Fonction linéaires

Fonction linéaires
I Généralités sur les fonctions
Une fonction est une façon d’écrire une relation entre deux ou plusieurs grandeurs. Par
exemple dans un circuit électrique comportant un générateur et une résistance de 20 Ω nous
savons que U = 20 I (U étant la tension aux bornes de la résistance et I l’intensité du courant
dans le circuit).
Nous voyons que U dépend de I, en mathématiques nous disons que U est fonction de I. Les
fonctions permettent d’écrire des relations entre grandeurs sans avoir à noter toutes les valeurs
comme dans un tableau.
En mathématiques nous étudions des fonctions qui ne correspondent pas toujours à des
situations de la vie courante.
Ecriture des fonctions :
En général les fonctions sont nommées à l’aide d’une lettre minuscule (f, g, h…).
Notation :
f : x
3x² -5
Cela signifie que f est la fonction qui à x fait correspondre (ou associe) 3x² - 5, c’est à dire
que 3x² - 5 est l’image de x.
On appelle très souvent f(x) l’image de x par la fonction f, on note f(x) = 3x² - 5.
Nous pouvons déterminer l’image de nombres :
Pour cette fonction f l’image de 5 est 3
×
5² - 5 = 3
×
25 – 5 = 75 –5= 70,
l’image de
2
est 3
×
( )
2
2
- 5 = 3
×
2 – 5= 6 – 5 =1
II Les fonctions linéaires
Les fonctions linéaires sont celles qui correspondent à une relation de proportionnalité.
C’est à dire qu’elles sont de la forme :
f : x
ax (a est le coefficient de la fonction linéaire)
Rappel : Deux grandeurs sont proportionnelles quand nous obtenons les valeurs de l’une en
multipliant les valeurs de l’autre par un nombre fixe (le coefficient de proportionnalité).
Exemple :
g est la fonction qui à x fait correspondre –5 x, notation :
g : x
-5x l’image de x par la fonction g est g(x) = -5x
Nous pouvons calculer l’image de –4, 6,
7
.
Nous pouvons également calculer des nombres dont les images par la fonction g sont connues.
Calculer le nombre dont l’image par g est –8.
Calculer le nombre dont l’image par g est
3
5
.

III Définir une fonction linéaire
Définir une fonction linéaire c’est calculer son coefficient.
Nous pouvons définir une fonction linéaire f lorsque nous connaissons un nombre et son
image par cette fonction.
Soit f une fonction linéaire.
Définir cette fonction linéaire sachant que
)(
1
xf
est l’image de
1
x
:
f est de la forme :
f : x
ax
nous savons que l’image par f de
1
x
est
)(
1
xf
donc
f :
1
x
a
×
1
x
=
)(
1
xf
donc a =
1
)1
(
x
xf
.
Le coefficient a d’une fonction linéaire est égal à
1
)1
(
x
xf
=
1
1
..
...'
xnombrele
xnombreduimagel
, x≠0.
Exemple : définir la fonction linéaire g sachant que l’image par g de 4 est 3.
- g est linéaire donc elle est de la forme g : x
ax
- calculons a le coefficient de g : a =
4
3
4
)4(
=
g
- g est donc définie par g : x
4
3
x
IV Représentation graphique des fonctions linéaires
La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine
du repère.
Pour une fonction linéaire f à chaque couple de nombres (x ; f(x) ) correspond un point de la
droite qui représente la fonction.
Pour représenter graphiquement une fonction linéaire il faut connaître deux couples de
nombres (x ; f(x)), ces deux couples correspondent à deux points de la droite qui
représente graphiquement la fonction linéaire f (deux points suffisent pour déterminer
une droite).
Remarque : parmi ces deux couples un est à retenir, c’est le couple (0 ; 0).
Exemple : représentons la fonction linéaire k : x
-2x