fonction lineaire

COURS DE MATHS : FONCTIONS LINÉAIRES
1. Définition d'une fonction linéaire
 Une fonction linéaire est une fonction qui, à
tout nombre x, associe le nombre ax , où a
étant un nombre quelconque donné.
a est appelé le coefficient de la fonction
linéaire.


On notera cette fonction de manière équivalente :
ou f : x → ax ou f(x) = ax.
EXEMPLES :
• la fonction linéaire f de coefficient 3
se note f : x → 3x ou f(x) = 3x
• la fonction linéaire g de coefficient 1
se note g : x → x ou g(x) = x.
Remarques :
pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on
a : f(0) = a × 0 = 0.

2. CALCULS AVEC DES FONCTIONS
LINÉAIRES
a. Images et antécédents par une fonction linéaire
1) Déterminer l’image de –5 et 0 par la
fonction f : x → 4x.
* On a f(–5) = 4 × (–5) = –20 . Donc l’image de -5 par f est –20.
* De même f(0) = 0 . Donc l’image de 0 par f est 0 .
2) Déterminer les antécédents de 0 et –10 par
la fonction h de coefficient 5.
• Il s’agit de trouver le nombre x tel que h(x) = –10.
Or, h(x) = 5x donc 5x = –10 ; soit x = = –2.
L’antécédent de –10 par h est –2.
• Toute fonction linéaire h est telle que h(0) = 0, donc
l’unique antécédent de 0 par h est 0.
REMARQUE :
PAR UNE FONCTION LINÉAIRE DE COEFFICIENT A NON NUL,
TOUT NOMBRE POSSÈDE UN UNIQUE ANTÉCÉDENT.
b. Détermination d'une fonction linéaire
Exemple : Déterminer la fonction linéaire h telle que h(-1) = 4.
h est une fonction linéaire donc il existe un coefficient a tel
que : h(x) = ax.
Donc h(-1) = a(-1) = -a.
Or, h(-1) = 4 .
Donc : -a = 4 , soit a = -4.
La fonction h est la fonction linéaire définie par : h(x) = -4x.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION
LINÉRAIRE :
SOIT A UN NOMBRE RÉEL QUELCONQUE. DANS UN REPÈRE, LA FONCTION
LINÉAIRE DE COEFFICIENT A EST REPRÉSENTÉE PAR UNE DROITE QUI
PASSE PAR L'ORIGINE DU REPÈRE.
A EST LE COEFFICIENT DIRECTEUR DE LA DROITE :
• SI A EST POSITIF, LA DROITE MONTE.
• SI A EST NÉGATIF, LA DROITE DESCEND.
• SI A EST ÉGAL À 0, LA DROITE EST CONFONDUE AVEC L'AXE DES
ABSCISSES.
EXEMPLES :
LA DROITE ROUGE REPRÉSENTE
LA FONCTION F:X ↦ 2X.
2 EST POSITIF DONC LA DROITE
"MONTE".
ELLE PASSE PAR L'ORIGINE DU
REPÈRE ET PAR LE POINT DE
COORDONNÉES (1;2).
LA DROITE ROUGE REPRÉSENTE
LA FONCTION F:X ↦ −12X.
−12 EST NÉGATIF DONC LA DROITE
"DESCEND".
ELLE PASSE PAR L'ORIGINE DU
REPÈRE ET PAR LE POINT DE
COORDONNÉES (1;−12).

https://youtu.be/I5WNPrpp
rdw?t=42
https://youtu.be/6cExsf2MHBk