Modèle mathématique.

Chapitre 7
Terminale S
APPLICATION DES NOMBRES COMPLEXES
A LA GEOMETRIE
I
Affixe d'un vecteur (rappel)
Dans le plan complexe on associe au vecteur Error!(a;b) le nombre complexe z = a + ib appelé affixe de
Error!
Remarque: Si Error! et Error! ont pour affixes z et z', alors l'affixe du vecteur Error! + Error! est z + z'.
Propriétés:
Soit 2 points du plan complexe A et B d'affixes respectives z A et zB
L'affixe du vecteur Error!
est
zB- zA
L'affixe du barycentre G des points pondérés (A,) et (B,) avec +  0 est
zG = Error!
II
Utilisation de l'affixe d'un vecteur
1)
Distance AB, angle (Error! ; Error! )
Soit ( O;Error! ; Error!) un repère orthonormé direct du plan complexe , Error! un vecteur et les
points
A d'affixe z a et B d'affixe z b , on peut écrire:
AB = zb - za 
2)
et
(Error! ; Error! ) = arg( zb - za )
Mesures d'un angle orienté
Théorème :
A, B, C, D sont des points d'affixes za , zb , zc , zd tel que za  zb , zc  zd
alors (Error!; Error!) = arg ( Error! )
Démon. ROC :
3)
Caractérisation d'ensembles de points
Le cercle:
Stepec
Soit r un réel tel que r > 0 et c un complexe .
L'ensemble  des points M d'affixe z tels que z- c = r est le cercle de centre C
d'affixe c et de rayon r
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Chapitre 7
Terminale S
Médiatrice de [AB] : Soit A d'affixe a et B d'affixe b et a  b . L'ensemble  des points M d'affixe z tel
que
z - a = z – b 
est la médiatrice du segment [ AB]
1/2 droite ouverte: Soit A d'affixe a , Error! et  un réel tel que (Error!; Error! ) =  .
La 1/2 droite ouverte d'origine A dirigée par Error!est l'ensemble des points M
d'affixes z tel que
arg (z – a ) = .
Exercices: 5, 7 p360, 17p361, 19p362
III
Ecritures complexes de transformations
1)
Ecriture complexe d'une translation
Error!
M(z) (b)
Théorème:
2)
une translation de vecteur Error! d'affixe b

Error! a pour écriture complexe:
z' = z + b
M'(z')
Error!
Error!
(b)
Ecriture complexe d'une Homothétie
Théorème:
M'(z')
 (w)
 est le point d'affixe w et k un réel non nul.
H l'homothétie de centre  et de rapport k

H a pour écriture complexe: z' – w = k ( z – w )
M(z)
3)
Ecriture complexe d'une rotation
Théorème:
 est le point d'affixe w et  un réel quelconque.
R la rotation de centre  et d'angle 

R a pour écriture complexe: z' – w = e i ( z – w )
Exercices:20, 21, 24, 25, 27p362
Stepec
M'(z')
 (w)
M(z)
ex 32, 34, 54, 57, 68
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