IV. Déterminer l`expression algébrique d`une fonction linéaire

CHAPITRE 10 : FONCTIONS LINÉAIRES
TRAITE ENTRE LE …………………….. ET LE ………………………….
EVALUATIONS :
DEVOIR MAISON N°… A RENDRE LE ………………………………..
CONTROLE N°… FAIT LE ……………………………..
INTERROGATIONS : N° … FAITE LE …………………
PROGRAMMES :
Chapitre 10 : Fonctions linéaires
Troisième 2010-2011
CHAPITRE 10 : FONCTIONS LINÉAIRES
Chapitre 10 : Fonctions linéaires
Troisième 2010-2011
Définition : On dit qu’une fonction est linéaire lorsqu’il y a proportionnalité entre ses antécédents et leurs images.
I.
EXPRESSION ALGEBRIQUE
Une fonction f est linéaire lorsqu’il existe un nombre a tel que f peut s’écrire : f : x ax .
Le nombre a est appelé coefficient linéaire de la fonction f.
Exemples : La fonction « triple » est linéaire : g : x
3x son coefficient est 3.
Remarque : Le coefficient linéaire est en fait le coefficient de proportionnalité qui permet de passer des antécédents à leurs
images.
Exemples : Les fonctions suivantes sont des fonctions linéaires :
h:x
–15x (le coefficient linéaire est –15)
x
1
i:x
(le coefficient linéaire est )
8
8
j:x
3(x – 7) + 21 (car 3(x – 7) + 21 = 3x – 21 + 21 = 3x et le coefficient linéaire est alors 3)
Par contre, k : x
x² n’est pas une fonction linéaire.
II.
TABLEAU DE VALEURS, CALCULS D’ANTECEDENTS, CALCULS D’IMAGES
Exemple : On considère la fonction g : x
3x
Calcul de l’image de –5 : g (–5) = 3  (–5) = –15
Calcul de l’antécédent de 11 : soit x l’antécédent de 11 :
Voici un tableau de valeurs :
g (x) = 11
3x = 11
x = 11 / 3
x
–5
0
1
11
3
10
g (x)
–15
0
3
11
30
Propriété : Un tableau de valeurs d’une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
Remarques : Par une fonction linéaire, l’image de 0 est toujours 0. (car f (0) = a  0 = 0)
l'image de 1 est toujours le coefficient linéaire (car f (1) = a  1 = a)
III.
REPRESENTATION GRAPHIQUE
Propriété : La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine du repère.
Démonstration : vue en classe.
Exercice : Représenter graphiquement la fonction g : x
3x .
g est une fonction linéaire, sa représentation graphique est donc une droite  passant par l’origine du repère.
g (10) = 3  10 = 30 donc M(10 ; 30)  
Chapitre 10 : Fonctions linéaires
Troisième 2010-2011
IV.
DETERMINER L’EXPRESSION ALGEBRIQUE D’UNE FONCTION LINEAIRE
1.
A partir d’un nombre et de son image
Exercice : Déterminer l’expression algébrique de la fonction linéaire k telle que k (13) = 22
k est une fonction linéaire, par conséquent son expression algébrique est de la forme : k : x
ax (où a est un
nombre à déterminer)
k (13) = 22
a  13 = 22
a = 22/13
Conclusion : k : x
22/13 x
2.
A partir de sa représentation graphique
Exercice : Déterminer l’expression algébrique de la fonction i représentée graphiquement ci-dessous
La fonction i est représentée graphiquement par une droite passant par l’origine du repère. Par conséquent, c’est une
fonction linéaire et donc son expression algébrique est de la forme : i : x
ax (où a est un nombre à déterminer).
M (3 ; 15) est sur la droite donc : i (3) = 15
a  3 = 15
a = 15 / 3
a =5
Conclusion : i : x
5x.
ACTIVITE 1 : FONCTION LINEAIRE
Chapitre 10 : Fonctions linéaires
Troisième 2010-2011
1. Des situations aux fonctions
a) Pour calculer le périmètre d’un carré, on …………………… la longueur de son côté par ……
Dans un vidéo-club, l’abonnement coûte 10 € et on paye 1,30 € par DVD loué. Pour calculer le prix total payé
dans l’année, on …………………le nombre de DVD loués par ……. et on ……………………
Le super SP 98 coûte 1,30 € le litre à une station-service. Pour calculer le prix à payer, on ……………….. le volume
(en L) d’essence acheté par …………..
b) Parmi ces trois situations, quelles sont les situations de proportionnalité ?
c) A laquelle des situations précédentes correspond :
 La fonction f : x
1,3x
 La fonction g : x
1,3x + 10
 La fonction h : x
4x
Quelle particularité ont les expressions algébriques des fonctions associées aux situations de proportionnalité ?
Une situation de proportionnalité se traduit par une fonction linéaire.
Une fonction linéaire est une fonction de la forme : x
ax où a est un nombre fixe appelé le
coefficient (de proportionnalité).
On parle alors de la fonction linéaire de coefficient a.
d) Imaginer une situation correspondant à la fonction linéaire de coefficient 6.
2. D’une fonction à une situation
Soit f la fonction linéaire de coefficient 8.
a) Calculer f (7), puis l’image de (–9) par la fonction f .
b) Calculer le (ou les) antécédent(s) de 32 par la fonction f.
Calculer le (ou les) antécédent(s) de (–80) par la fonction f.
c) Au cinéma, le prix d’une place est de 8 €. Le prix, en euros, pour x places est donc f (x) = ………….
Interpréter correctement, lorsque cela est possible, les résultats obtenus aux questions a) et b).
3. Pourcentage d’augmentation ou de diminution
a) Dans un magasin, on augmente les prix de 2%.
 un article coûte 50 €. Calculer le nouveau prix.
 un article coûte x €. Exprimer en fonction de x, le nouveau prix.
 Les nouveaux prix sont-ils proportionnels aux anciens ? Donner l’expression algébrique de la fonction qui, à un prix
initial, associe le nouveau prix après augmentation ? Quel est le coefficient de cette fonction linéaire ?
b) Reprendre la question a) en remplaçant l’augmentation de 2% par une baisse de 2%.
4. Représentation graphique d’une fonction linéaire
On reprend une des fonctions du 1.
On considère la fonction h qui, à la longueur du côté d’un carré x,
associe son périmètre : h : x
4x.
On se place dans un repère d’origine O.
La représentation graphique d’une situation de proportionnalité est
une ……………………………passant par
……………………………………………………………..
Par conséquent, pour représenter graphiquement une fonction
linéaire, il suffit de trouver …… point(s).
h(…) = …… par conséquent le point ……………………. est
aussi sur cette droite.
Faire la représentation graphique de cette fonction sur le
quadrillage ci-contre.
Chapitre 10 : Fonctions linéaires
Troisième 2010-2011
FICHE D’EXERCICES N°1
 Faire le lien entre les différentes formes d’une fonction linéaire
Expression algébrique de la
fonction linéaire
f:x
2,5x
coefficient de linéarité : …..
f:x
………..
coefficient de linéarité : …..
f:x
………..
coefficient de linéarité : …..
f:x
………..
coefficient de linéarité : …..
f:x
–0,2x
coefficient de linéarité : …..
Valeur particulière
Point particulier
f (……) = ……
M (…… ; ……)
f (2) = –1
M (…… ; ……)
f (……) = ……
M (…… ; ……)
f (……) = …….
M (– 2 ; 3,5)
f (……) = ……
M (…… ; ……)
Représentation graphique de
la fonction linéaire
 Pourcentage d’augmentation ou de diminution
a) Dans un magasin, on augmente les prix de 2%.
 un article coûte 50 €. Calculer le nouveau prix.
 un article coûte x €. Exprimer en fonction de x, le nouveau prix.
 Les nouveaux prix sont-ils proportionnels aux anciens ? Donner l’expression algébrique de la fonction qui, à un prix
initial, associe le nouveau prix après augmentation ? Quel est le coefficient de cette fonction linéaire ?
b) Reprendre la question a) en remplaçant l’augmentation de 2% par une baisse de 2%.
 Retrouver un pourcentage d’augmentation (ou de diminution)
a) Déterminer l’expression algébrique de la fonction qui à un prix initial, associe sont nouveau prix après une augmentation
de 8% ……………………………………………………………………………………………………………………….
b) Déterminer l’expression algébrique de la fonction qui à un prix initial, associe sont nouveau prix après une augmentation
de n% ……………………………………………………………………………………………………………………….
c) Après une augmentation, le prix d’un article passe de 32 € à 44 € . Déterminer le pourcentage d’augmentation de cet
article.
d) Après une réduction, le prix d’un article passe de 27 € à 22 € . Déterminer le pourcentage de réduction appliqué à cet
article (arrondi à 0,1% près)