fonction lineaire

COURS DE MATHS : FONCTIONS LINÉAIRES
1. Définition d'une fonction linéaire
Une fonction linéaire est une fonction qui, à
tout nombre x, associe le nombre ax , où a
étant un nombre quelconque donné.
aest appelé le coefficient de la fonction
linéaire.
On notera cette fonction de manière équivalente :
ou f : x → ax ou f(x) = ax.

EXEMPLES :
• la fonction linéaire f de coefficient 3
se note f : x → 3x ou f(x) = 3x
• la fonction linéaire g de coefficient 1
se note g : x → x ou g(x) = x.
Remarques :
pour toute fonction linéaire f de coefficient a, on
a : f(0) = a ×0 = 0.

2. CALCULS AVEC DES FONCTIONS
LINÉAIRES
a. Images et antécédents par une fonction linéaire
1) Déterminer l’image de –5 et 0 par la
fonction f: x → 4x.
* On a f(–5) = 4 ×(–5) = –20 . Donc l’image de -5 par fest –20.
* De même f(0) = 0 . Donc l’image de 0 par f est 0.
2) Déterminer les antécédents de 0 et –10 par
la fonction hde coefficient 5.
• Il s’agit de trouver le nombre x tel que h(x) = –10.
Or, h(x) = 5x donc 5x = –10 ; soit x = = –2.
L’antécédent de –10 par hest –2.
• Toute fonction linéaire h est telle que h(0) = 0, donc
l’unique antécédent de 0 par h est 0.

REMARQUE :
PAR UNE FONCTION LINÉAIRE DE COEFFICIENT ANON NUL,
TOUT NOMBRE POSSÈDE UN UNIQUE ANTÉCÉDENT.
b. Détermination d'une fonction linéaire
Exemple : Déterminer la fonction linéaire htelle que h(-1) = 4.
hest une fonction linéaire donc il existe un coefficient atel
que : h(x) = ax.
Donc h(-1) = a(-1) = -a.
Or, h(-1) = 4 .
Donc : -a = 4 , soit a = -4.
La fonction hest la fonction linéaire définie par : h(x) = -4x.

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D'UNE FONCTION
LINÉRAIRE :
SOIT AUN NOMBRE RÉEL QUELCONQUE. DANS UN REPÈRE, LA FONCTION
LINÉAIRE DE COEFFICIENT AEST REPRÉSENTÉE PAR UNE DROITE QUI
PASSE PAR L'ORIGINE DU REPÈRE.
AEST LE COEFFICIENT DIRECTEUR DE LA DROITE :
• SI AEST POSITIF, LA DROITE MONTE.
• SI AEST NÉGATIF, LA DROITE DESCEND.
• SI AEST ÉGAL À 0, LA DROITE EST CONFONDUE AVEC L'AXE DES
ABSCISSES.