D
u
Résistance R :
PR = …………………
QR = ……….
Inductance L :
PL = ……….
QL = ……….
Capacité C :
PC = ………..
QC = ……….
Démonstration pour C :
j
j
I
I
=> U = | U | = | 
||I|=
Cω
Cω
Cω
π
Pour C : φu/i = - => sin φu/i = -1 donc QC = -U2Cω
2
U = ZC I = 
=> I = CωU => U I = U2Cω
Déf. : Le facteur de qualité Q d'un dipôle D est définit par :
puissance réactive consommée par D
(sans unité)
Q
puissance actice consommée par D
Rem :
Ne pas confondre la puissance réactive (QR, QC ou QL) et le facteur de qualité (Q)
Si PD diminue alors Q augmente. Le facteur de qualité caractérise la part de "réactivité" par
rapport à la part "d'activité" du dipôle.
Une inductance ou une capacité parfaites (de résistance nulle) ont un facteur de qualité infini.
Théorème de Boucherot (rappel) :
La puissance active totale dissipée par une association quelconque de dipôles est la somme des
puissances actives dissipée par chaque dipôle (Ptotale = P1 + P2 + …. + Pn)
De même la puissance réactive totale d'une association quelconque de dipôles est la somme des
puissances réactives de chaque dipôle (Qtotale = Q1 + Q2 + …. + Qn)
2) Modèle série d'une bobine réelle
r,L
rs
Ls
Q = ……………………
Rem : Q dépend de ω
3) Modèle parallèle d'un condensateur réel
Rp
R,C
Cp
Q = …………………….
Rem : Q dépend de ω
4) Passage entre un modèle série et un modèle parallèle
Rp
Rs
Xs
X est une réactance :
j
X = jLω ou X =
Cω
Xp
On peut montrer que si Q2 > 10 alors : Rp = Q2 Rs et Xp = Xs
Ces relations permettent de passer du modèle série d'un composant à son modèle parallèle et
réciproquement.
Rem. :
Q est fonction de la pulsation ω (ou de la fréquence), donc le modèle parallèle d'une bobine et le
modèle série d'un condensateur ne sont valables ………… pulsation (ou fréquence) donnée.
VII) Pont d'impédance
I1
Z1
Z2
D
I2
Z3
Z4
Générateur sinusoïdal
On dit que le pont est à l'équilibre lorsque le détecteur D
(Amètre ou Vmètre) indique 0
 I1 traverse Z1 et Z 2
I traverse Z et Z
3
4
 2
Alors :

U

U
Z1
Z3


U Z4  U Z2
Z1 I1  Z 3 I 2 
Z1 Z 3
donc

 
Z 2 I1  Z 4 I 2 
Z2 Z4
On en déduit :
Z1 Z4 = Z2 Z3
Utilité :
On remplace deux des impédances par des résistances étalons, (R1, R2), on remplace une des
impédance par une impédance réglable (de valeur connue), on peut déterminer la valeur de la
quatrième.